初一数学认识不等式教案及就一元一次不等式教案 品学而不思则罔.doc

学而不思则罔，思而不学则殆。 论语 Learning is the eye of the mind. 学问是心灵的眼睛。 初 一 数 学（第38讲）【教学内容和目的要求】教学内容：1、认识不等式（13.1 P54P56）2、解一元一次不等式（13.2 P57P63）教学目的和要求：1、复习等式，引出不等式的概念，复习方程的解，引出不等式的解与解集的概念。 2、会检验一个数是否是某个不等式的解3、使学生会列不等式4、使学生掌握在数轴上表示不等式的解集5、掌握不等式的三条性质，并且利用性质，掌握一元一次不等式的解法。6、会将一些实际问题转化为不等式来解决。【知识重点与学习难点】不等式中的难点是不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。知识重点有下面3个：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子。不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。不等式的解集：一个不等式所有解的集合。解不等式：求不等式的解集的过程。2、不等式的性质： 不等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用数学符号语言表示为：如果，那么 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。用数学符号语言表示为：如果，并且，那么 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 用数学符号语言表示为：如果，并且，那么3、一元一次不等式：不等式中只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1【方法指导和教材延伸】1、不等式的解与解不等式不是同一回事，能使不等式成立的未知数的值是不等式的解（即不等式的解是数值），而求不等式的解的过程叫做解不等式（即解不等式是一个过程），可以说，“不等式的解”是“解不等式”的结果。2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立则就不是不等式的解。3、不等式的三条性质是解不等式的重要依据。 4、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。变形名称具体做法注意事项去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数（1）不含分母的项不能漏乘（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。去括号由内而外或由外而内去括号，注意顺序（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项（2）如果括号前是“”号，去括号时，括号内的各项要变号移项把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边移项必须变号合并同类项把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。化未知数的系数为1在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；（1）分子、分母不能颠倒（2）不等号改不改变由系数的正负性决定。5、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以直观地反映出不等式有无限多个解，是数学中，数形结合思想的重要体现，要注意的是“两定”：一是定边界点，二是定方向。若边界点包含在解集中，则用实心点表示，若边界点不包含在解集中，则用空心圈表示；定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”。6、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于抓住问题中的有关数量的不等关系，列出不等式，求出不等式的解集后，从而得出具体问题的解答。7、常见不等式的基本语言的意义：（1），则是正数；（2），则是负数；（3），则是非正数；（4），则是非负数；（5），则大于；（6），则小于；（7），则不小于；（8），则不大于；（9）或，则，同号；（10）或，则，异号；（11），都是正数，若，则；若，则；（12），都是负数，若，则；若，则；【典型例题分析】例1、用不等式表示：（1）与1的和是正数 （2）的与的的差是负数 （3）的2倍与1的和大于3（4）的一半与4的差不大于 （5）的4倍与的和是非负数分析：列不等式时要注意抓住关键词的意义，如“正数”、“负数”、“不大于”、“非负数”等等，一定要弄清不等关系。解：（1） （2） （3） （4） （5）注意：列不等式与列方程一样，先列出代数式，然后用不等号连接，形成不等式。在列代数式时，仍然遵循“边读边写，先读先写”的原则。 例2、根据不等式性质，在横线上填上不等号，并说明理由：（1）若，则 2 （2）若，则 ， ， ，（3）若，且 ，则 ， ， ， （4）若，则 分析：不等式性质有三条，特别是第三条，不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。解（1）由于，根据不等式性质3，两边同乘以，不等号方向改变，得。（2）由于，根据不等式性质3，两边同乘以负数，不等号方向改变，得； 由于，根据不等式性质3，两边同乘以，不等号方向改变，得，再根据不等式性质1，两边同减去，不等号方向不变，得 由于，根据不等式性质3，两边同乘以负数，不等号方向改变，得（3）由于，根据不等式性质2，两边同乘以正数，不等号方向不变，得，再由于得，由于，根据不等式性质2，两边同乘以正数，不等号方向不变，得，由于，根据两个同分子的正分数，分母大的反而小，得（4）方法：由于，故，所以。（这是根据绝对值的性质） 方法：由于，则（根据不等式性质3），再由于，则（根据不等式性质3），所以（根据不等式的传递性）注意：不等式的三条性质是极其重要的，一定要很好掌握并能够熟练运用。例3、根据不等式性质，把下列不等式化为或的形式（为常数） （1） （2） （3） （4） 解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都加上，不等号方向不变。 所以 故 （2）根据不等式性质1，不等式两边都加上，不等号方向不变。 所以 故 （3）根据不等式性质3，不等式两边都除以，不等号方向改变。 所以故（4）根据不等式性质1，不等式两边都加上，不等号方向不变。 所以 故 再根据不等式性质3，不等式两边都除以，不等号方向改变。 所以 故点评：不等式性质1中，两边同加上或减去的可以是数，也可以是整式，不等式性质3中的变号问题一定不能忽略。那么不等式的解集是什么呢？这要分情况讨论： ，则的解集是 ，则的解集是 且，则的解集是一切数 且，则的解集是无解那么不等式的解集是什么呢？同学们可以自己仿照上面的分类方法进行讨论。例4、比较大小：（1）与 （2）与分析：比较大小常用的方法是“作差法”，即如果，那么；如果，那么；如果，那么解：（1）当时，故 ，所以 当时，故 ，所以当时，故 ，所以 （2）而点评：（1）中的比较大小要分情况讨论，分类讨论是数学中的一个重要思想方法，分类时一定要做到“不重不漏”，既不要范围重合，也不要漏掉全体范围中的一部分。（2）中作差后得到一个具有特性的代数式，利用这个特性平方是非负数，从而比较出两个代数式的大小。例5、解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。分析： 解不等式的步骤与解方程的步骤一样，去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1，其中要注意的是去分母和系数化为1，如果乘以或除以负数，不等号方向改变。解： 去分母： 去括号： 合并同类项： 移项： 合并同类项： 系数化为1：不等式的解集在数轴上表示为： 注意：不包括在解集中，所以用空心圈，而用向右表示“大于”例6、解关于的不等式 解：去括号： 移项： 合并同类项： 讨论：当即时，即 当即时，即点评：解含有字母的不等式，首先要弄清未知数，在系数化为1这一步时，如果未知数的系数含有字母，那么就要对系数的正负性进行讨论，以此决定不等号是否要改变。例7、（1）为何正整数时，方程的解是非正数。 （2）满足什么条件时，方程的解是正数。分析：方程的解是非正数或正数，那么必须先将方程求解出来，然后再找满足条件的字母的值。解：（1）解方程：5x3m=2m15 x=m3 x0 n3 又m是正整数 m=1,2,3(2)6x3x+3k=122x6 5x=63kx=x 0 k2例8、已知不等式的最小整数解为方程的解，求的值。分析：为了求a的值，必须先知道2xax=4中，x的值。因此必须解不等式，从而找到符合条件最小整数的x的值。解：5x10+86x6+7 x3 x3x3的最小整数是22xax=4中,x=24+2a=4a=4点评：解题时，往往根据所需求的结论，一步步往前推，找到已有的条件，而书写时，则要从已知条件一步步推进，从而得到结论。例9、如果不等式与的解集完全相同，求。分析：解集完全相同，实际上首先要不等量方面一致，其次不等量右边的常数相等。解：解不等式 4x2a3a6 x 由于两个不等式的解集完全相同中,a0x2aa=2例10、设不等式的解集为，求关于的不等式 的解集。分析： 先将不等式(a+b)x+(2a3b)0的解集求出,再根据x是不等式的解集,仿照例9,求出a,b的关系,然后再求(a3b)x2ab这个不等式的解集。解：(a+b)x3b2ax是不等式的解集a+b0x=a=2b又a+b0a0,b0把a=2b代入(a3b)x2ab设：(2b3b)x4bb bx3bb0 b0 x3点评：要注意发掘条件,如a=2b,a+b0可设：a,b均为正数。例11、王刚要到离家5km的某地开会，若他在6时出发，计划在8时前赶到，那么他每小时至少要走多少km？分析： 这道题既可用方程求解,又可用不等式求解。解法一：(用方程求解)设王刚每小时至少要走xkm根据题意设：2x=5 x=2.5答：至少每小时要走2.5km,才能在8时前赶到。解法二：（用不等式求解）设王刚每小时走xkm根据题意设：2x5 x2.5答：至少每小时要走2.5km,才能在8时前赶到。点评：列方程与列不等式在解题时,设未知数有所不同,利用本题,好好体会一下。【同步练习】一、判断题：1、不等式的两边同乘以一个整数，不等号方向不变。（ ）2、如果，那么（ ）3、如果是有理数，那么（ ）4、如果，那么（ ）5、如果，那么（ ）6、如果，那么（ ）7、为有理数，（ ）8、如果，则（ ）9、如果，那么比大（ ）10、如果，那么（ ）11、如果，那么（ ）12、如果，那么不等式成立（ ）13、，两边都乘以，得（ ）14、，两边都乘以，得（ ）15、一定大于（ ）二、填空题：1、用不等号填空：（1）若，则 （2）若，当时， 0 （3）若，则 （4）若，则 （5）若，则 0 （6），则 0 （7）若，则 （8）若，则 2、已知，则可取的正数有 3、代数式等于0，则 ；当代数式为正数时，的取值范围是 ；当代数式为负数时，的取值范围是 。4、用不等式表示：（1）是正数 ；（2）是非负数 ；（3）是大于5的数 ；（4）的一半加上5大于9 ；（5）的加上3的和大于的5倍 ；（6）与的和的倒数大于与的倒数差 。（7）的2倍减去的差不大于 ；（8）的绝对值除以的商是非负数 ；5、的解集是 ；的解集是 ；6、的正整数解为 ；不等式的非负整数解为 。7、不等式的解集是负数，则的取值范围是 ，若不等式的解集是，则的取值范围是 。8、如果，则的大小关系是 ,如果，则的大小关系是 。9、某个数的2倍加上5所得的和不大于这个数的3倍减去4的差，那么这个数的范围是 。10、下列解法是否正确？ 三、选择题：1、如果，下面结论正确的是（ ）A B C D2、若方程的解为非正数，则取（ ）A B C D3、下面四个不等式中，不一定成立的是（ ）A B C D4、不等式的最大负整数解是（ ）A0 B-1 C-2 D不能确定5、若，则仍成立的不等式为（ ）A B C D6、若都是有理数，下列说法正确的是（ ）A若，则 B若，则 C若，则 D若，则7、若，且，则（ ）A B C D8、若，则中，负数最多有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个9、如果，则（ ）A B C D10、若是一个负整数，则三者的大小关系满足（ ）A B C D11、已知,则下列不等式正确的是（ ）A B C D12、有理数大于它的倒数，则（ ）A B C或 D或13、若不正确，那么一定成立的是（ ）A B C D14、不等式的解集表示在数轴上是（ ）A B C D 15、不等式的解集是（ ）A B C D 四、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：1、2、3、 4、5、 6、五、解答题：1、取何值时，的值不大于的值。2、已知，化简：。3、已知，当为何值时，的值为非负数。4、求不等式的解集。5、有个两位数的十位数字与个位数字的和大于11，如果这个两位数减去18后得到的数是原两位数的数字位置互换的两位数，求这个两位数。6、在爆破时，如果导火索燃烧的速度是每秒钟0.8厘米，人跑开的速