高一(下)(一外实验班)培训资料3(两角和与差的三角函数及二倍角公式)

专题三：两角和与差的三角函数及二倍角公式一、两角和与差的三角函数两角和与差的正、余弦、正切公式：（联系“和差角”与“单角”，实现角的转换！） 说明：余弦和差角公式口诀：“、，符号要改”； 正弦和差角公式口诀：“、，符号不改”； 正切和差角公式口诀：“”。正切公式成立的条件：。如：。和差角公式的正用、逆用、变用： （整体代换）和差角公式的应用：（化简、求值、证明）（1）公式的基本应用（正用、逆用）：例1（1）求值：； cos800cos350+sin800sin350； sin1850cos1150cos50sin1150； cos2150sin2150； 。（2）求值：。（3）已知，则 。（4）已知锐角中，求。（2）公式的活用、变用：例2（1）求值； （2）求值； 变式：求。 （3）求值：tan650tan350tan650tan350； （4）求值：； （5）求值：。（6）在斜三角形中，求证：。变式（一）：在ABC中，已知A、B、C角成等差数列，求tan值。变式（二）：在ABC中，cosA=，求的值。变式（三）：已知在中，求的值。（3）“凑角法”： 例3（1）已知，；（2）已知，求；（3）已知 ，求；（4）已知且，；变式：已知为锐角，求的值。练习：已知，求证：。（5）已知：在中角、满足如下关系：，求：的值；的值。变式：已知，求的值。（6）已知，且满足。求的值；求的值。（4）辅助角公式及应用：辅助角公式：（将一个角的两个三角函数化为一个角的一个三角函数有利于求值、化简）（sincoscossin）sin（） (1)若令，则，或。(2)若令cos，则sin（sincoscossin）sin（）。（例如：2sincos，若令cos，则sin，2sincos（sincoscossin）sin（）；若令sin，则cos，2sincos（coscossinsin）cos（）或cos（）。）看来，sincos均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式。例4（1），比较、的大小；（2）设、满足，求； 变式练习：若cos2x+的一切x恒成立，求实数k的取值范围。 （3） 函数的最大值是_。（4）求函数的最大值。变式：若。（5）已知函数的最小值为0，求的值。（6）已知，当时方程有两个不相等的实数根时，求实数的取值范围；求方程的两实根之和。 二、二倍角公式二倍角公式： ； ； 。注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。（2）二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，其它如是的两倍，是的两倍，是的两倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当时，就是的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。尤其是“倍角”的意义是相对的。（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。（4）公式，成立的条件是：公式成立的条件是，其它公式。（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（降角升次，升角降次）（升次降角公式）（降次升角公式）（1）公式的基本运用正、逆、变用与活用求值例1已知，且，求；值为 ；的值为 ；值为 ； 变式：的值为 ；已知，那么= ， ； 求值：。例2不查表、不按计算器求值：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。变式练习：求值：； ； ； 。例3（1）若，求的值。（2）已知，求的值。（3）已知为锐角，且，求的值。（2）二倍角公式的化简与证明