高中数学第1章三角函数44.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性学案北师大版.docx

4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2单位圆与周期性学 习 目 标核 心 素 养1.理解任意角的正弦、余弦的定义及其应用(重点)2掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系(重点) 3理解周期函数的定义(难点)1.通过学习任意角的正弦、余弦的定义及周期函数的定义，培养数学抽象素养2通过正弦、余弦定义的应用及同角的正弦、余弦函数值间的关系，提升数学运算素养.1任意角的正弦、余弦函数的定义(1)单位圆的定义在直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆(2)如图所示，设是任意角，其顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆O交于点P(u，v)，那么：正弦函数余弦函数定义点P的纵坐标v定义为角的正弦函数，记作vsin_点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos_通常表示法ysin x，定义域为全体实数集，值域为1,1ycos x，定义域为全体实数集，值域为1,1在各象限的符号思考1：对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？提示由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义2周期函数(1)终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x2k)sin_x(kZ)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x2k)cos_x(kZ)(2)一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期思考2：由sin(xk2)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？提示2，4，6，2，等都是函数的周期1已知P(3,4)是终边上一点，则sin 等于()A.B.C. D.Cr5，sin .2已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为()A.B.C. D.D由题意知，角的终边上一点的坐标为.cos .又的终边在第四象限的最小正值为.3已知sin cos 0，那么角是()A第一或第二象限角B第一或第三象限角C第三或第四象限角D第二或第四象限角Dsin cos 0)上，求角的正弦值和余弦值解法一：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则y2x(x0)又因为x2y21，所以于是sin y，cos x.法二：在角的终边上任取一点P(x，y)(x0)，则OP|x|，又因为x0，所以OPx.所以sin ，cos .求任意角的正弦函数、余弦函数值有两种方法：(1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义.即若角的终边与单位圆交于点P(u，v)，则vsin ，ucos .(2)利用正弦、余弦函数定义的推广.根据初中锐角三角函数的定义，设P(x，y)是角的终边上任意一点，P到原点的距离r|OP|，则sin ，cos .1若点P(2m，3m)(m0)在角的终边上，则sin _.如图，点P(2m，3m)(m0，cos 0，cos 30，sin 40，0.(2)sin 0，的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上cos 0且cos 0，即需cos 与s