高中数学知识点总结-选修2-3

第一章 计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。n元集合A=a1，a2，an的不同子集有2n个。1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。排列数公式：Anm=n!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)n个元素的全排列数Ann=n!规定：0!=11.2.2 组合一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm或nm表示。组合数公式： Anm=CnmAmmCnm=AnmAmm=n!m!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)m! 规定：Cn0=1组合数的性质：Cnm=Cnn-m (“构建组合意义”“殊途同归”)Cn+1m=Cnm+Cnm-1 （杨辉三角）kCnk=nCn-1k-1*CnkCn-km-k=CnmCmk1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn (nN*)其中各项的系数Cnk (k0，1，2，n)叫做二项式系数(binomial coefficient)；式中的Cnkan-kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示通项展开式的第k+1项：Tk+1=Cnkan-kbk*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1) 对称性(2) 当n是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cnn2+1取得最大值；当n是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cnn-12，Cnn+12同时取得最大值。(3) 各二项式系数的和为 2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnk+Cnn(4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+(5) 一般地，Crr+Cr+1r+Cr+2r+Cn-1r=Cnr+1 (nr)第二章 随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discrete random variable)。概率分布列(probability distribution series)，简称为分布列(distribution series)。Xx1x2xixnPp1p2pipn也可用等式表示：PX=xi=pi ，i=1，2，n根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1) pi0，i=1，2，n；(2) i=1npi=1随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)：EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机变量X的方差(variance)刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度DX=i=1n(xi-E(X)2pi其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差(standard deviation)。EaX+b=aEX+bDaX+b=a2DX若随机变量X的分布具有下表的形式，则称X服从两点分布(two-point distribution)，并称p=P(X=1)为成功概率。(两点分布又称0-1分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以两点分布又叫伯努利分布)X01P1-pp若X服从两点分布，则E(X)=p ，D(X)=p(1-p)一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则PX=k=CMkCN-Mn-kCNn ，k=0，1，2，mX01mPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNnCMmCN-Mn-mCNn其中m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution)。2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称PBA=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(conditional probability)。如果B和C是两个互斥事件，则PBCA=PBA+P(C|A)2.2.2 事件的相互独立性设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)。可以证明，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立。2.2.3 独立重复试验与二项分布一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验(independent and repeated trials)。PA1A2An=PA1P(A2)P(An)其中Ai (i=1，2，n)是第i次试验的结果。一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则PX=k=Cnkpk(1-p)n-k ， k=0，1，2，n此时称随机变量X服从二项分布(binomial distribution)，记作XB(n，p)，并称p为成功概率。若XB(n，p) ，则EX=k=0nkCnkpkqn-k=k=1nnpCn-1k-1pk-1qn-1-(k-1)=npk=0n-1Cn-1kpkqn-1-k=np(p+q)n-1=npD(X)=np(1-p)*随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机变量。随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。2.4 正态分布一般地，如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足，x=12e-(x-)222 ，x（-，+）Pa0，P-aX+a=-a+a，(x)dx该面积随着的减少而变大。这说明越小，X落在区间(-a，+a的概率越大，即X集中在周围概率越大。特别有P-X+=0.6