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讲课教师 哈斯花联系地点 本校区实验楼421课时 32 1 8周 学分类型 必修考试方式 闭卷 笔试 期末70 素质分30 参考书目 大学物理 工大物理系编 物理学 马文蔚 普通物理学 程守株普物系列 大学物理A 二 内容概述 电磁学 32学时 八 九 十章 1 9周 主要有以下几个部分 1 静电场2 稳恒磁场3 电磁感应 第8章静电场 8 1库伦定律 一 电荷的量子化电荷守恒定律 电荷 摩擦起电和雷电 对电的最早认识 两种电荷 正电荷和负电荷 电性力 同号相斥 异号相吸 电荷量 物体带电的多少 电荷的量子化 1913密立根用油滴实验测出带电体的电荷是电子电荷的整数倍 宏观带电体的带电量q e 此时可认为带电体电量准连续 e 1 602 10 19库仑 电子电量 电荷守恒定律 在孤立系统中 不管系统中的电荷如何迁移 系统的正负电荷的代数和保持不变 电荷守恒定律 如 可以简化为点电荷的条件 在真空中 两个静止点电荷之间相互作用力的大小与这两个点电荷的电荷量q1和q2的乘积成正比 而与这两个点电荷之间的距离r12 或r21 的平方成反比 作用力的方向沿着这两个点电荷的连线 同号相斥 异号相吸 二 真空中的库仑定律 点电荷 库仑定律 由牛顿第三定律和的大小相等 均为 称为真空电容率 库仑力的叠加性 与万有引力的比较 例 氢原子中 电子与质子的距离大约为 米 求它们之间的相互作用力和万有引力 并比较这两个力的大小 解 万有引力大小为 库仑力大小为 比值为 介电体 电介质 就是绝缘体 如空气 水 玻璃等 介电体会对带电体之间的相互作用产生影响 设真空中两点电荷的相互作用力为F 在均匀各向同性的介电体中它们的作用力为F 则定义介电体的相对电容率为介电体的电容率为 三 介电体中的库伦定律 表8 1几种常见介电体相对电容率的实验值 20oC 有介电体时的库伦定律表达式为 有些介电体的电容率非常大 并且不是常数 称为铁电体 它们有时还显示出各向异性的特点 关于电荷之间的相互作用历史上曾存在两种观点 超距作用 电场 电荷1 电荷2 电场1 电场2 静电场 相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场 8 2电场强度 一 静电场 试验电荷q0及条件 正的点电荷 尺寸小 q0足够小 对待测电场影响小 定义电场强度 电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点所受的电场力 二 电场强度 1 真空中点电荷的电场 2 介电体中点电荷的电场 三 点电荷的电场 正电荷 负电荷 非均匀电场 qi q2 q0 q1 表明 在点电荷系产生的电场中 某一点的场强 等于每个点电荷单独存在时在该点产生场强的矢量和 电场强度叠加原理 四 电场强度叠加原理和点电荷系的场强 对于电荷连续分布的带电体 可以认为该带电体是由许许多多无限小的电荷元组成 每个电荷元都可以看作是点电荷 其中任一电荷元在空间某点产生的场强为 则 式中为电荷元到空间该点的距离 整个带电体在该点产生的合场强为 五 电荷连续分布的带电体场强 电荷面分布 电荷体分布 电荷线分布 其中分别为电荷的线密度 面密度和体密度 其单位分别为C m C m2 C m3 分别表示带电体的线元 面积元和体积元 由于电场强度是矢量 故在直角坐标系下 应用场强叠加原理来计算场强时 可首先分别计算其坐标分量 然后再合成 上式可分别写为 解 例1求电偶极子中垂面上的电场 r 电偶极矩 电矩 例2求一均匀带电直线在P点的电场 解 建立直角坐标系 带电 积分变量代换 代入积分表达式 同理可算出 当直线长度 无限长均匀带电直线的场强 极限情况 由 半无限长均匀带电直线的场强 用分量方法推倒电偶极子中垂面上的电场强度 由对称性 解 例3求一均匀带电圆环轴线上任一点x处的电场 所以 由对称性 当dq位置发生变化时 它所激发的电场矢量构成了一个圆锥面 R 例4求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场 解 由上例均匀带电圆环轴线上一点的电场 讨论 无限大均匀带电平面的场强 匀强电场 可视为点电荷的电场 大学物理A 二 答疑 时间 周四下午4点 6点地点 实验楼421 物理系 近 现代物理 选修课 2学分 32学时 讲课教师 哈斯花优势 无作业 无考试 以小论文结业 内容 11 12章 前沿讲座 在电场中画一组曲线 满足 1 曲线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致 走向 2 从正电荷出发 终止于负电荷 不闭合 3 两根电场线不相交 4 电场线的疏密程度能描述电场强度的大小 电场线稀疏的地方电场强度较小 电场线稠密的地方电场强度较大 8 3高斯定理 一 电场 E 线 点电荷的电场线 正电荷 负电荷 非均匀电场 一对等量异号电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对异号不等量点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场 远离边缘的区域是均匀电场 电场强度 在电场中任一点处 通过垂直于电场强度E单位面积的电场线数等于该点的电场强度的数值 注意 dS是垂直E的 通过电场中某一个面的电场线的条数 称为通过该平面的电场强度通量 二 电场强度通量 1 一般情况 将曲面分割为无限多个面元 称为面积元矢量 则电场穿过该面元的电通量为 电场穿过整个曲面的电通量为 2 面积元矢量曲面正方向由凹面指向凸面 不闭合曲面 闭合曲面 面元的法向单位矢量可有两种相反取向 电通量可正也可负 规定面元的法向单位矢量取向外为正 电场线穿出 电通量为正 反之则为负 说明 电通量是标量 但有正负之分 真空中 在一带电量为q的点电荷的电场中 以该电荷所在点为球心作一半径为r的球面 则通过此闭合曲面的电场强度通量为 三 高斯定理 结论 真空静电场中通过任何一闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面包围的自由电荷除以 称为真空中的高斯定理 数学表达式为 介电体中的高斯定理 在相对电容率为的均匀各向同性充满整个空间的介电体中 同样有 静电场中通过任何一闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面包围的自由电荷除以 数学表达式为 在均匀各向同性介电体中 引入一个新的物理量 电位移矢量 用D来表示 其定义如下 D的单位 2 C m 结论 静电场中通过任何一闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面包围的自由电荷 称为介电体中的高斯定理 由此 式可写成 称为电位移通量 简称电通量 高斯定理表明静电场是有源场 电荷就是静电场的源 虽然电通量只与高斯面内电荷有关 但是面上电场却与面内 面外电荷都有关 注意 电场强度E是描述电场性质的主要物理量 也是一个客观存在的物理量 而电位移矢量D是一个辅助物理量 不是一个客观存在的物理量 二者关系为 利用高斯定理 可以计算一些带电体在空间的电场强度分布 但要求带电体的电荷分布具有较高的空间对称性 为什么 如果积分 能写成 那么就有 即 四 高斯定理的应用 1 均匀带电球面的电场 4 均匀带电球体的电场 3 均匀带电无限大平面的电场 2 均匀带电圆柱面的电场 5 均匀带电球体空腔部分的电场 电荷分布具有较高的空间对称性的带电体 电场分布也应有球对称性 方向沿径向 作同心且半径为r的高斯面 解 r 在高斯面上取面元 例1均匀带电球面的电场 球面半径为R 带电为q 球外充满均匀各向同性的介电体 相对电容率为 在该面元处与方向相同 由高斯定理 通过此高斯面的电通量为 r R时 高斯面无电荷 r R时 高斯面包围电荷q E r关系曲线 解 电场分布也应有球对称性 方向沿径向 作同心且半径为r的高斯面 a r R时 高斯面内电荷 b r R时 高斯面内电荷 例2均匀带电球体的电场 球半径为R 体电荷密度为 球内外的电容率均为 均匀带电球体的电场分布 E r关系曲线 例3无限长均匀带电圆柱面的电场 圆柱半径为R 沿轴线方向单位长度带电量为 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面 电场分布也应有柱对称性方向沿径向 高为l 半径为r 1 当r R时 由高斯定理知 解 2 当r R时 均匀带电圆柱面的电场分布 E r关系曲线 电场分布也应有面对称性 方向沿法向 解 例4真空中均匀带电无限大平面的电场 面电荷密度为 作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面 底面积为S 两底面到带电平面距离相同 圆柱形高斯面内电荷 由高斯定理得 在路径上任一点附近取元位移 试验电荷q0从点电荷q的电场中a点经任意路径到达b点 求此过程中电场力作的功 8 4静电场的环路定理电势 一 静电场力的功静电场的环路定理 点电荷电场中的功 静电场做功和路径无关 将带电体系分割为许多电荷元 根据电场的叠加性 电场力对试验电荷q0做功为 总功也与路径无关 任意带电体系的电场中的功 结论 试验电荷在任意给定的静电场中移动时 电场力对q0做的功仅与试验电荷的电量及路径的起点和终点位置有关 而与具体路径无关 静电场是保守场 静电场力是保守力 试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时 电场力对q0做的功W 静电场的环路定理 闭合路径L上任取两点P1P2 将L分成L1L2两段 L2 L1 L1 L2 电场力做功与路径无关 即 静电场的环路定理 在静电场中 场强沿任意闭合路径的线积分 称为场强的环流 恒为零 静电场的环路定理说明 静电场是无旋场 静电场的高斯定理和环路定理是静电场基本规律它们所反映的物理图像是 电荷是电场的源 电场线从正电荷出发而终止于负电荷 在静电情形下电场没有漩涡状结构 由环路定理知 静电场是保守场 保守场必有相应的势能 对静电场则为电势能 以点电荷为例给出静电场的电势能的定义 静电场做功和路径无关 只与始末位置有关 静电场力的功 二 电势和电势叠加原理 电势能 静电场做功和路径无关 只与始末位置有关 所以我们可以定义一个位置函数 称为电势能 比如图中q0在a点时的电势能为 这样静电场力的功可表示为电势能增量的负值 电势能零点的选取是任意的 一般可选无穷远处为电势能的零点 如果这样 电势能中待定的常数C为零 这样 电场中任一点的电势能可表为 若选r0处为电势能的零点 则电场中任一点的电势能表为 可以看出电势能是场和试验电荷共同性质的体现 即电势能即与场有关也与试验电荷有关 电势能的单位为焦耳 J 为了得到一个只与场有关的物理量 进而用它来描述电场 我们定义电势 它是电势能EP与q0之比 它只取决于电场 电场中某点的电势为 电势零点的选取是任意的 一般电势零点可以选在无穷远 电势是标量 单位为伏特 V 显然 1V 1J 1C 电势及电势叠加原理 由电势的定义 很容易计算真空中点电荷在空间的电势分布 选无穷远为电势零点则有 如点电荷系在空间的电势分布 选无穷远为电势零点则 点电荷的电势 电场中两点电势之差 沿着电场线方向 电势降低 对于电荷连续分布的带电体在空间的电势分布 选无穷远为电势零点则有 这就是电势叠加原理 电荷连续分布的带电体的电势 电势差 1 点电荷的电势 2 点电荷系的电势 3 连续分布带电体的电势 三 电势的计算 电势的计算例题 例2 均匀带电薄圆盘轴线上的电势 例3 均匀带电球面的电势 例4 电偶极子的电势 例5 均匀带电线的电势 例1 均匀带电圆环轴线上的电势 例1 均匀带电圆环轴线上的电势 q a x 例2 半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布 解 以O为圆心 取半径为L L dL的薄圆环 带电dq ds 2 L dL P点电势 O dL R 由高斯定理知 电场分布为 解 例3 求一均匀带电球面的电势分布 1 当r R时 3 电势分布 2 当r R时 电势分布曲线 场强分布曲线 结论 均匀带电球面 球内电势等于球表面电势 球外电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势 例4 计算电偶极子电场中任一点的电势 r 与r 分别为 q和 q到P点的距离由图可知 解 电偶极子的电场中任一点P的电势为 由于r re 所以P点的电势可写为 点电荷的等势面 在静电场中 电势相等的点所组成的面称为等势面 8 5电场强度与电势的关系 一 等势面 典型等势面 电偶极子的等势面 电平行板电容器电场的等势面 即 结论 电力线与等势面垂直 q0在等势面上移动 电场力不作功 E S 等势面与电场线的关系 等势面画法规定 相邻两等势面之间的电势间隔相等 U U U U 2 U U 3 U 等势面图示法 将单位正电荷由a移动到b 电场力做的功为 显然 V沿等势面切线方向的导数V沿等势面法线方向的导数 二 电场强度与电势的关系 即电场强度与电势的关系为 电势叠加为标量叠加 故可先算出电势 再应用场强与电势梯度的关系算出场强 例5均匀带电圆环轴线上的电场 例6均匀带电圆盘轴线上的电场 三 场强与电势梯度的关系的应用 例5 计算均匀带电圆环轴线上的电场 X o x R r 解 P点电势 P点电场 与用叠加原理得到的结果一致 例6 计算均匀带电圆盘轴线上的电场 P O 与用叠加原理得到的结果一致 x 讨论 当R 时 即无穷大均匀带电平面的电场 解 R 在静电场中 导体中自由电子在电场力的作用下作宏观定向运动 使电荷产生重新分布的现象 平衡时 导体内部的场强处处为零 8 6静电场中的导体 一 导体的静电平衡条件 静电感应 1 导体内部场强处处为零 2 表面场强垂直于导体表面 当静电平衡时导体为一等势体 导体表面是一个等势面 导体中电荷的宏观定向运动终止 电荷分布不随时间改变 导体表面电场可以不为零 但一定和导体表面垂直 静电平衡 静电平衡条件 处于静电平衡状态导体内部场强处处为零 电荷分布在导体表面 1 实心导体 2 空腔导体 1 腔内无带电体 电荷分布在导体表面 导体内部及腔体的内表面处处无净电荷 2 腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定 二 处于静电平衡状态导体上的电荷分布 导体的表面场强 由高斯定理可证明 孤立导体面电荷分布的特点是表面曲率越大 面电荷密度越大 而从上面场强与电荷面密度的关系我们可以看出 电荷密度越大的地方 场强也越大 解 两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系 在静电平衡时有一定的电势值 设这两个球相距很远 使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计 细线的作用是使两球保持等电势 因此 每个球又可近似的看作为孤立导体 在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的 设大球所带电荷量为Q 小球所带电荷量为q 则两球的电势为 q 可见大球所带电量Q比小球所带电量q多 两球的电荷密度分别为 可见电荷面密度和半径成反比 即曲率半径愈小 或曲率愈大 电荷面密度愈大 假设内表面一部分带正电 另一部分带等量的负电 则必有电场线从正电荷出发终止于负电荷 取闭合路径L 一部分在空腔 一部分在导体中 与静电场环路定理矛盾 原假设不成立 导体内部及腔体的内表面处处无净电荷 导体放入静电场中 导体上的感应电荷只分布在导体表面 导体内部没有净电荷 导体内部场强为零 如果导体内部挖一空腔 空腔内无带电体 电荷只分布在外表面 导体内部及腔体的内表面处处无净电荷 三 静电屏蔽 如果腔内有带电体 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定 腔外导体和电场不影响腔内电场 外表面接地 腔外电场消失 腔内有电荷 腔外有电场 在静电平衡状态下 空腔导体外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布 一个接地的空腔导体 空腔内的带电体对腔外的物体不会产生影响 这种使导体空腔内的电场不受外界影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界影响隔绝的现象 称为静电屏蔽 结论 远离其它导体合带电体的导体称为孤立导体 实验表明 任何孤立导体 其带电量Q与电势V 以无限远处为电势零点 的比值是一个与Q和V均无关的常数 这个常数定义为孤立导体的电容 用符号C来表示 即 电容单位 法拉 F 1F 106 F 109nF 1012pF 实验表明 电容C与导体的形状 大小和导体周围的介电体的性质有关 其物理含义为 导体的电势每升高1伏特时所需的电量 法拉是一个很大的单位 常用的还有微法 F 皮法 pF 8 7电容 一 孤立导体的电容 电容器 两相互绝缘的导体组成的系统 电容器的两极板常带等量异号电荷 几种常见电容器及其符号 现在计算一下 真空中一个半径为R 带电量为Q的孤立导体球的电容 此孤立导体球的电势为 由电容的定义可得 此球的电容为 二 电容器的电容 计算电容的一般方法 Q为其中一个极板电量绝对值 U为两板电势差 电容器的电容定义 1 先假设电容器的两极板带等量异号电荷 2 求出极板之间的电场强度 3 求出极板之间的电势差 4 代入定义式求出电容 几种常见真空电容器及其电容 S d 电容与极板面积成正比 与间距成反比 如两极板件充满相对电容率为的介电体 平板电容器 圆柱形电容器 球形电容器 设有两根半径都为R的平行直导线 他们中心的距离为d 且d R 求单位长度的电容 解 P点的场强 导线之间的电势差 其它 单位长度上的电容为 时 得 电容器性能参数 电容和耐压 1 并联 2 串联 增大电容 提高耐压 3 混联 根据连接计算 满足容量和耐压的特殊要求 三 电容器的串联和并联 例1三个电容器按图连接 其电容分别为C1 C2和C3 求当电键K打开时 C1将充电到U0 然后断开电源 并闭合电键K 求各电容器上的电势差 解已知在K闭合前 C1极板上所带电荷量为q0 C1U0 C2和C3极板上的电荷量为零 K闭合后 C1放电并对C2 C3充电 整个电路可看作为C2 C3串联再与C1并联 设稳定时 C1极板上的电荷量为q1 C2和C3极板上的电荷量为q2 因而有 解两式得 因此 得C1 C2和C3上的电势差分别为 移动dq电场力做功 U和dq都是变量 8 8静电场的能量 一 电容器的能量 电能贮藏在电场中 静电场能量的体密度为 任一带电体系的总能量 二 静电场的能量 例2求半径为R带电量为Q的均匀带电球的静电能 解一 计算定域在电场中的能量 球内外r处电场 解二 计算带电体系的静电能 再聚集 这层电荷dq 需做功 而 所以 带电球体是一层层电荷逐渐聚集而成 设某一层内已聚集电荷 第9章稳恒磁场 9 1磁场磁场的高斯定理 一 基本磁现象 磁现象的发现比电现象早得多 磁石是最早发现的永磁体 磁铁 磁现象起源于电荷的运动 磁现象和电现象之间存在着密切的联系 实验还发现电流和永磁体一样具有磁性 外磁场中的电流 永磁体 会受到磁场力的作用 方向 小磁针平衡时N极的指向 大小 单位 特斯拉 T 高斯 Gs 由实验结果 磁场中任何一点都存在一个特定方向和确定的比值Fm qv 与试验电荷的性质无关 反映了磁场在该点的方向和强弱特征 为此 定义一个矢量函数 磁感应强度矢量 类比 二 磁感应强度 切线方向为磁场方向 闭合曲线对比 电场线有始有终 互不相交 磁感应线的疏密描述磁场的大小 三 磁场的高斯定理 磁感应线的性质 单位 韦伯 Wb 对所取微元 磁通量 对整个曲面 磁通量 磁通量 穿过磁场中任一给定曲面的磁感线总数 类比 磁通量 穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零 这就是磁场的高斯定理 说明磁场是无源场 通过闭合曲面的电通量 闭合曲面内的电量 由磁感应线的闭合性可知 对任意闭合曲面 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 因此 通过任何闭合曲面的磁通量为零 类比 磁场的高斯定理 载流导线中的电流为I 导线半径比到观察点P的距离小得多 即为线电流 在线电流上取长为dl的定向线元 规定的方向与电流的方向相同 为电流元 l d 9 2毕奥 萨伐尔定律 一 毕奥 萨伐尔 Biot Savart 定律 Biot Savart 电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与Idl成正比 与到电流元的距离平方成反比 与电流元和矢径夹角的正弦成正比 磁感应强度的矢量式 Biot Savart定律的微分形式 Biot Savart定律的积分形式 其中 0 4 10 7N A 2 称为真空中的磁导率 类比 类比 设有长为L的载流直导线 通有电流I 计算与导线垂直距离为d的P点的磁感强度 取z轴沿电流方向 如图所示 z 二 毕奥 萨伐尔定律应用举例 载流长直导线的磁场 所有dB的方向相同 所以P点的的大小为 按毕奥 萨伐尔定律有 由几何关系有 考虑三种情况 1 导线无限长 即 2 导线半无限长 场点与一端的连线垂直于导线 3 P点位于导线延长线上 B 0 在场点P的磁感强度大小为 设有圆形线圈L 半径为R 通以电流I 载流圆线圈轴线上的磁场 各电流元的磁场方向不相同 可分解为和 由于圆电流具有对称性 其电流元的逐对抵消 所以P点的大小为 1 在圆心处 讨论 2 在远离线圈处 磁化 磁场对磁场中的物质的作用称为磁化 磁介质 在磁场中影响原磁场的物质称为磁介质 总磁感强度 附加磁感强度 外加磁感强度 磁化后介质内部的磁场与附加磁场和外磁场的关系 三 磁介质对磁场的影响 磁介质 抗磁质 铜 铋 硫 氢 银等 铁磁质 铁 钴 镍等 顺磁质 锰 铬 铂 氧 氮等 定义 相对磁导率 磁介质的分类 在介质均匀充满磁场的情况下 有磁介质时的毕奥 萨伐尔定律 表9 1部分磁介质的相对磁导率的实验值 20oC 静电场中 磁场中 E沿任意闭合回路的积分为 静电场的环路定理 B沿任意闭合回路的积分为 9 3安培环路定理 一 真空中的安培环路定理 长直电流的磁场 在垂直于导线的平面内任作的环路上取一点 到电流的距离为r 磁感应强度的大小 I为负值 I为正值 绕行方向 电流I的正负规定 积分路径的绕行方向与电流成右手螺旋关系时 电流I为正值 反之I为负值 在磁场中 沿任一闭合曲线矢量的线积分 也称矢量的环流 等于真空中的磁导率 0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和 二 安培环路定理 I为负值 I为正值 绕行方向 空间所有电流共同产生的磁场 在场中任取的一闭合线 任意规定一个绕行方向 L上的任一线元 空间中的电流 环路所包围的所有电流的代数和 物理意义 类比 定义 磁场强度 几点注意 环流虽然仅与所围电流有关 但磁场却是所有电流在空间产生磁场的叠加 任意形状稳恒电流 安培环路定理都成立 安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场 恒定电流本身总是闭合的 因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线 静电场的高斯定理说明静电场为有源场 环路定理又说明静电场无旋 稳恒磁场的环路定理反映稳恒磁场有旋 高斯定理又反映稳恒磁场无源 1 分析磁场的对称性 2 过场点选择适当的路径 使得沿此环路的积分易于计算 的量值恒定 与夹角处处相等 3 求出环路积分 4 用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负 最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度的大小 应用安培环路定理的解题步骤 三 安培环路定理的应用 设圆柱电流呈轴对称分布 导线可看作是无限长的 磁场对圆柱形轴线具有对称性 当 长圆柱形载流导线外的磁场与长直载流导线激发的磁场相同 长直圆柱形载流导线内外的磁场 当 且电流均匀分布在圆柱形导线表面层时 当 且电流均匀分布在圆柱形导线截面上时 在圆柱形载流导线内部 磁感应强度和离开轴线的距离r成正比 设螺线管长度为l共有N匝 载流长直螺线管内的磁场 设环上线圈的总匝数为N电流为I 载流螺绕环内的磁场 9 4安培定律 一 安培定律 安培定律的微分形式 安培定律的积分形式 设直导线长为 通有电流 置于磁感应强度为的均匀磁场中 导线与的夹角为 例1 在磁感强度为B的均匀磁场中 通过一半径为R的半圆导线中的电流为I 若导线所在平面与B垂直 求该导线所受的安培力 由电流分布的对称性分析导线受力的对称性 解 由安培定律 由几何关系 上两式代入 合力F的方向 y轴正方向 结果表明 半圆形载流导线上所受的力与其两个端点相连的直导线所受到的力相等 计算平行载流导线间的作用力 利用毕 萨定律与安培定律 求出其中一根导线的磁场分布 再计算其它载流导线在磁场中受到的安培力 二 电流单位 安培 的定义 计算CD受到的力 在CD上取一电流元 式中为与间的夹角 同理可以证明载流导线AB单位长度所受的力的大小也等于 方向指向导线CD 表明 两个同方向的平行载流直导线 通过磁场的作用 将相互吸引 反之 两个反向的平行载流直导线 通过磁场的作用 将相互排斥 而每一段导线单位长度所受的斥力的大小与这两电流同方向的引力相等 安培 的定义 真空中相距1m的二无限长而圆截面极小的平行直导线中载有相等的电流时 若在每米长度导线上的相互作用力正好等于 则导线中的电流定义为1A 载流线圈的空间取向用电流右手螺旋的法向单位矢量描述 设任意形状的平面载流线圈的面积S 电流强度I 定义 线圈的磁矩 三 均匀磁场对载流线圈的作用 由于是矩形线圈 对边受力大小应相等 方向相反 AD与BC边受力大小为 AB与CD边受力大小为 磁场作用在线圈上总的力矩大小为 图中 与 为互余的关系 用 代替 可得到力矩 实际上IS为线圈磁矩的大小Pm 力矩的方向为线圈磁矩与磁感应强度的矢量积 用矢量式表示磁场对线圈的力矩 可以证明 上式不仅对矩形线圈成立 对于均匀磁场中的任意形状的平面线圈也成立 对于带电粒子在平面内沿闭合回路运动以及带电粒子自旋所具有的磁矩 在磁场中受到的力矩都适用 讨论 1 2 线圈平面与磁场方向相互平行 力矩最大 这一力矩有使 减小的趋势 2 0 线圈平面与磁场方向垂直 力矩为零 线圈处于平衡状态 3 线圈平面与磁场方向相互垂直 力矩为零 但为不稳定平衡 与反向 微小扰动 磁场的力矩使线圈转向稳定平衡状态 综上所述 任意形状不变的平面载流线圈作为整体在均匀外磁场中 受到的合力为零 合力矩使线圈的磁矩转到磁感应强度的方向 当带电粒子沿磁场方向运动时 当带电粒子的运动方向与磁场方向垂直时 一 洛伦兹力 9 5洛仑兹力 一般情况下 如果带电粒子运动的方向与磁场方向成夹角 时 洛伦兹力 大小 方向 的方向 设有一均匀磁场 磁感应强度为 一电荷量为 质量为的粒子 以初速进入磁场 1 如果与相互平行 粒子作匀速直线运动 2 如果与垂直 粒子作匀速圆周运动 二 带电粒子在均匀磁场中的运动 周期 轨道半径 3 如果与斜交成 角 粒子作螺旋运动 第10章电磁感应电磁场 静止电荷 前两章 运动电荷 这一章 变化磁场 10 1电流密度电动势 一 电流强度与电流密度 电流强度 大小 单位时间通过导体某一横截面的电量 方向 正电荷运动的方向 单位时间内 通过该点附近垂直于正电荷运动方向单位面积的电量 大块导体 电流形成分布 电流密度 在导体中任取一截面元dS 在dt时间内通过垂直截面的电荷量为 在dt时间内通过某有限截面S的电荷量为 电流强度与电流密度的关系为 电流强度就是电流密度穿过某截面的通量 定义 电流线 抽象描述电流分布 电流密度通量 在导体内形成恒定电流必须在导体内建立一个恒定电场 保持两点间电势差不变 把从B经导线到达A的电子重新送回B 就可以维持A B间电势差不变 完成这一过程不能依靠静电力 必须有一种提供非静电力的装置 即电源 电源不断消耗其它形式的能量克服静电力做功 二 电源电动势 内电路 外电路 非静电力克服静电力做功 使电势能增加 为描述这种能量转换本领的大小 引入电动势 非静电力仅存在于电源内部 单位正电荷受到的非静电力为非静电场场强 静电场场强 电源电动势 类似静电场场强定义 电源外部无非静电力 则 电源电动势定义为单位正电荷从负极经内电路移动到正极时所做的功 单位为伏特 电动势的方向规定 自负极经内电路指向正极 沿闭合回路移动正电荷一周 做功为 1831年9月29日由法拉第首次发现 图1 图2 A B A 10 2法拉第电磁感应定律 一 电磁感应现象 图3 图4 结论 当穿过一个闭合导体回路所包围面积内的磁通量发生变化时 不论由什么原因引起 在导体回路中就有电流产生 这种现象称为电磁感应现象 相应的电动势则称为感应电动势 回路中所产生的电流称为感应电流 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时 回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比 即 为比例系数 取决于各量的单位的选取 在国际单位制中 的单位为伏特 的单位为韦伯 时间单位为秒 则 于是上式可以写成 二 法拉第电磁感应定律 确定感应电动势的方向的方法 判断感应电流方向的楞次定律 闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向 它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量 反抗引起感应电流的原磁场磁通量的变化 三 楞次定律 10 3电动生电动势与感生电动势 一 动生电动势 规定 顺时针方向为回路方向 当ab与dc相距x时 动生电动势为 电动势方向 由a 负极 指向b 正极 b端电势高 负号表示 i方向与所取回路方向相反 非静电场强 电子所受洛仑兹力 成因 洛仑兹力解释 由电动势定义 一 洛伦兹力Fm为非静电力 相应有非静电场Ek 1 找出的方向 是dl上的元电动势 磁场中运动的任意形状导线感应电动势 引起动生电动势的非静电力是洛仑兹力 判断动生电动势的方向步骤 2 将在运动的导线上投影 所以的方向为A O 即O点电势较高 由此可得金属棒上总电动势为 例 长为L的铜棒在磁感强度为的均匀磁场中 以角速度绕棒的一端O匀速转动 求棒中的动生电动势 在铜棒上距O点为处取线元 其方向沿O指向A 解 相互垂直 所以上的动生电动势为 例 直导线ab以速率沿平行于长直载流导线的方向运动 ab与直导线共面 且与它垂直 求导线ab中的动生电动势 并判断哪端电势较高 解 应用求解 长直载流导线在距其r处取一线元dr 方向向右 表明电动势的方向由a指向b b端电势较高 当导体回路不动 由于磁场变化引起磁通量改变而产生的感应电动势 叫做感生电动势 问题的提出 动生电动势是由洛伦兹力提供了非静电力 在磁场变化而产生感生电动势的情况下 导体回路不动 其非静电力不可能是洛伦兹力 产生感生电动势的非静电力是什么 二 感生电动势感生电场 有别于静电场 变化的磁场在其周围激发了一种电场 这种电场称为感生电场 以表示感生电场的场强 根据电源电动势的定义及电磁感应定律 则有 或 麦克斯韦的感生电场假设 环流不为零 两种不同性质的电场 静止电荷产生的静电场 电力线起始于正电荷 终止于负电荷 环流为零 讨论 保守力场 变化的磁场产生的感生电场 电力线闭合 环流不为零 非保守力场 共同之处 它们都具有场能 都能对场中的电荷施加作用力 1 场的存在并不取决于空间有无导体回路存在 变化的磁场总是在空间激发电场 注意 2 感生电场中有导线回路存在 则产生感生电流 感生电场的投影到导线的方向与感应电流的流向一致 这电流完全是由感生电场对载流子施加场力使其定向移动而引起的 感生电动势的原因是变化的磁场产生的感生电场 例1一载流无限长直螺线管 其截面半径为R 螺线管圆柱形空间内均匀分布有磁场B 当磁感应强度以变化时 求空间的感生电场分布 解 在螺线管内部以轴线为圆心取一半径为r的圆形回路 并取图中所示绕向 r R 负号表示电场方向与所选方向相反 感生电场的方向与感应电流的方向一致而感应电流的方可由楞次定律判断 在螺线管外部以轴线为圆心取一半径为r的圆形回路 并取图中所示绕向 r R 负号表示电场方向与所选方向相反 2 1 I1 I2 如图 显然 穿过闭合回路1的磁通量 是受回路1中的电流I1和回路2中的电流I2的影响的 对于回路1 我们把仅由回路1中的电流I1的变化而引起的感应电动势称为自感电动势 而由于回路2中的电流变化而引起的感应电动势称为互感电动势 10 4自感和互感 自感现象由于回路中电流产生的磁通量发生变化 而在自己回路中激发感应电动势的现象叫做自感现象 这种感应电动势叫做自感电动势 考虑一闭合回路 设其中电流为I 由毕 萨定律知道 线圈在空间激发的磁感应强度与I成正比 因此 穿过回路本身的磁通量也与I成正比 即 一 自感电动势自感 单位 亨利 式中L为比例系数 叫做自感 实验表明 L与回路的形状 大小以及周围介质的磁导律有关 回路自感的数值上等于回路中的电流为单位值时通过这回路所围面积的磁通量 N匝线圈时 上式应改写为 对于一个任意形状的回路 回路中由于电流变化引起通过回路本身磁通量的变化而出现的感应电动势为 自感系数 等于回路中的电流变化为单位值时 在回路本身所围面积内引起磁通量的改变值 例 设有一无铁芯的长直螺线管 长为 截面半径为