数理统计实验指导1.doc

数理统计实验实验指导书一理学院实验中心数学专业实验室编写实验一 常见的概率分布以及分位数【实验类型】综合性【实验学时】4【实验内容】1、会利用 MATLAB 软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值, 以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律)；2、会利用 MATLAB 软件画出各种常见分布图形；2、会利用 MATLAB 软件计算分布函数值, 或计算形如事件Xx的概率；3、给出概率p和分布函数, 会求上分位点, 或求解概率表达式中的待定参数。 【实验前的预备知识】1、掌握常见离散型随机变量的分布律及性质； 2、掌握常见连续型随机变量的分布密度函数及性质；3、理解上分位数的定义及求法4、掌握基本的描绘函数的MATLAB编程法。【实验方法或步骤】1、 通用MATLAB函数计算概率分布律及密度函数值命令 通用函数计算概率密度函数值函数 pdf 或者namepdf格式： Y=pdf(name，K，A，B)或者：namepdf (K，A，B) 说明(1)上述函数表示返回在X=K处、参数为A、B、C的概率值或密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表1。（2）第一个函数名加 ，第二个无需加。表1 常见分布函数表name的取值函数说明beta或BetaBeta分布bino或Binomial二项分布chi2或Chisquare卡方分布exp或Exponential指数分布f或FF分布gam或GammaGAMMA分布geo或Geometric几何分布hyge或Hypergeometric超几何分布logn或Lognormal对数正态分布nbin或Negative Binomial负二项式分布ncf或Noncentral F非中心F分布nct或Noncentral t非中心t分布ncx2或Noncentral Chi-square非中心卡方分布norm或Normal正态分布poiss或Poisson泊松分布rayl或Rayleigh瑞利分布t或TT分布unif或Uniform连续均匀分布unid或Discrete Uniform离散均匀分布weib或WeibullWeibull分布例 1事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 计算在10次试验中A恰好发生6次的概率. 解: p=pdf(bino,6, 10, 0.3)或者p=binopdf(6, 10, 0.3) p = 0.0368 结果表明： 参数是n=10,概率是p=0.3的二项分布在X=6处的概率为0.0368. 例2 事件A在每次试验中发生的概率是0.3, 求在4次试验中A发生次数的概率分布.解: p=pdf(bino,0:4,4,0.3) %0: 4产生步长为 1 的等差数列 0, 1, 2, 3, 4. 或者p=binopdf(0:4,4,0.3)p = 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081 计算的结果是: 参数是n=4, 概率是p=0.3的二项分布的分布律(当 x=0,1,2,3,4 时). 例 3 设随机变量 X服从参数是3的泊松分布, 求概率 PX=6. 解: p=pdf(poiss,6,3)或者p=poisspdf(6,3) p = 0.0504 结果表明：参数是 =3 的泊松分布在x=6处的概率为0.0504. 例4 写出参数为 3 的泊松分布的前6项的概率分布. 解： p=pdf(poiss,0:5,3)或者p=poisspdf(0:5,3) % 0:5 产生步长为 1的等差数列0,1,2,3,4,5. p = 0.0498 0.1494 0.2240 0.2240 0.1680 0.1008 计算的结果是, 参数为=3的泊松分布的前6项的概率(当x=0,1,2,3,4,5时). 例 5设随机变量 X服从区间2, 6上的均匀分布, 求 X=4 时的概率密度值. 解：y=unifpdf(4,2,6) 或y=pdf(unif,4,2,6)y = 0.2500 例6 计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。解：在命令窗口中输入: pdf(norm,0.6578,0,1)或者normpdf(0.6578,0,1)ans = 0.3213例7 自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。解： pdf(chi2,2.18,8)或者chi2pdf(2.18,8)ans = 0.03632、常见分布的密度函数作图函数：plot(x,y) 或plot(x,y) 以x 元素为横坐标值，y 元素为纵坐标值绘制曲线。例：1、二项分布x = 0:10;y = binopdf(x,10,0.5);plot(x,y,+)2、泊松分布x = 0:15;y = poisspdf(x,5);plot(x,y,+)图1-23、指数分布x = 0:0.1:10;y = exppdf(x,2);plot(x,y)4、正态分布x=-3:0.2:3;y=normpdf(x,0,1); plot(x,y) 图3-45、卡方分布x = 0:0.2:15;y = chi2pdf(x,4);plot(x,y) 6、F分布x = 0:0.01:10;y = fpdf(x,5,3);plot(x,y) 图5-67、T分布x = -5:0.1:5;y = tpdf(x,5);z = normpdf(x,0,1);plot(x,y,-,x,z,-.)8、分布x = gaminv(0.005:0.01:0.995),100,10);y = gampdf(x,100,10);y1 = normpdf(x,1000,100);plot(x,y,-,x,y1,-.)图7-83、随机变量的累积概率值(分布函数值)函数 cdf或者namecdf格式cdf (name ,K，A，B)或者namecdf (K，A，B)说明 返回以name为分布、随机变量XK的概率之和的累积概率值，name的取值见表1 常见分布函数表例8 设随机变量X服从参数是3的泊松分布, 求概率 PX6。 解: p=poisscdf(6,3) % 比较例 2-4命令 poisspdf(6,3). p = 0.9665 结果表明：参数是 =3 的泊松分布在 x=6 处的分布函数值 F(6)=PX 6=0.9665 . 例9 求标准正态分布随机变量X落在区间(-，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。解：cdf(norm,0.4,0,1)ans = 0.6554例10 求自由度为16的卡方分布随机变量在0，6.91内的概率. chi2cdf(6.91,16)ans = 0.02504、随机变量的逆累积分布函数与上侧分位数逆累积分布函数是已知，求，显然上侧分位数满足。逆累积分布函数值的计算有两种方法：函数：icdf或者nameinv格式：icdf(name, K，A，B)或者nameinv(K，A，B) 说明 返回分布为name，参数为A，B,累积概率值为K的临界值，即满足的，这里name与前面表1相同。例11 在标准正态分布表中，若已知=0.975，求x解： x=icdf(norm,0.975,0,1)或者norminv(0.975,0,1)x = 1.9600例12在分布表中，若自由度为10，=0.975，求上侧分位数。解： icdf(chi2,0.025,10)或者chi2inv(0.025,10)ans = 3.2470例13 在假设检验中，求临界值问题：已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值x=icdf(t,0.025,10)x = -2.2281例 14 分布的逆累积分布函数的综合应用:绘制分布的概率密度图形, 在指定区域对图形填色, 在指定位置标注文字、标注数字.解 在命令窗口中输入: n=5; a=0.9; % n为自由度, a为置信水平或累积概率. xa=chi2inv(a,n) ; %求中的. x=0:0.1:15; px=chi2pdf(x,n) ; %计算概率密度函数值,供绘图用. plot(x,px,b); hold on %绘概率密度函数图形, 用蓝色线条. xx=0:0.1:xa; pxx=chi2pdf(xx,n) ; %计算0,xa上的密度函数值，供填色用. fill(xx,xa, pxx,0, g) %在区域xx,xa, pxx,0填绿色, 点(xa, 0)使得填色区域封闭. 注意, 不是区域xx,xa, 0,pxx. text(xa*1.01,0.01, num2str(xa) %在起始点(xa*1.01,0.01) 标注临界值点的具体数值. 命令num2str(xa)是将xa的数值转换为字符串. text(10,0.10, fontsize16Xchi2(5) %在图中指定位置标注文字,字号是 fontsize16. text(1.5,0.05, fontsize22alpha=0.9) %在图中指定位置标注文字“alpha=0.9”. 结果显示如图 5-1. 图 5-1函数图形填色、标注文字等的综合应用三、 实验结论与总结 已知事件Xx的概率F(x), 反求其中的临界值 x, 方法有两种: 一种方法是利用通用函数计算逆累积分布函数值: icdf(name,P, a1, a2, a3), 它返回分布为name, 参数为 a1,a2,a3, 累积概率值为 P的临界值, 这里 name为分布函数名, 其取值见表 5-1. 另一种方法是利用专用函数-inv 计算逆累积分布函数. 常用临界值函数见表5-2. 四、 实验习题1. 产品的某一质量指标, 若要求 P120X2000.8, 问允许最大是多少? 2. 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重50千克, 标准差为5 千克. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运, 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱, 才能保证不超载的概率大于0.977? 3某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时, 标准差为200小时. 经过技术改造使其平均寿命提高到2250小时, 标准差不变. 现对其进行检验, 方法如下: 任意挑选若干只灯泡, 如这些灯泡的平均寿命超过2200小时, 就 承认技术改造有效, 检验获得通过. 欲使检验的通过率超过 0.997, 至少应检查多少只灯泡？ 4. 某公司电话总机有200台分机, 每台分机有6%的时间用于外线通话, 假定每台分机用不用外线是相互独立的. 试问该总机至少应装多少条外线, 才能有95%的把握确保各分机需用外线时不必等候? 5. 某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为 0.6, 并设每台车床的工作是独立的, 且在开工时需电力 1 千瓦. 问最少应供应多少千瓦电力就能以 99.9%的概率保证该 车间不会因供电不足而影响生产?【实验结论与总结 】计算离散型随机变量中的概率密度函数时, x 取值应该是自然数, 如果取 其它值(非自然数!), 其概率密度函数的值为 0. 在计算逆累积分布函数时, 输入参数 p 是概率, 应该在0,1之间, 如果超出这个范围, 求出的值为 NaN, 这 是 MATLAB中的一个符号, 表示不是一个数(Not-a-Number). 本实验全面综合了概率论的主要知识点, 要求读者应该熟练掌握和理解. 【实验习题】1. 一大楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻 t 每个设备被使用的概率为 0.1. 问在同一时刻： (1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有3个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？ (4) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ 2. 有 1000 件产品, 其中 900 件是正品,其余是次品. 现从中任取1件,有放回地取5次.试求这5件产品中所含次品数 X的分布律. 3. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为 4的泊松分布. 求:(1) 每一分钟恰有 8 次呼唤的概率； (2) 某一分钟的呼唤次数大于 3 的概率. 4. 设 X N(2, 6), 求: (1)x=2 时的概率密度值; (2) 事件 X-2, X2, X18的概率,并比较实际含义; (3) 上0.01 分位数. 5. 设 X 服从区间(2, 6