不变测度及其性质

不变测度及其性质 泛函分析的观点 作者 CARLANGELO LIVERANI摘要：在这个系列讲座，我试图系统地说明我所谓的用来研究动力系统统计性质的“泛函分析法”。提出的想法是希望通过一系列的日益复杂的例子使我们感受到这种方法的广度。 目录 前言 2 1 第一讲（问题） 2 1.1 一般问题 2 1.2 Kryloff-Bogoliouboff的存在性 4 1.3 为什么这是不够的 41.4 一个简单的例子：光滑扩张映射 51.5 增强正则行 71.6 减弱正则性 82 第二讲（三个弱平凡的例子） 102.1 耦合映射格 102.2 部分双曲系统 122.3 非一致扩张 15 前言本文来自我研究动力系统时在Center Ennio de Giorgi所作的五个讲座（比萨，2002.02.01-2002.04.30）。我必须说，在我写作时，我增加了一些我觉得自然属于论叙逻辑但是没有足够的时间在实际演讲中使用的材料。因此，目前的文章相当于多于十讲的课程，而不是五讲的课程。然而，我保留了原来的部分，因为这是很自然地。事实上，我们可以进一步扩大材料使之成为一个完全成熟的研究生课程，这是相当诱人的。我不确定是否我将永远被这样的诱惑吸引。同时，我目前的工作是要对动力系统的统计性质问题进行探讨，尝试一下能走多远。这反映了我认为检验一个观点的最好方法是尽量把它推向极限。就我而言，我个人认为，这里介绍的方法可以大大推进一步。例如，延伸到非均匀双曲系统或更复杂的物体，比如动态函数。我希望这个报告将激励其他人也这么做。 第一讲（问题） 这一系列讲座是专门对动力系统的统计特性进行研究的。 我必须立即强调，这里的材料和观点思想有点单一，绝对无意构成这个领域的一篇评论。事实上，如果想要获得一个简短的一般性介绍，我热烈推荐Young的91,92和Viana的88。关于动力系统统计特性的概述可以参看Bladi的书【4】【34】，获得一个对动力系统这个领域的详细介绍。然而，在开始之前，我至少要提到，该方法具有悠久的历史，至少开始于Sinai的工作，然后是Ruelle，但通过扭曲的Lasota-Yorke和Keller的结果，只是提及非常少的事实。1.1一般问题：考虑一个动力系统，这里是一个测度空间，是一个可测映射。 动力系统的统计特性是一个不确切的表达，但是大致涉及到测度发展性。这是一个有趣的事实：一旦人们研究测度的发展而不是点的，复杂的动力系统变得更加简单。 设是上的概率测度，对任意可测集，我们定义。显然，这里是上的概率测度集。事实上，因为，如果，则. 在研究动力系统的性质时，首先相关的问题就是不动点的研究，即不变测度：，对任意可测集A成立。 给定一个不变测度，我们定义可测的动力系统。对于这样的动力系统，几个自然的关于统计特性的问题就产生了。第一个就是不变集的识别。其中最有趣的可能是当所有的不变集都是平凡的为空集或全集，这样的系统称为是遍历的。这与不变测度性质的研究相关。 如果对渐进测度的行为感兴趣，第一个可能性就是考虑集合，即关于绝对连续的测度集。在几种情况下（当然在以下所有讨论中），会发生，这时称映射关于是非奇异的。如果是的一个吸引子，则称这个可测的动力系统是混合的。这是一个有趣的概念，由于它在实际和理论上的重要性而被广泛关注。对于混合系统，关于速率的一个更明显的问题就是中的测度被吸引到，即所谓的混合速率。 为了理解更全面的性质，可以尝试学习更大类的测度的性质，例如，我们可以研究一个关于给定（不必是不变的）测度（如Lebesgue测度m）绝对连续的测度的渐进性态。 也可能是研究 的更强的统计性质（比如，中心极限定理，K性，Benoully性质，等等- 参见文献【34】，有一个更完整的介绍）。然而，这里我们仅把我们的研究限定在上述概念上。 当然，第一个问题就是：不变测度总是存在的吗？ 一般来说，答案是否定的。事实上，考虑下面两个平凡的例子： （1），由定义。显然，任何不变测度必须支撑在。另一方面，如果，相应的，对任意有界集，存在使得，因此，。 （2） 显然，因为这个点没有原像。因此，让，对任意，存在使得，于是。所以，如果这个测度是Borel测度，由测度的正则性就有。 在上面的两个反例中，第一种情况的阻碍来自于空间的非紧性，第二种情况的阻碍来自于映射的不连续性。实质上，正如下文解释的，只有一个可能的阻碍。1.2 存在性（Kryloff-Bogoliouboff）命题1.1（Kryloff-Bogoliouboff【50】） 如果是一个紧度量空间，是一个连续映射，则存在至少一个不变（Borel）测度。 证明：考虑任意Borel概率测度，定义下面的测度序列。再定义 又，故序列包含在一个弱紧集（单位球）中，因而有一个弱收敛的子列。记是其弱极限，我们断言是不变的。因为是一个Borel测度，它满足对任意有。让是一个连续函数，由弱收敛我们有 1.3 为什么这是不够的？在命题的假设（尽管不连续系统在动力系统中的确起着重要作用，例如只考虑连续系统或流的Poincare映射）而不是在缺少不变测度的相关信息下，这个问题拥有上述结果是不够的 。 事实上，一般有很多不变测度，但不是所有的都与系统的研究相关。例如，如果系统有一个周期轨道，则分配到轨道上每个点同样权重的Dirac测度是明显不变的。 一个简单的可能就是寻找附属于标准测度的测度。代替去对这个词的确切的含义作一个抽象的讨论，让我们看看一个具体的例子，在这个例子中标准测度是Lebesgue测度。1.4 一个简单的例子：光滑扩张映射 让是一个扩张映射。正如已经提及的，我们想把我们感兴趣的测度限制到与Lebesgue相关的测度上。这样做的一个有趣的方法就是考虑下面的半范（1.1） 和测度集。 下面的小引理将帮助我们理解我们所考虑的测度的类型。引理1.1 如果则关于Lebesgue测度绝对连续，且Radon-Nykodim导数是一个有界变差函数。 证明：设.对任意，让是下面的光滑算子 这里，supp且.再像平常一样定义 则，且因为，有（即）和 （1.2） 而且，因此关于Lebesgue绝对连续。让是的密度。显然，（有界变差函数空间），而且它们有一致有界变差。相应的，在中是一个相对紧序列。考虑任意收敛子序列，让是它的极限，则对任意有 .注记1.1 由上面的范数，有密度的测度空间的闭包产生在Sobolev空间中有密度的测度空间。验证对于这样的空间下面的性质保持不变也是一个有趣的练习。 目前的基本观点是：如果正确的看待的话，涉及这些测度的算子是一个正则化算子。这在下面阐述的很明确。 引理1.2（Lasota-Yorke 型不等式）对任意有 证明：我们已经讨论了第一个不等式，对于第二个 （1.3） 因为当时 故结论成立. 引理1.2隐含了起始于一个关于Lebesgue测度绝对连续的测度的所有Kryloff-Bogoliouboff聚点在中有密度。 由于这种情况，我们可以直接研究密度的发展，而不是测度的发展。为了这样做，规定，且由定义算子直接计算产生下面著名的公式（1.4） 直接对算子重做上述论证是一个有益的练习。逻辑是一样的，只是我们要用到范数而不是（事实上，这点是一样的，只要我们考虑的是密度而不是测度）。 一个自然的问题就是，上面叙述的过程能否给出我们感兴趣的所有的不变测度。鉴于此，我们考虑下面引理：引理1.3 对正Lebesgue测度的任意一个不变可测集，存在一个不变测度支撑在中。证明： 让是集的特征函数，考虑测度。思想是把Kryloff-Bogoliouboff过程应用到上，问题是可能不属于（当不是有界变差的）。然而，由于在中稠密，对任意我们考虑使得且。让，分别是序列的弱极限。显然，支撑在中。又一方面， 另一方面， 因此，由引理1.1，存在使得，满足。但是，根据中的单位球的紧性，存在一个序列在中收敛于一个一个有界变差函数，.相应地， 即. 上面的引理给出了正Lebesgue测度的变集结构的很多信息。例如，在一维情形（）时，因为，它的支集必然包含一个区间，即必然包含一个区间。这就消除了正Lebesgue测度的不变Cantor集的可能性；这个性质有时也称为局部遍历性。 这部分的论述很容易理解。例如，我们可以研究映射是几乎正则的情形。 为简明起见，把我们的讨论限制到一维情形。1.5增强正则性 假设对任意，。我们考虑下面的范数，对， 类似引理1.1，如果，则关于Lebesgue测度（含有一个密度是n-1次可微的，且这个n-1次导数是有界变差函数）绝对连续。很容易验证下面的公式 ，这里仅依赖于的前次导数。用这个公式我们可以很容易地概括出引理1.2证明中的计算：对任意， （1.5） 对于，上面的估计给出引理1.2的同样的论述。实际上，正如我们注记的， 根据同样的证明，关于反复的应用（1.5）式有，存在，使得 类似的，这个不等式隐含中有不变测度。1.6弱正则性 映射有两种可能：或不连续。我们将集中讨论第二种情形。 让我们考虑一维分段光滑扩张的情形，即一个映射满足，存在的一个划分使得对任意，映射限制到是。为了进一步简化问题，我们假设强扩张，即。在这种情形我们可以使用与映射中同样的半范（1.1），即 注记1.2 由于映射的不连续性，最初的Kryloff-Bogoliouboff理论1.1不能应用到目前的情形。 为了克服这个问题，我们使用与命题1.1同样的论述，但不用测度的弱紧性，而是用中有界变差函数的单位球的紧性。 引理1.4 对于分段光滑映射，（关于Lebesgue测度绝对连续的测度集）。证明：如果，则引理1.1隐含关于Lebesgue测度绝对连续，很容易看出。 相应的，如果，根据引理1.4，在每个点上权重为0，故则对任意， 对任意，定义是线性的，且使得在上，然后在定义，并把扩张到上使得它在外等于0 。用这种方法我们可以得到一个连续函数。而且，对任意， 所以， .我们就剩下这个问题：函数不是的，事实上，它的导数有有限个不连续点。然而，对每一个，我们可以找到一个连续函数，使得它仅在一个Lebesgue测度为的集合上与不同。然后，如果我们定义 ，就有 .因此， 因为是任意的，这意味着 .在这种情况下，我们也有Lasota-Yorke 不等式 . 我们因而能再做Kryloff-Bogoliouboff论述：设是一个概率测度，然后让.通过迭代Lasota-Yorke 不等式有 .由引理1.1，我们知道关于Lebesgue测度绝对连续，且它们的密度是带有一致有界变差范数的有界变差函数。前面提到的中的单位球的紧性隐含存在一个序列使得它在中收敛到一个范数以为界的有界变差函数.让是带有密度的测度，则，且很容易验证它是一个不变测度。注记1.3 比在原来的Kryloff-Bogoliouboff定理中，我们有一个更强的收敛性（关于所有的函数收敛），这是我们为了控制不连续性的效果在这个系统中的更强控制的一方面。 2. 第二讲（三个弱平凡的例子）在之前的演讲中，我们仅考虑了概率测度，这对概率论研究者而言是一个很好的观点，但对分析工作者来说就不是那么令人兴奋了，因为概率测度集不是一个向量空间。我们自然要问前面的论述能否从泛函分析的观点来处理？解决了下面的例子后，这个问题也将被解决。在下面的演讲中，我们将看到这样的泛函分析观点证明是非常深远的。2.1耦合映射格 设是圆周的一个光滑扩张映射，定义作为这样的映射的积。然后，设是接近它的微分同胚。更精确的，假设和，.最后，我们考虑映射.接下来，我们考虑一个适当的Banach空间来分析其上的动力学行为。类似前面的演讲，让我们考虑带符号的测度集并在其上定义下面两个范数 第一个是上的平常的范数，第二个是无穷维情形下有界变差范数的一般化。我们将研究空间，一旦在它上面定义了范数，这个空间就是Banach空间。 先让我们对有点了解。假设，我们可以定义边缘 如果是一个良集，有.由引理1.1，我们知道这意味着关于一个带有有界变差的密度的Lebesgue测度绝对连续。相应地，中所有测度都有有限维的关于Lebesgue测度绝对连续的边缘。这显然是在有限维情形下的一般化。 为了验证Lasota-York不等式满足刚刚提及的等式（1.3），并且注意到 和 相应地，对一个足够小的，存在使得 至此，我们还有最后一个问题：在有限维情形下，的单位球在中不再紧。就统计性的研究而言，这是一个严肃的问题（参见第三讲），直到现在还没法解决。然而，限制到不变测度的性质，这么强的性质是不必要的，事实上，单位球在弱拓扑下是列闭的。显然，在这种情况下，所有的Kryloff-Bogoliouboff聚点都有以为界的范数，因为对于概率测度，Lasota-Yorke不等式的迭代产生 这意味着存在这样一个不变测度，它有关于Lebesgue测度绝对连续的有限维边缘和密度。 引理2.1 单位球在弱拓扑下是列闭的。证明：设序列弱收敛到，。然后，对任意函数使得，有 因此，. 对于上述结果在不连续情形下的一般化，参看【45】，而不是参考【35,5】获取在光滑（解析）的情形下更强的结果（在后面的工作中，用了一个不同的途径，它以统计力学方法-聚类扩张为基础，最早出现在【14,12,13】） 2.2部分双曲系统 让我们考虑一个部分双曲系统，这里是一个黎曼紧流形，.这意味着切空间自然分裂成两个空间使得 这隐含了一个不稳定的叶状结构的存在（见【69,70】.而了解更多的这种叶状结构的确切性质是非常重要的。这个课题已经被广泛的研究，我参考了【63】【34】对这个领域做了一个介绍，参考【76,26】获得更多完整的结果。这样做的一个最简单地方法就是描述一个任意点附近的局部图。 这个叶状结构能被一个具有下面性质的函数（见2.1）局部的描述。（1） .（2） 是的图.（3） 对每一个是.（4） 对某些（仿射空间和之间的和乐群），是.（5） . 由于上面的性质，经过坐标变换（2.1） 可以局部拉直这个叶状结构。这样的坐标变换虽然仅是Holder变换，但它是绝对连续的，且.让我们考虑不稳定方向处连续向量场的集合.首先就是要为这样的向量场定义一个散度。引理 2.2 存在一个泛函使得对每一个，有（2.2） 证明：一般来说，（2.2）总是定义一个泛函，但是我们只有一个，因此，我们的工作是证明它的正则性。如果，则。相应地，中向量场能用描述成。因而， 所以，对每一个，有 然后，我们考虑上的符号测度集并在其上定义下面范数 （2.3） 毫不为奇，我们将限制到。下面的引理将让我们了解到我们正在讨论的测度的类型，但是合适地去描述它，需要一些记法。让我们考虑一个能被先前描述的类型的坐标图覆盖的领域，因此在新的坐标下，这个不稳叶状结构包含超平面。显然，在中，这个不稳叶状结构引起一个自然的可测的划分，我们称为。 引理2.3 意味着对每一个支撑在中的， 这里是.证明：设支撑在一个球上，是可测的。然后，对所有的，有.从而， 对这样的，取上确界，有 因此，存在一个使得 从而引理成立。上面的引理刻画了局部测度的特征，但是这已经足够了，因为通过使用整体的光滑划分总能把我们的讨论缩减到一个小领域上。 作为中测度的一个有趣的例子，我们考虑 这里不稳流形的一个正则部分，且。让我们看看关于这样的范数，动力系统的行为如何， 因而，。 而且，如果，则，这里算子由 定义，因此， 这里.显然，且。相应的，（2.4） 正如所见，这意味着中存在不变测度，这些测度一般称为SRB(Sinai-Ruelle-Bowen)测度。2.3非一致扩张 下面的逻辑步骤是用来研究非一致双曲发生的情形。一般而言，这是一个非常困难的问题，目前还没有很好的理解。尽管总体来看许多结果存在（【91】），但没有一般的理论可以利用。这里我们将讨论可能的最简单的例子：非一致扩张映射。 为了进一步简化我们的讨论，让我们考虑映射的一个具体簇。设，并定义映射（2.5） 这种映射称为间断地，是由Prellberg和Slawny在【75】中命名的。他们因为由Fisher介绍【24】并由Gallavotti研究的一个统计模型而联系。在文章【27】，【90】中，这些映射的动力行为被视为湍流【74】间断性的一个模型。对于这样的映射，绝对连续不变测度的存在性首先在【86】中被证明且近几年它们的统计性质已经被广泛的研究【61,94,32,95,51,83】。这里我们采用目前的方法仅讨论不变测度的存在性。让我们考虑下面的半范 这里我们选择。引理2.4 空间包含关于Lebesgue绝对连续的测度，并有密度使得，这里。而且 证明：设，则对每一个，有 现在，让，很容易看到。相应的， 。因此，对每一个，设定，有 这意味着关于Lebesgue绝对连续，且它的密度，满足。 为了继续讨论，我们需要算子有些正则性，然而不能希望像以前一样在一个Lasota-Yorke型不等式中。事实上，当这样的映射仅展示一个多项式快速收敛到一个平衡【52,65】时，这样的不等式暗含一个指数的快速收敛到一个不变测度（见下一讲）。然而，可能获得一个弱Lasota-Yorke型不等式足够我们的目的。引理2.5 对每一个，存在使得 这里，. 在证明Lasota-Yorke不等式的非一致性之前，让我们先看看它是如何解决我们的问题的。对每一个足够小，让，且。则对，有 现在，假使足够大。因此，且 通常由上面的不等式有，由起始于绝对连续测度的Kryloff-Bogoliouboff理论构造的每一个不变测度将产生一个带范数（对每个，有限）的不变测度。 为了证明引理2.5，我们需要对映射的扭曲有一个很好的控制。 让是水平n的动态划分（即是一个最大划分，使得关于它的元是一一的）。为了了解它，让，则。 引理2.6 存在一个常量使得 证明：显然，因此，倘若足够大， 另一方面，对足够大的，每一个使得。倘若足够大，则对足够大的n，我们有 从而，最后一个不等式成立且.我们得到下面的基的失真结果：引理2.7 存在使得对每一个，都有 证明：对，有 不等式右边成立，类似，左边不等式也成立。引理2.5的证明：对每一个，有 （2.7） 在每个的内部是的。而且，因为对每个，有，从而，故。然而，它可能不属于检验函数类，因为它不必.另一方面，在研究分段光滑映射的部分时，我们已经看到怎样去处理这样的一个问题：函数在划分的边界的外部是一致的，因此这里我们不将回答这方面的问题。我们需要对函数的范数作一个仔细的估计。函数范数的估计：根据在不动点的一个领域运行的时间，很容易划分的轨道。定义，让是这个不动点的固定领域。