有限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计 7 1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7 2利用窗函数法设计FIR滤波器7 3利用频率采样法设计FIR滤波器7 4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器7 5IIR和FIR数字滤波器的比较7 6几种特殊类型滤波器简介 7 1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 1 线性相位条件对于长度为N的h n 频率响应函数为 7 1 1 7 1 2 Hg 幅度特性 Hg 不同于 H ej Hg 为 的实函数 可能取负值 相位特性 H ej 线性相位是指 是 的线性函数 即 为常数 第一类线性相位 如果 满足下式 0 0是起始相位 第二类线性相位 7 1 3 7 1 4 线性相位FIR的时域约束条件满足第一类线性相位的条件是 h n 是实序列 且关于n N 1 2点偶对称 即h n h N n 1 7 1 5 满足第二类线性相位的条件是 h n 是实序列 且关于n N 1 2点奇对称 即h n h N n 1 7 1 6 1 第一类线性相位条件证明 7 1 7 要求满足下列条件 2 第二类线性相位条件证明 用同样的方法可得 2 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg 的特点1 h n h N n 1 N 奇数按照 7 1 8 式 幅度函数Hg 为 式中 h n 对 N 1 2偶对称 余弦项也对 N 1 2偶对称 可以以 N 1 2为中心 把两两相等的项进行合并 由于N是奇数 故余下中间项n N 1 2 这样幅度函数表示为 上式中 由于cos n项对 0 2 皆为偶对称 因此幅度特性的特点是对 0 2 是偶对称的 可实现各种滤波器 2 h n h N n 1 N 偶数 所以 不能实现高通和带阻滤波器 对 0 2 皆为偶对称 3 h n h N n 1 N 奇数 上式中 由于sin项在 0 2 皆为0 因此幅度特性的特点是对 0 2 是奇对称的 只能实现带通滤波器 4 h n h N n 1 N 偶数类似上面3 情况 推导如下 上式中 由于sin项在 0 2 皆为0 因此幅度特性的特点是对 0 2 是奇对称的 不能实现低通和带阻 不能实现低通和带阻滤波器 3 线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的分别满足 图7 1 1线性相位FIR滤波器零点分布 4 线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数 则有 令m N n 1 则有 如果N为奇数 则将中间项h N 1 2 单独列出 图7 1 2第一类线性相位网络结构 图7 1 3第二类线性相位网络结构 7 2利用窗函数法设计FIR滤波器 7 2 1窗函数法设计原理设希望设计的滤波器传输函数为Hd ej hd n 是与其对应的单位脉冲响应 因此 相应的单位取样响应hd n 为 7 2 1 7 2 2 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器 只有将hd n 截取一段 并保证截取的一段对 N 1 2对称 设截取的一段用h n 表示 即h n hd n RN n 7 2 3 线性相位理想低通 我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h n 长度为N 其系统函数为H z 图7 2 1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗 我们知道Hd ej 是一个以2 为周期的函数 对h n hd n RN n 进行傅里叶变换 根据复卷积定理 得到 7 2 4 式中 Hd ej 和RN ej 分别是hd n 和RN n 的傅里叶变换 即 7 2 5 RN 称为矩形窗的幅度函数 将Hd ej 写成下式 按照 7 2 1 式 理想低通滤波器的幅度特性Hd 为 将Hd ej 和RN ej 代入 7 2 4 式 得到 将H ej 写成下式 7 2 6 图7 2 2矩形窗对理想低通幅度特性的影响 对hd n 加矩形窗处理后 H 和原理想低通Hd 差别有以下两点 1 在理想特性不连续点 c附近形成过渡带 过渡带的宽度 近似等于RN 主瓣宽度 即4 N 2 通带内增加了波动 最大的峰值在 c 2 N处 阻带内产生了余振 最大的负峰在 c 2 N处 在主瓣附近 按照 7 2 5 式 RN 可近似为 加大N只能减小过渡带 并不是减小减小吉布斯效应的有效方法 7 2 2常用的窗函数介绍 设h n hd n w n 式中w n 表示窗函数 1 矩形窗 RectangleWindow wR n RN n 前面已分析过 按照 7 2 5 式 其频率响应为 2 三角形窗 BartlettWindow 7 2 8 其频率响应为 7 2 9 3 汉宁 Hanning 窗 升余弦窗 当N1时 N 1 N 图7 2 3汉宁窗的幅度特性 4 哈明 Hamming 窗 改进的升余弦窗 7 2 11 其频域函数WHm ej 为 其幅度函数WHm 为 当N 1时 可近似表示为 5 布莱克曼 Blackman 窗 7 2 13 其频域函数为 其幅度函数为 7 2 14 图7 2 4常用的窗函数 图7 2 5常用窗函数的幅度特性 a 矩形窗 b 巴特利特窗 三角形窗 c 汉宁窗 d 哈明窗 e 布莱克曼窗 图7 2 6理想低通加窗后的幅度特性 N 51 c 0 5 a 矩形窗 b 巴特利特窗 三角形窗 c 汉宁窗 d 哈明窗 e 布莱克曼窗 6 凯塞 贝塞尔窗 Kaiser BaselWindow 式中 I0 x 是零阶第一类修正贝塞尔函数 可用下面级数计算 一般I0 x 取15 25项 便可以满足精度要求 参数可以控制窗的形状 一般 加大 主瓣加宽 旁瓣幅度减小 典型数据为4 9 当 5 44时 窗函数接近哈明窗 7 865时 窗函数接近布莱克曼窗 凯塞窗的幅度函数为 7 2 16 表7 2 1凯塞窗参数对滤波器的性能影响 表7 2 2六种窗函数的基本参数 7 2 3用窗函数设计FIR滤波器的步骤 1 根据对过渡带及阻带衰减的要求 选择窗函数的类型 并估计窗口长度N 2 构造希望逼近的滤波器的频响为Hd ej 即线性相位的理想滤波器 例如 理想低通 3 计算单位取样响应hd n 例如理想低通的hd n 4 计算滤波器的单位取样响应h n h n hd n w n 5 验算技术指标是否满足要求 例7 2 1 用矩形窗 汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器 设N 11 c 0 2 rad 解 用理想低通作为逼近滤波器 有 用汉宁窗设计 用布莱克曼窗设计 用矩形窗设计 图7 2 7例7 2 1的低通幅度特性 7 2 4窗函数设计FIR滤波器的MATLAB实现h n fir1 M wc M 滤波器的阶数 wc 低通截止频率 归一化 h n 单位脉冲响应 采用哈明窗 h n fir1 M wc ftype 可设计高通和带阻滤波器 h n fir1 M wc window 可以指定窗函数 hn fir1 6 0 3 hn 0 00330 05900 24920 37700 24920 05900 0033 例7 2 2 对模拟信号进行低通滤波处理 要求通带0 f 1 5kHz内的衰减小于1dB 阻带2 5kHz f 上衰减大于40dB 希望对模拟信号采样后用线性相位的FIR数字滤波器实现滤波 采样频率FS 10kHz 用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器 求h n 希望滤波器的阶数尽量低 解 1 确定相应的数字滤波器指标 2 为了降低阶数 选择凯塞窗 确定其参数 3 以理想低通为逼近滤波器 其通带截止频率为 4 实际设计的滤波器的h n 为式中w n 为长度N 24 3 395的凯塞窗 实现本例的MATLAB程序为ep722 mfp 1 5 fs 2 5 Fs 10 rs 40 wp 2 pi fp Fs ws 2 pi fs Fs Bt ws wpalph 0 5842 rs 21 0 4 0 07886 rs 21 M ceil rs 8 2 285 Bt wc ws wp 2 pihn fir1 M wc kaiser M 1 alph hn Columns1through90 00390 0041 0 0062 0 01470 00000 02860 0242 0 0332 0 0755Columns10through180 00000 19660 37240 37240 19660 0000 0 0755 0 03320 0242Columns19through240 02860 0000 0 0147 0 00620 00410 0039 例7 2 3 用窗窗函数法设计线性相位的高通FIR数字滤波器 要求通带截止频率 阻带截止频率 通带最大衰减 阻带最小衰减 解 1 选择窗函数 并计算窗口长度N 选择汉宁窗 2 构造 3 求出 4 求出h n 7 3利用频率采样法设计FIR滤波器 1 基本思想设希望逼近的滤波器的频响函数用Hd ej 表示 对它在 0到2 之间等间隔采样N点 得到Hd k 再对N点Hd k 进行IDFT 得到h n 7 3 1 7 3 2 式中 h n 作为所设计的滤波器的单位取样响应 其系统函数H z 为 7 3 3 7 3 4 2 频率采样法设计线性相位滤波器对Hd k 的约束条件FIR滤波器具有线性相位的条件是h n 是实序列 且满足h n h N n 1 在此基础上我们已推导出其传输函数应满足的条件是 7 3 5 7 3 6 7 3 7 奇数 偶数 在 0 2 之间等间隔采样N点 将 k代入 7 3 4 7 3 7 式中 并写成k的函数 7 3 8 7 3 9 奇数 偶数 7 3 10 7 3 11 设用理想低通作为希望设计的滤波器 截止频率为 c 采样点数为N Hg k 和 k 用下面公式计算 N为奇数时 7 3 12 其中 的最大整数 N 偶数时 7 3 13 3 逼近误差及其改进措施如果待设计的滤波器为Hd ej 对应的单位取样响应为hd n 则由频率域采样定理知道 在频域0 2 之间等间隔采样N点 利用IDFT得到的h n 应是hd n 以N为周期 周期性延拓乘以RN n 即 由采样定理表明 频率域等间隔采样H k 经过IDFT得到h n 其Z变换H z 和H k 的关系为 图7 3 1理想低通滤波器增加过渡d带采样点 例7 3 1 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器 要求截止频率 c 2rad 采样点数N 33 选用h n h N 1 n 情况 解 用理想低通作为逼近滤波器 对理想低通幅度特性采样情况如图7 3 2所示 将采样得到的 图7 3 2对理想低通进行采样 图7 3 3例7 3 1的幅度特性 幅度特性 增加一个过度点的幅度特性 H1 0 5 增加一个过度点的幅度特性 H1 0 3904 图7 3 4例7 3 1 N 65 有两个过渡点幅度特性 图7 3 4例7 3 1 N 65 有两个过渡点幅度特性 4 用频率采样法设计FIR数字滤波器的步骤 1 根据阻带最小衰减 选择过渡带采样点的个数m 2 根据过渡带宽度Bt 估计频域采样点数N 3 构造希望逼近的滤波器的频响为Hd ej 即线性相位的理想滤波器 4 进行频域采样 得到Hd k 5 得到单位脉冲响应h n h n IDFT Hd k 6 检验设计结果 例7 3 2 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器 要求截止频率 p 3rad 阻带最小衰减大于40dB 过度带宽度Bt 16 解 1 m 1 2 N m 1 2 Bt 64取N 65 3 构造Hd ej 理想低通特性 4 进行频域采样 得到Hd k 5 得到单位脉冲响应h n 6 检验设计结果上述过程可用MATALB编程实现 见程序ep732 m 例7 3 3 利用频率采样法设计线性相位低通滤波器 要求采样点数N 21 截止频率为 1 求出频率采样值Hd k 和h n 2 画出其频率采样结构图解 1 用线性相位的理想低通作为逼近滤波器 N 21为奇数 频率采样值应满足 2 频率采样结构图为 例7 3 4 利用频率采样法设计线性相位FIR高通滤波器 要求采样点数N 33 截止频率为 设一过渡点 采样值为 H1 k 0 39 1 求出频率采样值Hd k 2 求h n 解 1 用线性相位的理想高通作为逼近滤波器 例7 3 5 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器 要求采样点数N 16 希望逼近的滤波器的幅度采样值为求出频率采样值Hd k 解 7 4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 等波纹最佳逼近法是一种优化设计方法 其使最大误差最小化 并在整个频段上均匀分布 所设计的滤波器幅频响应在通带和阻带都是等波纹的 并可分别控制同带和阻带的波纹幅度 阶数相同时 该法设计的滤波器的最大误差最小 指标相同时 该法设计的滤波器阶数最低 等波纹最佳逼近法又称为切比雪夫逼近法 7 4 1等波纹最佳逼近法的基本思想 如果Hd 表示希望逼近的幅度特性 Hg 表示所设计滤波器的幅度特性 定义加权误差函数E W Hd Hg 其中 W 误差加权函数 用于控制不同频段的逼近精度 其取值越大 逼近精度越高 等波纹最佳逼近就是在通带和阻带内以min max E 为准则 求解滤波器系数h n 为设计具有线性相位的FIR滤波器 其单位脉冲响应h n 或幅度特性必须满足一定条件 假设设计的是h n h n N 1 N 奇数情况 式中M N 1 2 最佳一致逼近的问题是选择M 1个系数a n 使加权误差E 的最大值为最小 即 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器的过程 1 根据给定的逼近指标估算N和W 2 利用remez算法得到滤波器的单位脉冲响应h n hn remez M f m w M 滤波器阶数 f 边界频率向量 m 幅度向量 W 误差加权向量 M fo mo w remezord f m rip Fs rip 各逼近频段允许的波纹幅度向量一般以remezord的返回参数作为remez的调用参数 计算h n 7 4 2remez和remezord函数及滤波器设计指标 例7 4 1 对模拟信号进行低通滤波处理 要求通带0 f 1 5kHz内的衰减小于1dB 阻带2 5kHz f 上衰减大于40dB 希望对模拟信号采样后用线性相位的FIR数字滤波器实现滤波 采样频率FS 10kHz 利用等波纹逼近法设计满足要求的FIR数字低通滤波器 求h n MATLAB程序为ep741 mFs 10 f 1 5 2 5 m 1 0 rp 1 rs 40 dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat1 dat2 M fo mo w remezord f m rip Fs M M 1hn remez M fo mo w M M 1M 15 hn remez M fo mo w hn Columns1through90 01440 03210 0123 0 0402 0 06850 01520 20000 36000 3600Columns10through160 20000 0152 0 0685 0 04020 01230 03210 0144对于同一设计指标 窗函数法设计的滤波器阶数为23 图7 4 4利用切比雪夫逼近法设计的低通滤波器幅度特性 7 5IIR和FIR数字滤波器的比较 从性能上来说 IIR滤波器传输函数的极点可位于单位圆内的任何地方 因此可用较低的阶数获得高的选择性 所用的存贮单元少 所以经济而效率高 但是这个高效率是以相位的非线性为代价的 FIR滤波器在达到同样指标时 所要求的阶数比IIR高5 10倍 但能得到严格的线性相位 从结构上看 IIR滤波器必须采用递归结构 极点位置必须在单位圆内 否则系统将不稳定 FIR滤波器采用非递归结构 稳定 从设计工具看 IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果 因此一般都有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算 计算工作量比较小 对计算工具的要求不高 FIR滤波器采用程序设计 对计算工具要求高 从适应性和应用场合看 IIR滤波器主要用于设计具有片段常数特性的选频滤波器 应用于对相位要求不高的场合 FIR滤波器灵活 适应某些特殊的应用 如构成微分器或积分器等 可应用于对线性相位要求比较高的场合 7 6几种特殊类型滤波器简介 7 6 1全通滤波器如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数 即 H ej 1 0 2 则该滤波器称为全通滤波器 全通滤波器的频率响应函数可表示成H ej ej 全通滤波器起纯相位滤波的作用 可用于相位均衡 全通滤波器的系统函数一般形式如下式 或者写成二阶滤波器级联形式 下面证明上式表示的滤波器具有全通幅频特性 式中 由于系数ak是实数 所以 图7 6 1全通滤波器一组零极点示意图 观察图7 6 1 如果将零点zk和极点p k组成一对 将零点z k与极点pk组成一对 那么全通滤波器的极点与零点便以共轭倒易关系出现 即如果z 1k为全通滤波器的零点 则z k必然是全通滤波器的极点 因此 全通