拉氏变换第四章连续时间系统的复频域分析

第四章连续时间系统的复频域分析 本章重点 1 Laplace变换的定义和基本性质 2 Laplace变换应用于线性系统分析 3 系统函数H S 的概念 4 H S 的零极点与频率特性以及系统的稳定性之关系 ourier变换的局限性 Laplace变换的特点 1 变换简单且容易计算 2 可应用复频率的概念具有更普遍的意义 3 可处理的信号范围更广 4 在微分方程的求解中变微分运算为代数运算 5 自动引入初始条件 直接求出全解 4 1Laplace变换 一 从 ourier变换到 aplace变换 ourier变换对 对某些增长信号引入收敛因子 则有 1 双边 aplase变换 double sidedLaplasetransform Laplase变换对 象函数 原函数 2 单边 aplase变换 single sidedLaplasetransform 注意 不特别强调讨论的都是单边拉氏变换 单边拉氏变换下限为 这样考虑到 时刻可能发生冲激 二 aplase变换的收敛域 theregionofconvergenceforLaplasetransform 1 单边拉氏变换的收敛域 收敛坐标满足上式的函数称为指数阶函数 2 双边拉氏变换的收敛域 特别注意 双边拉氏变换要和收敛域一起 才能和原函数一一对应 例 收敛域的特点 1 收敛域为条状 平行于 轴 2 收敛域不包含拉氏变换有理式的极点 3 f t 为有限区间的函数 而且 平面中至少有一点使拉氏变换收敛 则收敛域为全平面 4 f t 为右边函数收敛域在 的右边 5 f t 为左边函数收敛域在 的左边 6 f t 为双边信号收敛域为条状 三 常用信号的拉氏变换 1 t 2 U t 3 e at4 cos ot 5 sin ot 6 te at 1 4 2拉氏变换基本性质 1 线性性质 若 其中 C1 C2为任意常数 则 例 e at f t sin ot 2 尺度变换性 若f t F s 则 3 时移性 若f t U t F s 则 例1 例2 求图示信号的拉氏变换 例3 求周期矩形脉冲信号的拉氏变换 解 设 抽样信号的拉氏变换 练习 4 频移性 若f t F s 则 解 证明 sin ot 若f t F s 则 例 6 时域积分性 解 7 频域微分性 若f t F s 则 8 频域积分性 若f t F s 则 5 时域微分性 若f t F s 则 9 时域卷积定理 若 则 10 频域卷积定理 则 若 其中 时域卷积定理证明 得证 初值 f t t 0 f 0 若f t 有初值 且f t F s 则 12 终值定理 终值 f t t f 若f t 有终值 且f t F s 则 11 初值定理 注意 终值存在的条件 F s 在s右半平面和j 轴上无极点 当f t 含有冲激Ao t Bo t 等时 有 j S平面极点分布与时域波形对照图 4 3拉普拉斯逆变换 1 查表法 2 利用常用信号拉氏变换与基本性质 3 部分分式法 亥维赛德展开定理 4 留数法 回线积分法 5 数值计算方法 计算机 方法 例1 例2 利用拉氏变换性质和常用信号变换 有 解 解 例3 解 利用因式分解 有 部分分式展开 待定系数 例4 练习 已知信号的拉氏变换 求对应的信号f t 练习 4 4线性系统的拉普拉斯变换分析法 一 电路元件的复频域模型 1 电阻元件 u t Ri t U s RI s 2 电感元件 S域欧姆定理 Ls 运算感抗 3 电容元件 4 互感元件 1 Cs 运算容抗 Cu 0 u 0 s 附加内电源 5 模拟单元 2 比例器y t Af t F1 s F2 s Y s Y s Y s Y s F s F s F s 1 加法器y t f1 t f2 t 3 微分器 4 积分器 二 s域电路基本定律 1 基尔霍夫定律 KVL定律 KCL定律 2 欧姆定律 其中 运算阻抗 运算导纳 三 电路s域分析 基本步骤 举例 1 画t 0 等效电路 求初始状态 2 画s域等效模型 3 列s域电路方程 代数方程 4 解s域方程 求出s域响应 5 反变换求t域响应 图示电路 t 0 K打开 电路稳定 有 t 0 K闭合 有s域等效模型 应用举例 例1 图示电路 开关动作前已进入稳态 试求开关打开后电感支路电流和电感两端电压 解 t 0 开关k闭合 电路稳定 有 t 0 开关打开 根据s域电路 有 图示电路 t0时电路响应i1 t 和i2 t 练习 解 t 0 开关k闭合 电路稳定 t 0 开关k断开 由s域电路 有 例3 图示电路 1 f t t 求零状态响应h t 2 欲使零输入响应uCx t h t 求i o 和uC o 1 f t t 求h t 由s域电路模型 有 解 2 欲使uCx t h t 求i o 和uC o 由s域电路模型 有 故i o 1A uC o 0 例4 已知某线性时不变系统数学模型如下 us t tU t 求零状态响应i t 解 例5 线性时不变系统的模型如下 且已知 f t U t y o 2 y o 1 求系统零输入响应 零状态响应以及全响应y t 解 零输入分量 零状态分量 全响应 4 4系统函数 一 定义 零状态响应象函数 即 激励为est时 H s 为系统零状态响应的加权函数 意义 3 系统s域数学模型 取决于系统自身结构和参数 激励信号象函数 系统单位冲激响应的拉氏变换 二 分类 策动点函数 激励与响应在同一端口 策动点导纳 策动点阻抗 转移函数 激励和响应不在同一端口 传输函数 三 系统函数H s 求法 1 h t H s 2 H s H p p s 3 零状态下微分方程 H s 4 零状态下复频域电路模型 H s 5 系统模拟框图 信号流图 H s 练习1 已知某系统模型为 求系统函数H s 练习2 图示电路求系统函数H s 由S域电路 有 练习3 已知系统模拟框图如右图示 写出系统函数 四 应用 yx t 3 求系统零输入响应yx t 系统自然频率 2 求系统零状态响应yf t 1 求系统单位冲激响应h t 4 求系统微分方程 微分方程 条件 H s 收敛域含j 轴 5 求系统频率特性H j 6 求系统正弦稳态响应 例1 7 求周期激励下系统的稳态响应 8 判断系统稳定性 9 系统模拟仿真 10 系统零极点分析 求级联系统的系统函数H s 求并联系统的系统函数H s 例2 确定图示系统频率特性 解 因为H s 收敛域含j 轴 故有 例3 某系统的系统函数为 解 1 H s 收敛域 求频率特性和激励f t 100cos 2t 45 时系统的正弦稳态响应y t 含j 轴 有 4 5系统函数的零 极点分析 例1 极点 零点 特点 极点决定系统的固有频率或自然频率 零 极点决定于系统时域特性 一 系统函数的零点与极点 例 零极点图 2 研究系统零极点意义 1 可预测系统的时域特性 2 确定系统函数H s 3 描述系统的频响特性 4 说明系统正弦稳态特性 5 研究系统的稳定性 练习 H s 的零极点分布如图示 且H 0 4 求H s 二 零点与极点分布与系统的时域特性 1 H s 极点在s左半平面 单实极点 共轭极点 重实极点 重共轭极点 X X 2 XX X 2 X 2 2 H s 极点在s右半平面 单实极点 共轭极点 重实极点 重共轭极点 X XX X 2 X 2 X 2 3 H s 极点在j 轴 单实极点 共轭极点 重实极点 重共轭极点 X 2 X 2 XX X 2 j S平面极点分布与时域波形对照图 三 H s 零 极点分布与系统的频率特性 其中 矢量随频率的变化 振幅 相位 4 6系统的稳定性分析 一 定义 若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应 则该系统是稳定的 二 稳定性准则 充要条件 可见 系统稳定性取决于系统本身的结构和参数 是系统自身性质之一 系统是否稳定与激励信号无关 其中 Mf My为有限正数 其中 M为有限正数 即 系统的单位冲激响应绝对可积 则系统稳定 三 稳定性判断 1 极点判断 1 H s 极点全部位于s左半平面 系统稳定 2 含有j 轴单极点 其余位于s左半平面 系统临界稳定 3 含有s右半平面或j 轴重极点 系统不稳定 由系统极点判断 2 霍尔维茨 Hurwitz 判断法 若 1 系数无缺项 2 ai 0i 0 1 n则D s 称为霍尔维茨多项式 系统稳定必要条件 H s 中的D s 应为霍尔维茨多项式 一 二阶系统充要条件 稳定条件 A 0 B 0 3 罗斯 Routh 判断法 例 1 D s 应为霍尔维茨多项式 2 排列罗斯阵列 3 由罗斯准则判断D s 0根的分布 4 判断系统的稳定性 罗斯阵列 例1 罗斯阵列中首列元素同号时 故D s 0的根全位于s左半平面 罗斯准则 罗斯阵列中 1 阵列中首列元素同号时 其根全位于s左半平面 2 阵列中首列元素有变号时 则含有s右半平面根 个数为变号次数 例2 练习 某行首列元素为零 其他元素不为零 可用无穷小量 代替0 继续阵列计算 无穷小量 可视为正数或负数 故 D s 0含两个s右半平面根 例3 某行元素全为零 可从上行找辅助多项式 求导 得系数 继续阵列计算 故 D s 0无s右半平面的根