高中数学第2章数列2.1数列的概念与简单表示法（第2课时）数列的通项与递推公式学案新人教A版.docx

第2课时数列的通项与递推公式学 习 目 标核 心 素 养1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会求数列中的最大(小)项(易错点)1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养.2.借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1数列递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式思考：所有数列都有递推公式吗？提示不一定例如精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式2数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列an的关系式anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？提示不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的1符合递推关系式anan1的数列是()A1，2，3，4，B1, ，2，2，C，2, ，2，D0, ，2，2，答案B2数列an中，an1an2an，a12，a25，则a5()A3 B11 C5 D19Da3a2a1527，a4a3a27512，a5a4a312719，故选D.3已知a11，an1(n2)，则a5_a21112，a311，a411，a511.4数列an中，若an1ann0，则a2 018a2 017_2 017由an1ann，得a2 018a2 0172 017.由递推关系写出数列的项【例1】已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4项依次为b1，b2，b3，b4.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.1已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.数列的最大(小)项的求法【例2】已知数列an的通项公式为an(n1)，试问数列an有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由思路探究：an1an等于多少？n为何值时，an1an0？an1an0?解法一：(单调性法)an1an(n2)(n1)，当n0，即an9时，an1anan1；故a1a2a3a11a12，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9a10.法二：(最大项法)设ak是数列an的最大项则即整理得得9k10，k9或10，即数列an中的最大项为a9a10.求数列的最大(小)项的两种方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项二是设ak是最大项，则有对任意的kN*且k2都成立，解不等式组即可2已知数列an的通项公式为ann25n4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值解(1)由n25n40，解得1n4.nN*，n2，3，数列中有两项是负数(2)法一：ann25n4，可知对称轴方程为n2.5.又nN*，故n2或3时，an有最小值，且a2a3，其最小值为225242.法二：设第n项最小，由得解这个不等式组，得2n3，n2或3，a2a3且最小a2a3225242.由递推公式求数列的通项公式探究问题1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nN*，n30)2对于任意数列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求出它的通项an吗？提示等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若数列an中的各项均不为0，等式a1an成立吗？若数列an满足：a13，2，则它的通项an是什么？提示等式a1an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32n1(nN*)【例3】(1)已知数列an满足a11，an1an，nN*，求通项公式an；(2)设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.思路探究：(1)先将an1an变形为an1an，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解(2)先将anan1(n2)变形为，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana1(1)()()1.an11，an(n2)又n1时，a11，符合上式，an(nN*)(2)a11，anan1(n2)，ana11.又n1时，a11，符合上式，an(nN*)1(变条件)将例题(2)中的条件“a11，anan1(n2)”变为“a12，an13an(nN*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明解由a12，an13an，得：a23a132，a33a2332322，a43a33322332，a53a43332342，猜想：an23n1，证明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.2将例题(1)中的条件“a11，an1an，nN*”变为“a1，anan1an1an(n2)”求数列an的通项公式解anan1an1an，1.2n1.n1，an.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式1an与an是不同的两种表示，an表示数列a1，a2，an，是数列的一种简记形式而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体”与“整体”的从属关系2数列的表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法3通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.1判断正误(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()答案(1)(2)(3)(4)提示并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式2数列2，4，6，8，10，的递推公式是()Aanan12(n2)Ban2an1(n2)Ca12，anan12(n2)Da12，an2an1(n2)CA，B中没有说明某一项，无法递推，D中a12，a24，a38，不合题意3数列an中，an，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()Aa1，a50Ba1，a44Ca45，a44Da45，a50Can1.当n1，44且nN*时，an单调递减，当n45