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,二、介值定理,一、最大值和最小值定理,第十节,闭区间上连续函数的性质,第一章函数与极限,1.10 闭区间上连续函数的性质,定义:,例如,一、最大值和最小值定理,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,由定理1,二、介值定理,定义:,此定理又称为根的存在性定理,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,例2,证,由零点定理,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,正根 .,例3,例4 验证方程,至少有一个正根不大于,证 设,由根存在定理，至少,例5 设,证 假设,则至少,则至少,与已知矛盾，故,例6,证,由零点定理,解题思路：,辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,小结,四个定理：,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意条件1闭区间； 2连续函数这两点不满足，上述定理不一定成立,难点：做辅助函数,再利用零点定理证明等式,重点：最值定理;介值定理;根的存在性定理,思考题,下述命题是否正确？,思考题解答,不正确.,例函数,作业：,
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