奇偶性分析.doc

高中常见的奇偶性分析整数运算的奇偶性分析，是数学中的基本问题，近几年高考中时有体现，但是从答题的情况来看，答得很不理想。下面，将奇偶性运算的一些基本知识，基本结论，基本问题做一下解析。将全体整数分为两类，凡是2的倍数的数称为偶数，否则称为奇数。因此，任一偶数可表为2m（mZ），任一奇数可表为2m+1或2m1的形式。奇、偶数具有如下性质： （1）奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数； 奇数偶数=奇数；偶数偶数=偶数； 奇数偶数=偶数；奇数奇数=奇数； （2）奇数的平方都可表为8m+1形式，偶数的平方都可表为8m或8m+4的形式（mZ）. （3）任何一个正整数n，都可以写成的形式，其中m为非负整数，l为奇数.一代数中的奇偶问题例1下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？+=，-=，.分析：采用分类讨论的数学思想+=：奇+奇=偶；奇+偶=奇； 偶+奇=奇两个偶数；-=：奇-奇=偶；奇-偶=奇； 偶-奇=奇两个偶数；：奇偶=偶； 偶奇=偶两个偶数；：偶奇=偶，偶偶=奇两个偶数。综上，至少有八个偶数。 例2已知n是偶数，m是奇数，方程组的解是整数，那么( （A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数.（C）p是偶数，q是奇数 （D）p是奇数，q是偶数 分析：因为n是偶数，为偶数，即p是偶数；则是偶数，又m是奇数，所以是奇数，故是奇数，所以选C。例3在1，2，3，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.分析：是偶数；在1，2，3，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和与相比，等于是把减去前面添加“负号”的数字和的两倍，所以，的奇偶性没有改变，所以代数和是偶数。练习1在1，2，3，1989之间填上“+”号或“-”号，求和式可以得到的最小非负数是多少？ 分析：是奇数，所以在1，2，3，1989之间填上“+”号或“-”号，求和式为奇数，最小的非负奇数为1，而，所以结果为1。练习2（2010北京理20）已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() （略）证明：（I）设， 因为，所以, 从而又由题意知，.当时，;当时，所以(II)设，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的个数为。设是使成立的的个数，则由此可知，三个数不可能都是奇数，即,三个数中至少有一个是偶数。（）还可以如下证明：； ； 。设上述三数均为奇数，则为偶数，但与 为偶数与为奇数矛盾。例470个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，.问最右边的一个数被6除余几？分析：前面的数依次是0，1，3，8，21，55,144，377，987,2584。被2除的余数依次是0,1,1,0,1,1,0，3个一循环，且；被3除的余数依次是0,1,0,2,0，1，0,2，四个一循环，且。所以，第70个数为偶数，且被3除与1，即，当时，不成立，当时，所以，第70个数被6除余4。例5设是一组数，它们中的每一个都取1或1，而且，证明：n必须是4的倍数。分析： ，且每一个式子每一个都取1或1，说明上述 n个式子中有个1，个1，所以，n必须是2的倍数； 又因为 ，所以是偶数，故n必须是4的倍数。二图表中的奇偶问题例1在33的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.+-+-+-+-+ba分析：把目光放到左上角的两个22的表，左表“+”“”都是偶数个，而右表“+”“”都是奇数个，对左表左上角的两个22的表整行整列改变符号时，“+”“”个数发生变化，但奇偶性不会变化，所以左表不会变化为右表。例2设线段的两个端点中，一个是红点，一个是蓝点，在线段中插入个分点（红或蓝），把分成个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为蓝点的话，则称它为标准线段。求证：不论分点如何选取，标准线段的条数总是奇数。分析一：采取逐步加点的办法来考察：开始，只有两个端点，一个是红点，一个是蓝点，有一条标准线段，下面往里添加分点。第一种，添加红点，若红点添在“红红”分点之间，标准线段不增加；若红点添在“红蓝”分点之间，标准线段不增加；若红点添在“蓝蓝”分点之间，标准线段增加两条；，及奇偶性不变。第二种添加蓝点时结论一样，最开始时，只有一条，故最终有奇数条。分析二：设这个点中，左端个点是红点，右端点为蓝点，总共只有一条标准线段。对于任何一种结果都可以看做是由这种情况把有限个红点变成蓝点得来，如果要变得红点在“红红”之间，那么，将增加两条标准线段；如果要变得红点在“红蓝”或“蓝红”之间，那么，标准线段不发生变化；所以最后标准线段是奇数条。例3一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁分割成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两展览室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室（可重复）之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门（重复经过的重复计算）的次数之差总是偶数。分析：参观者纵向前进进入多少个门，回到厅外就还要向回走多少个门；左走多少个门，就要右走多少个门。所以走过的总的门数一定是偶数；那么走过的两种门的和是偶数，差也一定是偶数。三循环中的奇偶问题例1在1，9，8，5开头的一列数中，从第五个数开始，每个数字都等于它前面相邻的四个数字之和的个位数字。求证：在这一列数中不会出现：，1，9，8，6，。分析：个位数字依次是1，9，8，5，3，5，1，4，3，3，1，1，8，3，3，5，9，0，被2除的余数分别为：110111101111011110。后面的已形成循环，而1986被2除的余数是1100，故已不可能。例2有一无穷小数，其中是数字，并且是奇数，是偶数，等于的个位数，是的个位数，求证：是有理数。分析：再从小数点后第一位开始依次是：奇偶奇奇偶奇奇，后面偶奇奇形成循环，根据乘法原理，偶奇对的不同结果不会超过个，故小数点后前77位已经是循环了，成为循环小数，故该数是有理数。综合练习1设正整数d不等于2，5，13.证明在集合2，5，13，d中可以找到两个元素a,b，使得ab1不是完全平方数. 2设a、b是自然数，且有关系式12345678