本时间序列分析第四章小结

时间序列分析 第四章平稳时间序列模型的建立 第四章平稳时间序列模型的建立共分六节 第一节模型识别 第二节模型定阶 第三节模型参数估计 第四节模型的适应性检验 第五节建模的其它方法 第六节实例 第一节模型识别 一 对模型识别问题的认识 1 模型识别既是模型建立中的一个重要步骤也是一个过程 2 一个具体的时间序列分析问题 建模 建立时间序列 应用分析 诊断检验 参数估计 模型识别 二 用自相关函数和偏自相关函数识别 1 B J方法模型识别的依据 2 这种识别方法的优缺点 优点 简单易懂 易于操作 应用广泛 缺点 精度不够 特别是序列长度不足够长时 这是因为 1 识别时用的是自相关函数和自协方差函数的样本估计值 它们与理论值有一定差异 2 对高阶ARMA模型的识别 显得有些力不从心 改进措施 可利用自相关和自协方差函数做初步识别 再结合其他方法确定模型 三 实际操作中的问题 1 零均值的显著性检验 判断时间序列是否是零均值的 即判断给出的样本序列是否与零有显著性差异 是否显著为零或显著非零 若显著非零 进行零均值化 不进行零均值化 判断平稳性 识别 估计 检验等 这时是将均值作为一个未知参数代入模型中 模型的形式也将会有所改变 参数估计时 需估计序列的均值 1 序列均值的方差为 均值 可用样本均值 对有N个观察值的有限时间序列 其 在大样本情况下 上面的方差表达式可以近似表示为 来估计 且是 的无偏估计 为度量其精度 我们有 2 零均值的显著性判断 我们考察均值 的估计的均值和方差 为我们判断序列是否零均值提供了一种依据 如果样本均值在以下范围内可认为是零均值过程 另外 由可看出 若原时间序列是独立随机变量序列 则有 若Xt之间存在自相关 的方差就发生了变化 对AR 1 模型 有 由 有 在判断一个时间序列是否零均值时 我们也可以先初步判断序列所适合的模型 再根据该模型的样本均值的方差进行零均值检验 其它模型的样本均值的方差可根据模型的自相关函数特点用同样方法算出 2 自相关和偏自相关函数估计值的截尾和拖尾性判断 1 自相关函数和偏自相关函数的估计值的渐近分布 在进行模型识别 主要是考虑自相关函数和偏自相关函数的截尾和拖尾性 时 要用到自相关和偏自相关估计的标准差 自相关函数q步截尾 当k q时 有 偏自相关函数p步截尾 当k p时 有 截尾 从某一步q开始与零是否有显著性差别的显著性检验 若从某一步q开始与零无显著性差别 即为截尾 观察是否落入2倍标准差范围内 若是 则与零无显著性差别 即为截尾 拖尾 在不长时间内收敛 逐渐衰减至零附近 既不截尾也不拖尾 无上述特征 呈明显缓慢衰减或周期性衰减 这说明序列是非平稳的 2 截尾 拖尾性的判断 即如果自相关函数是q阶截尾的 当k q时 自相关估计值的方差满足 k q 如果自相关估计值在范围内 可看成是截尾的 第二节模型定阶 一 自相关和偏自相关函数定阶法 二 残差方差图定阶法 三 F检验定阶法 四 最佳准则函数定阶法 AIC FPE BIC准则 一 自相关和偏自相关函数定阶法 对AR和MA较实用 但也只能得到阶数的粗略估计 二 残差方差图定阶法 1 原理 最小的残差方差对应真实阶数 2 方法 利用残差方差图确定阶数 以阶数为横轴 以残差方差为纵轴作图 寻找最小残差方差对应的阶数 3 残差方差的计算 4 优缺点 优点 简单直观 易于理解 缺点 有一定的主观性 三 F检验定阶法 1 原理 用F检验来检验两个回归模型是否有显著差异 单尾检验 拒绝域在右尾 当计算得到的F值大于临界值时 拒绝原假设 认为两模型有显著差异 2 对ARMA n m 模型 可看成n m阶回归方程 检验ARMA n m 与ARMA n 1 m 1 有无显著性差异 H0 无显著性差异 ARMA n m Q0 对应自由度为N n n m N 2n m ARMA n 1 m 1 Q1 对应自由度为N n 1 n m 2 N 2n m 3 3 实施过程 1 对观测数据用ARMA n m 拟合 2 用高阶ARMA模型拟合 3 用F检验判断两模型是否有显著差异 若无 用低阶模型 若有 选择高阶模型 然后拟合更高阶模型再用F检验判断 直至检验不显著为止 四 最佳准则函数定阶法 AIC FPE BIC准则 1 原理 确定出一个准则函数 既考虑到拟合模型对数据的接近程度 又考虑到参数的个数 即既考虑误差越小越好 又考虑到模型越简约越好 然后按照准则函数的取值确定模型的优劣 以决定取舍 2 主要有AIC准则 FPE准则和BIC准则 3 FPE准则 根据模型的预报误差来判断自回归模型的阶数是否恰当 最小化最终预测误差 FinalPredictionError 准则 适用范围 AR模型 依据 选择使上式达到最小的n0做为最佳阶数 准则函数 一般做法 1 对观察数据从低阶到高阶拟合AR模型 2 计算相应的FPE值 3 选择最小的FPE值对应的AR模型为最佳模型 4 AIC准则 最小信息准则 用AR n 拟合序列 Xt 则拟合残差方差 是n的函数 记作 n 2n N 可选择n0 使AIC n0 最小 n0对应的就是最佳阶数 准则函数 用AR n 拟合序列 Xt 用ARMA n m 拟合序列 Xt 则拟合残差方差 是n m 的函数 假定 也是待估参数 记作 定义 5 BIC准则 AIC准则有过分估计自回归阶数的倾向 可略加改动 得到BIC准则 选择使上式达到最小的n0做为最佳阶数 因为一般有 lnN 2 所以由BIC准则确定的阶数不大于由AIC准则确定的阶数 第三节模型参数估计 一 模型参数估计的几种方法 二 模型参数的相关矩估计 常用的参数估计方法有 矩估计 极大似然估计 贝叶斯估计 最小二乘估计等 二 模型参数的相关矩估计 1 矩估计 用样本矩去估计总体相应的矩 是一种简单粗略的估计 但可提供迭代估计时的初值 优点 简单易懂 便于计算 缺点 有效性和精度不够 2 模型参数的矩估计 初估计 1 AR模型参数的矩估计 根据Yule Walker方程 可以得到 又有 又有 可得 例1 求AR 1 模型参数的矩估计 2 MA模型参数的矩估计 在第三章考察模型的自协方差时我们得到 这是一个由m 1个方程构成的非线性方程组 常用的求解方法有三种 直接法 线性迭代法和Newton Raphson算法 例 求MA 1 模型参数的矩估计 3 ARMA模型参数的矩估计 是否能利用Yule Walker方程 为什么 ARMA m n 模型 一般矩估计的方法 例 ARMA 1 1 模型参数的矩估计 第四节模型的适应性检验 模型的适应性检验 模型是否完全或基本上解释了系统的动态性 at是否是一白噪声序列 关键是at的独立性检验 本节主要介绍的模型适应性检验的方法有 一 散点图法 二 估计相关系数法 三 F检验 四 检验法 一 散点图法 通过at对at j和at对Xt j的散点图检验at 二 估计相关系数法 计算at和at j的相关系数以及at和Xt j的相关系数 通过相关系数来判断 上述方法简单直观但均有一定的主观性 较粗略 三 F检验 通过检验高低阶模型的显著性来反映at是否独立 可以证明 当阶数不够时 是不独立的 若是不独立 一定可以通过增加阶数来提高模型的解释能力 例 四 检验法 将at的自相关函数记为 可以证明 当N很大时 有 因此有 令Q 若Q大于临界值 落入拒绝域 拒绝原假设 认为模型是不适合的 第五节建模的其它方法 一 Pandit Wu建模法 二 用长阶自回归建立近似模型 一 Pandit Wu建模法 1 背景 Box Jenjes法的弱点使人们不断寻求更好的建模方法 吴贤铭和Pandit提出动态数据系统DDS DynamicDataSystem 2 思想 用ARMA n n 1 模型拟合Xt 逐渐增加阶数 检验显著性从而确定模型形式 3 基本步骤 用一个ARMA n n 1 模型逼近序列Xt 1 从ARMA 2 1 开始拟合序列 两阶两阶逐渐增加阶数 即按ARMA 2n 2n 1 n 1 2 方式进行拟合 2 对ARMA 2n 2 2n 1 和ARMA 2n 2n 1 作F检验 3 若显著 继续取高阶进行 若不显著 检验是否显著为零 置信区间是否包含零 对ARMA 2n 1 2n 2 和ARMA 2n 2n 1 作F检验 4 两阶两阶增加阶数的原因 1 方便快捷 2 包含单阶增加模型 3 从复根角度来考虑更合理 二 用长阶自回归建立近似模型 1 原理 Box Jenkins建模法和Pandit Wu建模法都存在ARMA MA模型而使参数估计较为繁琐和困难 任一序列都可用一个足够高阶的自回归模型来逼近到我们想要的精度 2 步骤 1 零均值化 2 建立AR 2n 模型 n从1开始取起 两阶两阶的增加模型阶数 直至达到所要求的精度 3 根据拟合的AR模型求模型ARMA n n 1 4 可逆性及适应性检验 注意的问题 1 AR p 的阶数