2019_2020学年高中数学第3章不等式3.1基本不等式教案北师大版必修5.docx

3.1基本不等式学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程及其几何解释(难点)2了解算术平均数，几何平均数的定义(重点)3会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式(重点)1.通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养2通过基本不等式的应用，提升数学运算素养.1基本不等式阅读教材P88P89阅读材料以上部分，完成下列问题(1)基本不等式如果a，b都是非负数，那么，当且仅当ab时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式(2)基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数(3)意义几何意义：半径不小于半弦数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项思考：(1)不等式a2b22ab(a，bR)成立吗？如何证明？提示成立，证明如下：由a2b22ab(ab)20，知a2b22ab(2)设x0，y0，比较和的大小提示在不等式ab2中令a，b可得.2基本不等式的证明一般地，对于任意实数a，b，我们有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立特别地，如果a0，b0，我们用，分别代替a，b可得ab2，通常我们把上式写作(a0，b0)下面我们来证明一下：要证，只要证ab2，要证只要证ab20，要证只要证()20，显然成立，当且仅当ab时中的等号成立1给出下列条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0，其中能使2成立的条件有()A1个B2个C3个D4个C当，均为正数时，2，故只须a、b同号即可，均可以2不等式x44(x0)中等号成立的条件是_x4由ab2(a0，b0)中等号成立的条件是ab知x4.3比较大小：_x.在不等式ab中令ax，b，可得x，当x时等号成立4设常数a0，若9xa1对一切正实数x成立，则a的取值范围是_由题意知，当x0时，(x)9x26aa1a.利用基本不等式比较大小【例1】已知0a1,0b0，b0，所以ab2，a2b22ab，所以四个数中最大数应为ab或a2b2.又因为0a1,0b1，所以a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，所以a2b20，b0，试比较，的大小，并说明理由解因为a0，b0，所以；即(当且仅当ab时取等号)，又2，所以(当且仅当ab时等号成立)，而，故(当且仅当ab时等号成立)用基本不等式证明不等式【例2】已知x，y都是正数求证：(1)2；(2)(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3.证明(1)x，y都是正数，0，0，22，即2，当且仅当xy时，等号成立(2)x，y都是正数，xy20，x2y220，x3y320.(xy)(x2y2)(x3y3)2228x3y3，即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3，当且仅当xy时，等号成立利用基本不等式证明不等式的注意点(1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式2已知a，b，c为正数，且abc1，证明：(1a)(1b)(1c)8abc证明(1a)(1b)(1c)(bc)(ac)(ab) 2228abc当且仅当bca时，等号成立基本不等式的几何解释探究问题1如何用a，b表示PQ、OP的长度？提示由射影定理可知PQ，而OPAB.2通过OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？提示半径OP，显然，它大于或等于PQ，即，其中当且仅当点Q与圆心O重合如图所示，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AP，PB你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？【例3】已知a，b，c0，求证：abc.思路探究：利用基本不等式及不等式的性质证明证明a0，b0，c0，ab2，bc2，ac2，2(abc)2()，即abc，当且仅当abc时等号成立1(变结论)例3的条件不变，求证：(ab)(bc)(ca)8abc证明因为a0，b0，c0，所以ab20，bc20，ac20，所以(ab)(bc)(ca)2228abc，即(ab)(bc)(ca)8abc，当且仅当abc时等号成立2(变条件)例3的条件中添加“1”，试比较abc与9的大小关系解因为1，所以abc(abc)33322232229.当且仅当abc3时等号成立，即abc9.利用基本不等式证明不等式的技巧(1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例3中把abc拆分为ab，bc和ca，以便应用基本不等式得出不等关系(2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性等1在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应用基本不等式时要注意各不等式等号成立的条件是否一致2在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分或适当恒等变形，以便于利用基本不等式3由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab2(a，bR)；(2)(a，bR)；(3)2(a，b同号)；(4)(ab)4(a，bR)；(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，bR，则.()(2)不等式a2b22ab中等号成立的条件是ab()(3)2ab成立的条件是a0，b0.()答案(1)(2)(3)提示(1)错误，当a0，b0时，不等式才能成立；(2)正确；(3)错误，由2abab(ab)20可知，2ab对任意的a，bR都成立2若xy3，则()Ax2y26Bx2y26Cx2y23Dx2y23A由x2y22xy得x2y26.3若aR时，下列不等式成立的是_a2a；a(1a)；a2；a22.由基本不等式知，正确，显然正