二次函数复习课

二次函数的图象与性质 复习课 绥中一中 齐凤华 习题巩固 知识回顾 二次函数的概念 二次函数的关系式 二次函数的图象及性质 各种形式的二次函数的应用 1 二次函数的定义 形如y ax2 bx c a b c为常数 的函数称为二次函数 其中a为二次项系数 b为一次项系数 c为常数项 a 0 一 二次函数的定义及关系式 2 二次函数关系式的形式 1 一般式 其中顶点坐标是 其顶点又是最值点 2 顶点式 其中顶点坐标是 h k 3 交点式 它的图象在坐标平面内与x轴的交点坐标分别为 x1 0 x2 0 它的图象与x轴的交点情况取决于一元二次方程 根的情况 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 y a x h 2 k a h k为常数 a 0 y a x x1 x x2 a 0 a x x1 x x2 0 a 0 二 二次函数的图象与性质1 二次函数y ax2 bx c a 0 a b c为常数 的象是一条 其顶点坐标是 对称轴是 2 在抛物线y ax2 bx c中 a决定开口方向 当a 0时 抛物线的开口向 当a 0时 抛物线的开口向 a 决定开口大小 a 越大 开口 a 越小 开口 3 对称轴的位置由a和b的符号确定 a b同号 对称轴在y轴的 a b异号 对称轴在y轴的 抛物线 上 下 越小 越大 左侧 右侧 y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移k个单位 左右平移h个单位 上下平移 左右平移 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 三 平移 C 2 抛物线y x 2 2 3的顶点坐标是 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 3 抛物线的图象如图3 4 3所示 根据图象可知 抛物线的解析式可能是 A D y x2 1 求抛物线的顶点与对称轴一般有公式法和配方法两种方法 此外求顶点坐标时 还可以求出顶点横坐标 再代入解析式求顶点纵坐标 例1 2010 广州 已知抛物线y x2 2x 2 1 该抛物线的对称轴是 顶点坐标 2 选取适当的数据填入下表 并在图3 4 5的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象 3 若该抛物线上两点A x1 y1 B x2 y2 的横坐标满足x1 x2 1 试比较y1与y2的大小 思路分析 在二次函数y x2 2x 2中 a 1 b 2 c 2 代入对称轴和顶点坐标公式即可解得 解 1 x 1 1 3 3 因为在对称轴x 1右侧 y随x的增大而减小 又x1 x2 1 所以y1 y2 二次函数的图象与性质是由y ax2 bx c中的系数a b c决定的 主要包括开口方向 开口大小 对称轴 增减性 最值问题以及与坐标轴的交点问题 例2 2010 莱芜 二次函数y ax2 bx c的图象如图3 4 7所示 则一次函数y bx a的图象不经过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 思路分析 由抛物线的开口方向知a 0 又因其对称轴在y轴的左侧 故b 0 再由一次函数的图象与性质求解 答案 D 抛物线的平移不改变它的开口方向 形状和大小 变化的只是位置 即抛物线的平移过程中a不变 因此 我们可以利用特殊点 顶点 的位置变化解决相关问题 例3 2010 成都 把抛物线y x2向右平移1个单位 所得抛物线的函数表达式为 A y x2 1B y x 1 2C y x2 1D y x 1 2思路分析 抛物线的顶点坐标是 0 0 向右平移1个单位后抛物线的顶点坐标是 1 0 也可以直接根据 左加右减 上加下减 的平移规律求解 答案 D 确定二次函数解析式常用待定系数法 当已知图象上三点或三对x y对应值时 常用一般式 当已知抛物线的顶点或对称轴时 常选择顶点式 思路分析 用待定系数法确定二次函数解析式 一般需要三个独立条件 本题只确定一次项系数和常数项 故将x 2 y 0和x 0 y 6代入即可 应用二次函数解应用题的一般步骤 一找 找出问题中的变量与常量之间的关系 二表 用函数表达式表示出它们之间的关系 三解 利用二次函数的图象及性质解题 四验 检验结果的合理性 特别是检验是否符合实际意义 例5 2010 荆门 某商店经营一种小商品 进价为2 5元 据市场调查 销售单价是13 5元时平均每天销售量是500件 而销售单价每降低1元 平均每天就可以多售出100件 1 假设每件商品降低x元 商店每天销售这种小商品的利润是y元 请你写出y与x的之间的函数关系式 并注明x的取值范围 2 每件小商品销售价是多少元时 商店每天销售这种小商品的利润最大 最大利润是多少 注 销售利润 销售收入 购进成本 思路分析 根据题意得y与x的之间的函数关系式为 y 100 x2 600 x 5500 0 x 11 利用顶点坐标公式或配方法 可求得y的最大值 解 1 降低x元后 所销售的件数是 500 100 x y 100 x2 600 x 5500 0 x 11 2 y 100 x2 600 x 5500 0 x 11 配方得y 100 x 3 2 6400 当x 3时 y的最大值是6400元 即降价为3元时 利润最大 所以销售单价为10 5元时 最大利润为6400元 答 销售单价为10 5元时 最大利润为6400元 1 2010 金华 已知抛物线y ax2 bx c的开口向下 顶点坐标为 2 3 那么该抛物线有 A 最小值 3B 最大值 3C 最小值2D 最大值2 B 2 2010 济南 在平面直角坐标系中 抛物线y x2 1与x轴的交点的个数是 A 3B 2C 1D 03 2010 衢州 如图3 4 9所示 下列四个函数图象中 当x 0时 y随x的增大而增大的是 B C 4 2010 中山 已知二次函数y x2 bx c的图象如图3 4 10所示 它与x轴的一个交点坐标为 1 0 与y轴的交点坐标为 0 3 1 求出b c的值 并写出此二次函数的解析式 2 根据图象 写出函数值y为正数时 自变量x的取值范围 5 2010 安徽 春节期间某水库养殖场为适应市场需求 连续用20天时间 采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法 对水库中某种鲜鱼进行捕捞 销售 九 1 班数学建模兴趣小组根据调查 整理出第x天 且为整数 的捕捞与销售的相关信息如下 1 在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的 2 假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失 且能在当天全部售出 求第x天的收入y 元 与x 天 之间的函数关系式 当天收入 日销售额 日捕捞成本 试说明 2 中的函数y随x的变化情况 并指出在第几天y取得最大值 最大值是多少 解 1 该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10kg 2 由题意 得 y 20 950 10 x 5 950 10 x 2x2 40 x 14250 3 2 0 y 2x2 40 x 14250 2 x 10 2 14450又1 x 20且x为整数 当1 x 10时 y随x的增大而增大当10 x 20时 y随x的增大而减小当x 10时即在第10天 y取得最大值 最大值为14450元 1 求二次函数解析式的方法 要确定二次函数解析式 就是要确定解析式中的待定系数 常数 由于每一种形式中都含有三个待定系数 所以用待定系数法求二次函数的解析式 需要已知三个独立条件 1 当已知抛物线上任意三点时 通常设函数解析式为一般式y ax2 bx c 然后列出三元一次方程组求解 2 当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时 通常设函数解析式为顶点式y a x h 2 k