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第二节 常数项级数的收敛性质及其判别法一、 正项级数及其审敛法设是正项级数的部分和数列，则是单调递增数列，如果是有界的则一定存在极限（单调有界准则）定理1：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。定理2：（比较判别法）设级数和都是正项级数，且，若级数收敛级数也收敛；若级数发散级数也发散。证明：设收敛于，是正项级数的部分和数列，则有 由定理1可得所需结论。推论1：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在自然数，当时有则级数收敛；如果级数发散，且存在自然数，当时有则级数发散；例5：讨论级数的敛散性（）解：设，则由比较判别法，级数与级数同敛散。我们考虑级数，其部分和当时，级数收敛；当时，不存在，级数发散。例6：证明收敛。解：因为，而级数收敛，由比较判别法级数收敛。定理3：（比较判别法极限形式）设和都是正项级数，如果则级数和同时收敛或同时发散。证明：由极限定义，取，存在自然数，当时有由推论1可的所需结论。例7：判别级数的敛散性。解：因为，级数发散所以级数发散。例8：判别级数的敛散性。解：因为，级数收敛所以级数收敛。定理4：（比值判别法）若正项级数的后一项与前一项之比值的极限等于，即1）当时级数收敛； 2）当时级数发散； 3）当时不能确定。证明：1）如果，由极限的定义，取适当使得（无妨设），存在自然数，当时有由比较判别法得收敛。1） 如果，自己证明。3）由调和级数与例8说明。例9：判别级数的敛散性解：因为级数发散。例10：证明级数是收敛的。解：因为级数收敛。例11：判别级数的敛散性解：因为级数收敛。定理5：（根式判别法）设是正项级数，如果，则1）当时级数收敛； 2）当时级数发散；3）当时不能确定。证明：1）如果，取适当使得（无妨设），存在自然数，当时有由比较判别法得收敛。例12：判别级数的敛散性。解： 因为有根式判别法级数收敛。二、交错级数及其审敛法级数中如果含有无限项正项和无限项负项，则称为任意项级数。各项正负交错的级数，叫交错级数。如是正项级数，则级数是交错级数。定理6：如果交错级数满足条件1） 2）则级数收敛，且其和，其余项的绝对值证明：由单调有界准则：，又因为，所以 三、 绝对收敛和条件收敛定理7：如果级数收敛，则级数收敛。证明：设，但注：逆定理不成立。如定义：对于一般的级数如果级数收敛则称级数绝对收敛；如果级数发散而级数收敛，则称级数条件收敛。例12：判别级数的敛散性。（绝对收敛）解： 先考虑级数的敛散性，因为级数收敛，由比较判别法收敛原级数绝对收敛。例13：判别级数的敛散性。（发
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