数学建模优秀论文.doc

省 城 高 校 第 二 届 六 校 数 学 建 模 联 赛承 诺 书我们仔细阅读了太原地区数学建模联赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛试题题目是： B题 参赛报名号为： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 武彦辉 2. 张 志 3. 刘 聪 日期： 2011 年 4 月 25 日省 城 高 校 第 二 届 六 校 数 学 建 模 联 赛评阅记录评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注横 渡 瓯 江摘要本文通过建立优化模型，解决了在抢渡瓯江比赛中，如何选择最佳的路径使得到达终点的时间最短，同时给出了游泳者成绩为8分02秒的一种游泳速度最小的路线方案。问题一中利用全程垂直距离偏移量等于80米的思路进行求解。在水平距离、游泳方向已知的情况下，建立游泳速度与总偏移量的等量关系，求得游泳速度时，才能达到终点。而通过对此结果与自由泳世界纪录保持者比较后，得出他（她）们不能到达终点。在问题二中，通过确定游泳者游泳速度方向，从而确定游泳路径。游泳方向的频繁改变，不利于游泳者体力的节省，也不切合实际，因此，把全程分四段来研究，以时间最短为目标函数，建立规划模型，通过LINGO程序解得最短时间s，游泳路线：在区域内以北偏东的方向游539.1576s；在区域内，以北偏东的方向游295.4755s。关于问题三，为了使游泳者比较轻松取得8分02秒的成绩，在确定游泳路线时，尽可能使游泳速度小。因此，以游泳速度为目标函数，建立规划模型，通过LINGO程序解得，游泳路线：在区域内，以北偏东的方向游320.59s；在区域内，以北偏东的方向游161.41s。论文的末尾给出了模型优缺点的分析和评价，并提出了改进方向：如果考虑到地球表面是一个球面，对实际直线距离的影响时，所得结果会更加精确。关键词：最佳路线 优化模型 Lingo程序 最小速度 数学规划一、 问题的重述每年春节正月初一冬泳横渡瓯江已成为温州市的传统健身表演项目，是冬泳爱好者的年度检阅。温州市冬泳爱好者协会邀请各冬泳组织、冬泳爱好者前来参加游渡，大家一起来温州旅游共渡中华民族新春佳节。第一届横渡瓯江从1983年开始，2009年1月26日，第27届“福达杯”横渡瓯江冬泳活动在星河广场举行，当时，天空飘起了雨，而且越来越大，阴冷的天气给横渡增添了难度，据现场测定，瓯江水温为7.8摄氏度，气温约为4摄氏度。但是，对参加横渡的冬泳者来说，越冷越刺激，越冷越有挑战性。10点55分，参加抢渡的选手们跃入茫茫瓯江，奋力向对岸游进。在瓯江抢渡，与标准游泳池的竞技大有不同，除了游泳技能，还需要丰富的冬泳经验、过硬的心理素质和抗寒能力，同时还受到偶然因素的影响。此次参加横渡的总人数达到了307名，分属27支代表队。最终，304人到达终点，第一名的成绩是8分02秒。横渡的起点设在江滨路星河码头，终点设在江心屿西塔埠头，水平距离L=480米，垂直距离H=80米，游渡路线图如下： 480米80米从安全方面考虑，要求参加游渡者须是近期坚持冬泳者，在水温8左右能连续不停游500米，男子时间要求在13分钟以内，女子时间在15分钟以内（潮水限制）。游渡时潮水对游泳者有非常大的影响。潮平时入水，其实此时的瓯江江中央的潮水还是向上（向西）涌动，而靠江心屿一面的江水基本上静止了，当中央的江水静止时，面靠江心屿一面的江水正开始退潮（潮水向东）。游渡过程中，未过2/3前，潮水是向西流的，游渡过2/3后，剩下1/3的游程，江水开始向东流动，流速已加快。若水流速度满足 请你们通过数学建模来分析上述情况，并回答以下问题：(1) 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小不变，并始终以和对岸垂直的方向游，试问：他(她)们能否到达终点？若能到达终点，求出游泳者的速度大小，游完全程的成绩，并画出游泳路线图。(2) 设从江滨路星河码头水平朝右为x轴正向，游泳者的速度大小(0.6米/秒)全程保持不变，试为他选择最佳的游泳路线，估计他的成绩，并画出游泳路线图。(3) 已知第一名的游泳成绩是8分02秒，试求他的一种游泳方向和速度大小，并画出游泳路线图.二、 问题的分析本问题是一个渡江路线的选择问题。目的是找出从起点到终点时间最短的路线，而时间的长短取决于路程和速度，实际速度的大小受限于流速和游泳者的速度大小与方向，因此针对不同的前提条件给予不同的考虑。针对问题一，游泳者速度方向一定，水流速度分布也一定，所以可确定游泳路线是由两线段组成的一条折线，建立游泳者速度与垂直距离的函数关系，从而解出满足题意的答案。但不一定就符合实际情况，须通过检验后方可得出结论。针对问题二，游泳者速度大小一定而方向不定，最佳路线将由游泳者的速度方向和水流速度分布决定。最佳路线也就是渡河时间最短的路线。所以问题也就转化为游泳者以何种方向游时，渡江所用时间最短，通过建立时间最短的数学规划模型得以解决。针对问题三，需要解决的关键点在于确定出适合游泳者游泳速度的渡江路线（不一定是最短路线），使其在整个过程中所用的时间正好等于8分02秒，时间作为约束条件，游泳速度作为目标函数，问题就转化为带约束的优化问题。三、 模型的假设1. 游泳者每一次调整方向均为瞬间完成；2. 不考虑风向、风速、水流漩涡等因素对游泳者的影响；3. 将游泳者在江中的运动者看成质点在平面上作二维运动；4. 在区域内，各处水流速度均为向西流；5. 在区域内，各处水流速度均为向东流；6. 游泳者在一次渡江过程中速度大小始终保持不变。四、 符号说明：水流速度：游泳者在静水中的速度：游泳者在区域内，游泳方向与轴正方向所成的角度：游泳者在区域内，游泳方向与轴正方向所成的角度：由起点游到终点所需的总时间：游泳者在区域内以垂直于对岸方向的速度游泳所需时间：游泳者在区域内以与轴成角方向的速度游泳所需时间：游泳者在区域内以垂直于对岸方向的速度游泳所需时间：游泳者在区域内以与轴成角方向的速度游泳所需时间：星河码头与西塔埠头的水平距离：星河码头与西塔埠头的垂直距离五、 模型的建立与求解5.1关于问题1的模型建立与求解根据游泳者的速度大小不变，方向始终和对岸垂直的情况下，由于水流速度满足所以游泳者的游泳轨迹可看作是由两条线段组成的一条折线。利用与、，建立关于游泳者的速度的数学模型：利用Matlab求解得：游泳路线图： 要想成功到达终点，根据模型可得的速度才能到达对岸。但根据有关资料表明，男子自由泳世界纪录（400米以上）和女子自由泳世界纪录（200米以上）也未能达到此速度（见下表）：项目（米）100200400800男子成绩(秒）46.91102.00220.07452.12平均速度（米/秒）2.131.961.821.77女子成绩（秒）52.07112.98239.15494.10平均速度（米/秒）1.921.771.671.22（资料来自：/rank/swimming.php）从表中知，只有男子400米自由泳内和女子100米自由泳内的世界纪录才能达到1.8m/s速度。但在实际冬泳约500m的距离中，由于普通冬泳者的体能是有限的，不可能以1.8m/s的速度游完全程，因此，游泳者始终以和对岸垂直的方向游是不能到达终点的。5.2关于问题2的模型建立与求解本问考虑的是游泳方向的分布情况，在和两个区域中水流速度不变，游泳者的速度大小是全程不变的，因此在各段中如果游泳者的方向不变，即走直线效果最好，有利于节省游泳者的体力。为了给出游泳者的最佳游泳路线，并尽可能遵循游泳者方向不变的原则，把全程按游泳方向的不同分为四段：以总时间t最小为目标函数，建立规划模型： （总水平直线距离等于480米） （ 区域内，水平直线距离等于160米）（起点到终点的垂直距离等于80米） （小于等于90度） (小于等于90度）通过LINGO程序对上述模型进行运算，结果为：ss , s , s , s,由求解结果知：此游泳者的最优成绩为t=834.6332 s，取近似值t=834.65 s 在区域内游泳者以与轴正向成角的速度游到处；在区域内以与轴正方向成角的速度游到终点。 考虑到实际情况的影响，将取s最佳游泳路线如下图所示：5.3关于问题3的模型建立与求解本问中考虑到游泳者体力消耗与游泳速度有较大的联系，因此需确定一种游泳速度方向，使游泳者速度最小并能取得8分02秒的成绩。延续模型2中的思路，尽可能使游泳者游泳速度方向保持不变。综上所述得出如下方案：以游泳者游泳速度为目标函数，把游泳全程分为四段建立规划模型： （总水平直线距离等于480米） （ 区域内，水平直线距离等于160米） （起点到终点的垂直距离等于80米） （总时间等于482秒） （小于等于90度） (小于等于90度） ，通过LINGO程序对上述模型进行运算，结果为： s s s s 由求解结果知此游泳者最小平均速度为：取近似值为： 在区域内，以的方向游320.59秒，在区域内，以的方向游161.41秒。游泳路线如下： 六、 模型的评价与应用6.1优点：本模型针对不同的前提假设建立了对渡江路线优化选择的模型，寻找出了相应的优化路线，效果比较理想。模型1的最大优点是：先求出满足题意的游泳速度，然后对其进行检验，与实际相联系，为最终答案的确定起了决定性作用。模型2的最大优点是：结合实际，游泳者频繁改变方向会使体力消耗加快，因此我们把全程分为四段来建立规划模型，即游泳方向最多改变三次，这样既符合实际，也简化了模型。模型3的最大优点是：进一步结合实际，不仅具有模型2的优点，还在满足要求的情况下，求得了最小游泳的速度，有利于游泳者节省体力轻松完成比赛。6.2缺点与改进：建立的模型虽然在一步步的实际化，但总体来讲有些理想，比如在问题二中建立规划模型时，水平约束距离取了直线距离，而没有考虑地球表面是一个球面，对实际距离的影响，以及在江中的风浪阻力对游泳者的影响。若在计算时考虑这些方面，则所得的游泳路线及最短时间会更加精确。其他方面也有些理想化，不利于实际操作，需进一步改进。6.3应用：模型可用于航海、渡江路线的优化选择，也可用于渡江、游泳等比赛路线的优化选择。参考文献1. 刘焕彬 数学建模与实验 北京 开学出版社 2008年2. 谢金星 优化建模与LINDO/LINGO软件 北京 清华大学出版社 2005.73. 陈怀琛 线性代数实践及MATLAB入门 北京 电子工业出版社 2005.10附录问题一的程序：MATLAB程序 a=80,-320*1.2+160*1.5; x=roots(a)x = 1.8000问题二的程序：LINGO程序min=t1+t2+t3+t4;0.6*t1+0.6*t5*t2=320;0.6*t6*t4+0.6*t3=160;1.2*t1+1.2*t2-0.6*(1-t52)(1/2)*t2-1.5*t4-1.5*t3-0.6*(1-t62)(1/2)*t4=80;t1+0;t2=0;t3=0;t4=0;t5=0;t5=0;t