材力讲稿第3章扭转1-2

第三章扭转 材料力学 构件特征 等圆截面直杆 圆轴 受力特征 外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直 变形特征 纵向线倾斜一个角度 称为剪切角 或称切应变 两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动 称为相对扭转角 扭转 扭转的概念及外力偶矩的计算 M0外力偶矩 扭力矩 上节回顾 扭矩 受扭构件横截面上的内力偶矩 记为T 扭矩符号 按右手螺旋法则 扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致 为正 反之为负 上节回顾 扭矩图 扭矩随构件横截面的位置变化的图线 扭矩图 扭转 杆受扭时的内力计算 上节回顾 三 薄壁圆轴的扭转 扭转 薄壁圆轴的扭转 薄壁圆轴 壁厚远小于其平均半径 t r0 的空心圆轴 薄壁圆轴扭转试验 预先在圆轴的表面画上等间距的纵向线和圆周线 从而形成一系列的格子 圆周线保持不变 纵向线发生倾斜 r0平均半径 t壁厚 1 2 其他变形现象 圆周线之间的距离保持不变 仍为圆形 绕轴线产生相对转动 扭转 薄壁圆轴的扭转 薄壁圆轴扭转后 横截面保持为形状 大小均无改变的平面 相邻两横截面绕圆轴轴线发生相对转动 横截面上没有正应力 只有切应力 且横截面上的切应力的方向是沿着圆周的切线方向 并设沿壁厚方向是均匀分布的 壁厚较小 薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移 称为相对扭转角 用 表示 薄壁圆轴表面上每个格子的直角的改变量 称为切应变 用 表示 扭转 薄壁圆轴的扭转 扭转 薄壁圆轴的扭转 A0 r02 r0平均半径 t壁厚 几何关系 切应变 小变形条件 切应力 静力关系 dx dy dz 切应力互等定理 二个相互垂直的截面上 垂直于两截面交线的切应力大小相等 方向均指向或离开该交线 扭转 薄壁圆轴的扭转 薄壁圆轴纵截面上的切应力 剪切胡克定律 B 其中G是材料的剪切弹性模量 且 实验证明 当切应力不超过材料的比例极限时 切应力与切应变成正比 即 单位 MPa GPa 扭转 薄壁圆轴的扭转 剪切胡克定律 扭转 薄壁圆轴的扭转 参考 拉压胡克定律 切应变 切应力 切应力互等定理 四 圆轴扭转时的应力和变形 T T 研究方法 1 实验观察 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 横截面上的应力分布 观察到的变形现象 1 横截面上存在切应力 2 圆周线大小 位置 形状 间距保持不变 绕轴线产生相对转动 横截面上不存在正应力 3 圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线 2 假设 刚性平面假设 即圆轴扭转时横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 圆轴 许多个套在一起的薄壁圆轴 管 各个薄壁圆轴扭转时横截面的相对扭转角相同 横截面上的切应力处处垂直于径向 且方向同T旋转方向 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 横截面上各点切应力的方向 3 理论分析 1 几何分析 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 小变形条件下 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 同理 式中表示扭转角沿轴长的变化率称为单位扭转角 在同一截面上 常数 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 2 物理条件 剪切胡克定律 T 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 称为极惯性矩 是截面的几何性质 与截面的几何形状 尺寸有关 3 静力平衡条件 单位扭转角 单位 rad m 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 在扭矩相同的条件下 因此表示圆轴抵抗变形的能力 称为圆轴的抗扭刚度 横截面上切应力计算公式 式中称为抗扭截面模量 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 应力分布情况 T t max t max t max T 实心截面 空心截面 4 公式中几何量与的计算 a 实心圆截面 因此 而 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 b 空心圆截面 D 式中 而 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 内外径之比 讨论由两种不同材料组成的圆轴 里层和外层材料的剪切弹性模量分别为G1和G2 且G1 2G2 圆轴尺寸如图中所示 圆轴受扭时 里 外层之间无相对滑动 关于横截面上的切应力分布 有图中 A B C D 所示的四种结论 请判断哪一种是正确的 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 T 等直圆杆扭转时斜截面上的应力 1 低碳钢试件 沿横截面断开 2 灰铸铁试件 沿与轴线约成45 的螺旋线断开 因此还需要研究斜截面上的应力 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 两种扭转破坏方式 1 点M的应力单元体如图 b a b t t c 2 斜截面上的应力 取微元体如图 d d 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 d n t 转角规定 x轴正向转至截面外法线 逆时针 为 顺时针 为 由平衡方程 解得 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 分析 当 0 时 当 45 时 当 45 时 当 90 时 t 由此可见 圆轴扭转时 在横截面和纵截面上的切应力为最大值 在方向角 45 的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力 根据这一结论 就可解释前述的破坏现象 扭转 圆轴扭转时的应力和变形 五 圆轴的强度条件和刚度条件 一 强度条件 塑性材料 脆性材料 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 受扭圆轴失效的标志 塑性材料 屈服 扭转屈服应力 脆性材料 断裂 扭转强度应力 统称扭转极限应力 因此圆轴的强度条件为 式中 许用切应力 n为安全系数 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 二 刚度条件 或 的数值按照对机器的要求决定 精密机器的轴 一般传动轴 精度要求不高的轴 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 三类强度计算问题 校核强度 设计截面尺寸 计算许可载荷 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 三类刚度计算问题 校核刚度 设计截面尺寸 计算许可载荷 解 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量 轴的最大切应力 例题3 2某汽车传动轴 用45号钢无缝钢管制成 其外径D 90mm 壁厚t 2 5mm 使用时最大扭矩为T 1500N m 试校核此轴的强度 已知 60MPa 若此轴改为实心轴 并要求强度仍与原空心轴相当 则实心轴的直径为 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 所以此轴安全 若此轴改为实心轴 而 式中 解得 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 实心轴的横截面面积为 空心轴的横截面面积 空心轴与实心轴的重量之比 因此在承载能力相同的条件下 使用空心轴比较节约材料 比较经济 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 例题3 3图示等截面圆轴 已知d 90mm l 50cm 轴的材料为钢 G 80GPa 求 1 轴的最大切应力 2 截面B和截面C的扭转角 3 若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等 则在BC段钻孔的孔径d 应为多大 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 扭矩图 解 1 轴的最大切应力 作扭矩图 因此 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 2 扭转角 截面B 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 截面C 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 3 BC段孔径d 由 得 解得 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 例题3 4图示圆截面杆AB左端固定 承受一集度为t的均布力偶矩作用 试导出计算截面B的扭转角公式 解 取微段作为研究对象 根据平衡条件求得横截面上的扭矩为 微段两端截面的相对扭转角为 A B 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 因此 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 例 长为L 2m的圆杆受均布力偶m 20Nm m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用切应力 30MPa 试设计杆的外径 若 2 m 试校核此杆的刚度 并求右端面转角 解 设计杆的外径 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 40Nm x T 代入数值得 D 0 0226m 由扭转刚度条件校核刚度 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 40Nm x T 右端面转角为 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 圆轴强度与刚度设计的一般过程 根据轴传递的功率以及轴每分钟的转数 确定作用在轴上的外加力偶的力偶矩 应用截面法确定轴的横截面上的扭矩 当轴上同时作用有两个以上的绕轴线转动的外加扭力矩时 需要画出扭矩图 根据轴的扭矩图 确定可能的危险面以及危险面上的扭矩数值 校核 设计轴的直径以及确定许用载荷 计算危险截面上的最大切应力或单位长度上的相对扭转角 根据需要 应用强度设计准则与刚度设计准则对圆轴进行强度与刚度校核 设计轴的直径以及确定许用载荷 例 某传动轴设计要求转速n 500r min 输入功率N1 500马力 输出功率分别N2 200马力及N3 300马力 已知 G 80GPa 70MPa 1 m 试确定 AB段直径d1和BC段直径d2 若全轴选同一直径 应为多少 主动轮与从动轮如何安排合理 解 图示状态下 扭矩如图 由强度条件得 T x 7 024 4 21 kNm 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 由刚度条件得 T x 7 024 4 21 kNm 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 综上 全轴选同一直径时 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 可见 此轴的直径是由刚度条件控制的 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理 所以 1轮和2轮应该换位 换位后 轴的扭矩如图所示 此时 轴的最大直径为75mm T x 4 21 kNm 2 814 扭转 圆轴的强度条件和刚度条件 六 扭转的超静定问题 扭转的超静定问题 受扭圆杆的未知反力偶或扭矩数超过独立的静力平衡方程数 超静定问题的解法 1 建立静力平衡方程 2 由变形协调条件建立变形协调方程 3 应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系 代入变形协调方程 得到补充方程 4 补充方程与静力平衡方程联立 求解所有的未知反力偶或扭矩 扭转 扭转的超静定问题 例题3 5一两端固定的圆截面杆AB 在截面C处承受力偶矩T作用 试写出三种不同形式的变形协调条件 解 1 考虑截面C 式中 值应取绝对值 不考虑扭矩或扭转角的转向 扭转 扭转的超静定问题 2 考虑截面B 式中 值应取代数值 考虑扭矩或扭转角的转向 3 考虑解除B端约束 以反力矩代替 变形协调条件 式中 M和共同作用产生的扭转角 M单独作用