有理数复习指南.doc

“有理数”复习指南山东 左加亭一、 复习目标：1、 通过复习有理数能了解具有相反意义的量的特点，掌握有理数的概念，了解有理数与整数、分数之间的包含与被包含的关系，并会对给出的有理数按安求分类。2、 掌握数轴的概念、并能正确地画出数轴，能借助数轴比较有理数的大小。3、 掌握互为相反数的数在数轴上的位置关系，能理解相反数的性质，并能运用相反数的概念解题。4、 能借助数轴，从代数几何两个角度正确理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。5、 进一步理解有理数的加、减、乘、除、乘方的意义，熟练掌握有理数的运算法则，运算律、运算顺序以及有理数的混合运算，能灵活地运用运算律简化计算。6、 了解近似数和有效数字的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数求近似数，会用科学计数法表示一个数。二、 知识结构网络 三、 基础知识精讲1、 正确判断正负数大于零的数是正数，在正数前面加上“一”的数叫做负数，0既不是正数也不是负数。若向东走3步，记作“十3”那么向西走3步，就记作一3等等。2、 有理数的分类按定义分：按正负性分：3、 数轴规定了原点、正方向、和单位长度的直线叫数轴，数轴的两端可以无限延长，原点、正方向、和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。但数轴上的点末必都是有理数。4、 相反数只有符号不同的两个数称为互为相反数。0的相反数是0，在数轴上表示互为相反数的两个点分别在原点两侧，并且与原点的距离相等。5、 绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。可见一个数的绝对值一定是非负数。具体应用时分为三类：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，既是它本身又是它的相反数，由此可知，绝对值是它本身的本身的数是正数和0，即非负数，绝对值是它相反数的数是负数和0。6、 有理数的大小比较正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。7、 有理数的加减运算加法是基础，减法可转化为加法，加减可统一成加法。进行加减运算时，一定要先确定结果的符号，再确定结果的绝对值。进行有理数加减混合运算时，一般是将减数变号后写成加数，转化为加法并适当运用加法交换律、结合律，达到简化计算的目的。8、 有理数的乘法、除法、乘方的运算 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘，除以一个数等于乘以这个数的倒数，由此除法可转化为乘法。0乘以任何数都等于0，0不能做除数，乘方运算时，要分清底数和指数，要特别是指数的含义，多个有理数进行乘除混合运算时，要注意利用乘法交换律、结合律，使运算简化。9、 有理数的混合运算 有理数的混合运算的顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。若遇到比较复杂的乘方运算，可用计算器，要注意正确使用计算器。10、 近似数与有效数字 近似数的精确度有两种表示形式：一是精确到哪一位，二是保留几个有效数字。姒3.0145四舍五入后得3.01，其精确度是（1）精确到0.01（或精确到百分位）（2）保留三个有效数字 有效数字：从左边第一个不是零的数字起，到精确到的数位止，所有的数字（包括零、重复的数字）都是这个数的有效数字。四、 重点、难点重点：本章的重点内容是有理数的有关概念，及有有理数的运算。难点：本章的难点是与负数有关的概念及运算，能够熟练地运用有理数的知识解决具体的实际问题。五、 思想方法总结1、 数形结合的思想 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系与图形巧妙结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。本章自始至终利用数轴（形）来定义或描述有理数（数）的概念和运算。数轴成为理解有理数相关概念及其运算的重要工具。这种“数”与形相结合的思想是我们研究数学问题的重要思想方法。2、 分类思想分类就是根据所研究对象性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。“有理数”一章在研究相反数、绝对值、有理数加法法则、乘法法则以及乘方运算的符号法则时，都是按有理数分成正数零负数三类来研究的。3、 转化的思想方法有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法，而有理数的加法又可以转代化为绝对值的加或减来进行，乘方运算实际上就是乘法运算。这些都体现了将新问题转化为另一个熟悉的或己解决的问题的思想，即转化思想。六、 易错点突破1、 由绝对值求原数时，易漏掉负数例1、已知则a的值为（） A、6B、一4C、6或一4D、一6或4错解：由得选A分析：是有理数，可能是正数，也可能是负数。事实上所以选C。2、 有关概念理解不全面例2、判断正误：（1） 最小的整数是0（2） 离原点的距离是6个单位长度的点表示的数是6（3） 互为相反数中一定有一个是正数，有一个又负数（4） a与一a一定不相等（5） 若则a=b错解：（1）（2）（3）（4）（5）都正确分析：（1）整数包括正整数、0、负整数，而最小的负整数不存在（2）离原点的距离是6个单位长度的点应考虑到原点两侧的情况。（3）互为相反数中特殊情况是“0的相反数还是0”（4）字母a代表任意有理数，a=0时 时，a与 中一个是正数，一个是负数。字母的取值情况考虑不周，容易犯错误。（5）字母a、b的取值是任意有理数，如a=一2，b=2时 但 正确的结论是：绝对值相等的两个数或者相等，或者相互相反数。因此（1）（2）（3）（4）（5）都不正确。3、有理数的混合运算既有加减运算，又有表示有理数的性质的正、负号，在计算中若不细心，容易造成符号变换的错误例3、计算：错解：原式=分析：错解中应等于而不是出现了符号方面的错误。正解：原式=4、运用乘法分配律时，符号出错例4、计算错解：原式=分析：错因是括号前面的符号处理不当，可以保持括号前面的负号不变，先对后面运用运算律。正解：原式=5、 乘方运算时出现符号错误例5、计算：错解：原式=分析：算式中的应理解为“2的4次方的相反数”即而不是正解：原式=6、 混淆了运箅顺序例6、计算：错解：原式=分析：上述错解的原因是违背了同级运算从左到右的顺序。正解：原式=七：典型例题分析有理数一章中的数轴、相反数、绝对值、科学记数法以及有理数的运算等都是历年各地中考的必考知识点。现就其常见的考查典型例题分类归纳如下，供同学们学习时参考。（一） 考查正负数1、（2005福州）吐鲁番盆地低于海平面155m，记作一155m，福州鼓山绝顶峰高于海平面919m，记作 m。2、若李明同学家里去年收入3万元，记作3万元，则去年支出2万元，记作 分析：上述两题利用正负数的概念求解。解：（1）若吐鲁番盆地低于海平面155m，记作一155m，福州鼓山绝顶峰高于海平面919m，记作+919m应填+919m（2）若李明同学家里去年收入3万元，记作3万元，则去年支出2万元，记作一2万元，应填一2万元。（二）考查相反数、绝对值例2、（1）2006江苏常州）的相反数是 的绝对值是 （2）若m、n互为相反数，则= 分析：正确理解相反数、绝对值的意义是解答本题的关键。解：（1）应填,（2）m+n=0, 则=1（三）考查数轴例3、在数轴上，与表示一1的点的距离为3的点所表示的数是 分析：本例主要考查同学们数形结合的思想，如阁A、B两点到一1表示的点的距离均为3，则由陶所表示的数为2或一4。答案：2或4（四）考查有理数的分类例4、有理数中，属于负数的有 ，属于整数的有 分析：判别一个有理数的数性，不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简才能下结论。解：因为所以属于负数的有，属于整数的有（五）考查有理数大小的比较例5、（1）在0，一1，1，2这四个数中，最小的数是（）A、 一1，B、0，C、1，D、2分析：可以利用绝对值或数轴比较解：在数轴上可以看出一1012，所以最小的数是一1，故应选A。（2）比较的大小，结果正确的是（）A、B、C、D、分析：因为正数大于一切负数因此不难推断是三个数中最大的，而根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可知：解：由上面分析可知答案为A。（六）考查有理数的计算例6、计算（1）（2）分析：进行有理数的混合运算时，一要注意运算的顺序二要注意符号问题，另外，能使用运算律的，要尽可能运用定律简化计算过程。解：（1）=（2）（七）考查科学计数法例7、（2005山东青岛）推2005年6月9日中央电视台东方时空栏目报道：由于人类对自然界资源的不合理开发与利用，严重破坏了大自然的生态平衡，目前地球上大约45分钟就有一个物种灭绝。照此速度，请你预测：再是10年（每年365天计算）将有大约（）个物种灭绝。A、B、C、D、解析：本题紧紧抓住中央电视台“东方时空”新闻栏日的报道素材，编写了与科学记数法有关的中考题，旨在激发学生树立爰护地球物种的意识，用实际行动保护自然资源，从而达到保持大自然生态平衡的目的。故选A。（八）考查观察探索能力例8、（1）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形与第22个三角形数的差为 分析：要求差就应从差的角度观察，第2个数比第1个数大2，第3个数比第2个数大3，第6个数比第5个数大6，第23个数比第22个数大23，第24个数比第23