广东省2009届高三数学一模试题分类汇编——立体几何理科.doc

广东省2009届高三数学一模试题分类汇编立体几何一、选择题填空题 图3俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 51、（2009广州一模）.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图3所示，则该几何体的侧面积为_cm2. 802（2009广东三校一模）如图，设平面，垂足baAEFBDC分别为，若增加一个条件，就能推出.现有 与所成的角相等;与在内的射影在同一条直线上;.那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是个 个 个 个.C3、（2009东莞一模）如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为 A B. C. D.A4、（2009番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）A12 B C D6C5、（2009汕头一模）在空间中，有如下命题： 互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； 若平面平面，则平面内任意一条直线m平面； 若平面与平面的交线为m，平面内的直线n直线m，则直线n平面； 若平面内的三点A, B, C到平面的距离相等，则 其中正确命题的个数为（）个。 A 0 B 1 C 2 D 3B6、（2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为 ，最大俯视图主视图值为 . （2分），（3分）.二、解答题1、（2009广州一模）如图4，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABAC，D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点，连接DE，DF，EF.(1)求证: 平面DEF平面ABC；(2)若PA=BC=2，当三棱锥P-ABC的体积的最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.(本题主要考查空间中的线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)ABCPDEF 证明:D、E分别是棱PA、PB的中点，DE是PAB的中位线，DEAB，DE平面PAB，AB平面PAB， DE平面PAB， 2分 DEDF=D，DE平面DEF， DF平面DEF， 平面DEF平面ABC. 4分 (2)求三棱锥P-ABC的体积的最大值，给出如下两种解法：解法1：由已知PA平面ABC， ACAB，PA=BC=2，AB2 +AC2 =BC2=4，三棱锥P-ABC的体积为6分.当且仅当AB=AC时等号成立，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=.解法2：设AB=x，在ABC中，(0x2)，三棱锥P-ABC的体积为 6分 ， 0x2，0x24，当x2=2，即时，V取得最大值，其值为，此时AB=AC=. 8分求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.，给出如下两种解法：解法1：作DGEF，垂足为G，连接AG，PA平面ABC，平面ABC平面DEF，P A平面DEF，EF平面DEF， P AEF.DGPA=D，EF平面PAG，AG平面PAG，EFAG，AGD是二面角A-EF-D的平面角. 10分ABCPDEFG 在RtEDF中，DE=DF=， ，. 在RtADG中，.二面角A-EF-D的平面角的余弦值为. 14分解法2：分别以AB、AC、AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，D(0，0，1)，E(，0，1)，ABCPDEFxyzF(0，1). . 9分设为平面AEF的法向量，则，即，令，则，z=1,为平面AEF的一个法向量. 11分平面DEF的一个法向量为， 13分而与所成角的大小等于二面角A-EF-D的平面角的大小. 二面角A-EF-D的平面角的余弦值为. 14分2、（2009广东三校一模）如图,在梯形中,MFECDBA,平面平面,四边形是矩形,点在线段上.(1)求证:平面;(2)当为何值时,平面?证明你的结论;(3)求二面角的平面角的余弦值.（）在梯形中，四边形是等腰梯形，且 2分又平面平面，交线为，平面 4分（）解法一、当时，平面， 5分在梯形中，设，连接，则 6分，而， 7分，四边形是平行四边形， 8分又平面，平面平面 9分解法二：当时，平面，由（）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分xDyzCOFBAE则，平面，平面与、共面，也等价于存在实数、，使， 设.，又， 6分从而要使得：成立，需，解得 8分当时，平面 9分（）解法一、取中点，中点，连结，平面又，又，是二面角的平面角. 6分在中,. 7分又. 8分在中，由余弦定理得, 9分xDyzCOFBAE即二面角的平面角的余弦值为.解法二:由()知,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则,，过作,垂足为. 令, 由得,即 11分,二面角的大小就是向量与向量所夹的角. 12分 13分 即二面角的平面角的余弦值为. 14分3、（2009东莞一模）如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为. （1）求证：D1EA1D； （2）求AB的长度； （3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE平面AD1，AD1是ED1在平面AD1内的射影。又AD=AA1=1， AD1A1D D1EA1D1（三垂线定理） 4分（2）设AB=x，四边形ADD1A是正方形，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为 9分（3）假设存在，平面DEC的法向量，设平面D1EC的法向量，则 12分由题意得：解得：（舍去）14分4、（2009番禺一模）如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,若、分别为线段、的中点(1) 求证：直线/ 平面；(2) 求证：平面平面； (3) 求二面角的正切值.(1)证明：连结，在中/ 2分且平面，平面 .4分(2)证明：因为面面平面面所以，平面6分 又，所以是等腰直角三角形，且即.8分，且、面面又面面面.10分(3)解：设的中点为,连结,则由()知面,面是二面角的平面角.12分中，故所求二面角的正切为 14分 另解：如图,取的中点, 连结,., .侧面底面, ,而分别为的中点,又是正方形,故.,.以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,则有,.为的中点, .（1）易知平面的法向量为而,且, /平面.(2), ,从而,又,而, 平面平面(3)由(2)知平面的法向量为.设平面的法向量为.,由可得,令,则,故,即二面角的余弦值为,二面角的正切值为.图55、（2009江门一模）如图5，直四棱柱中，是直二面角，是二面角，侧面，求三棱锥的体积；求证平面；求二面角的平面角的余弦值是直四棱柱，所以、分别是二面角、的平面角，-1分，又因为，所以-2分在上底面中，作，垂足为，则是边长为2的正方形，-3分，所以三棱锥的体积-5分在三角形中，、-6分，所以-7分又因为是直四棱柱，从而-8分因为，所以平面-9分由知，以为原点，、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系-10分，依题意、-11分设平面的一个法向量为，依题意-12分，设，得-13分，平面的一个法向量为，所以二面角的平面角的余弦值为-14分6、（2009汕头一模）如图，己知BCD中，BCD = 900，BCCD1，AB平面BCD，ADB600，E、F分别是AC、AD上的动点，且 （1）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC： （2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60，求的值（1）证明：因为AB平面ABCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD = 900，所以，BCCD，又ABBCB，所以，CD平面ABC，3分又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且所以，EFCD，总有EF平面ABC：EF平面BEF，所以，不论为何值，总有平面BEF平面ABC6分（2）解：作BQCD，则BQ平面ABC，所以，BQBC，BQBE，又BQ与CD、EF共面，所以，平面BEF平面BCDBQ，所以，CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60，所以，cos60，所以，2BMBE9分又，所以，1，在ABC内作EMBC交BC于M，由1，又在BCD中，BCD = 900，BCCD1，所以，BD，又在RtABD中，AD B= 600，所以，AB，所以，EM（1）又，且BC1，所以，BM由得：426（1）222420，2或2（舍去）2。14分故当若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60时，7、（2009深圳一模）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形和圆所在的平面互相垂直已知,（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的大小；()当的长为何值时，二面角的大小为？【解】（）证明：平面平面,平面平面=，平面平面，又为圆的直径，平面平面，平面平面 4分 （）根据（）的证明，有平面，为在平面上的射影，因此，为直线与平面所成的角 5分，四边形为等腰梯形，过点作，交于,，则在中，根据射影定理，得7分，直线与平面所成角的大小为 8分 ()（解法一）过点作，交的延长线于点，连根据