集合与函数的概念.doc

1.1 集合与函数的概念 教学要求对比内 容课程标准教学大纲区别集 合1集合的含义与表示(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用 2集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用1集合含义与表示(1)初步理解集合的概念，初步了解“属于”关系的意义(2)运用集合的两种常用表示方法-列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。给出了画图表示集合的例子2集合间的基本关系(1)了解集合的包含、相等关系的意义；理解子集、真子集的概念(2)了解全集与空集的意义3集合的基本运算(1)理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系，会正确表示一些集合的运算(2)理解补集的概念(3)掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合由初步理解变为了解，课程标准降低了要求 课程标准正式提出了可以运用自然语言表示集合课程标准对集合的包含、相等关系由了解变为理解，提高了要求；增加了“在具体情境中”，强调了集合的应用课程标准对集合的并集、交集与补集运算提出了更具体的要求课程标准强调了Venn图的应用函数及其表示1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数3通过具体的实例，了解简单的分段函数，并能简单应用1在映射的基础上理解函数的概念，明确决定函数三要素，即定义域、值域和对应法则；了解映射的概念；会求某些函数的定义域和值域2掌握函数的三种主要表示方法，即解析法、列表法、图象法 教学大纲是从抽象的对应关系来定义函数的概念；课程标准通过实例用变量的关系描述函数概念，比较生动、直观课程标准对求函数定义域和值域降低了要求课程标准增加了“在实际情境中”，强调了函数的应用性；对分段函数的应用提出了具体的要求函数的基本性质1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义2学会运用函数图象理解和研究函数的性质 了解函数的单调性、奇偶性的概念，利用这些概念证明或判断函数的单调性、奇偶性教学大纲侧重通过推理、证明研究函数的性质及应用；课程标准强化了用图象直观理解和研究函数的性质，强调了函数的实际应用对应题型示例一课标要求但教学大纲不要求1 课程标准明确提出了Venn图的概念，要求学生会利用Venn图解题，而教学大纲在这一点不作要求例1已知全集N|，试求集合B说明：本题可利用Venn图分三种情况来求解，这一点教学大纲是不作为要求的另外，本题亦可不用Venn图来求解2课程标准对函数这一概念的理解要求较高，特别是对函数的图象的理解要求更高；而教学大纲只是对某些具体函数有较高的要求例2 在学校洗衣店中每洗一次衣服（4.5 kg以内）需付费4元，如果在这家店洗衣10次后可以免费洗一次，问“费用C是次数n的函数”还是“次数n是费用C的函数”？例3 函数的图象如图1.1-1所示， r(1) 函数的定义域可能是什么？ 5(2) 函数的值域 - 2 可能是什么？ -5 O 2 6 p (3) r的哪些值只与p的一个值对应？ 图1.1-1例4 画出定义域为，值域为的一个函数的图象(1) 如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？(2) 将你的图象和其他同学的比较，有什么差别？说明：以上3个例题均为课程标准实验教科书中的习题，这种要求均是教学大纲中所没有的3课程标准要求利用图形计算器来求作一些复杂函数的图象，并进一步来求函数的最值而教学大纲只对一些简单的函数作这方面的要求例5画出函数 ()的图象例6求函数 ()的最小值说明：对高一学生而言，以上两个例题在教学大纲中不作要求，但它们却是课程标准实验教科书中的习题，要求学生懂得用图形计算器来进行处理二教学大纲要求但课标不要求1旧教课书专门有一节来介绍反函数的概念、求法及图象性质。而课程标准实验教科书对反函数一笔带过，只需要知道指数函数与对数函数互为反函数这一结论即可例7求函数的反函数说明：凡是求一个函数的反函数均不作为课程标准的要求2教学大纲对映射的概念要求较高，并提出了“象”与“原象”这两个概念，而课程标准对映射这一概念要求较低例8在图1.1-2的映射中， A 求平方 B0-323-1-219041(1)A中的元素-1的象是什么？ (2)B中的元素4的原象是什么？说明：课程标准没有提及“象”与“原象”这两个概念 图1.1-21.2 基本初等函数教学要求对比内容课程标准 教学大纲区别指 数 函 数1通过具体实例（如细胞分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。2理解有理函数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。4在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数概念.图象和性质。要求学生了解无理指数幂。对 数 函 数1理解对数函数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史以及对简化运算的作用。2通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，并探索并了解对数函数的单调性与特殊点3 知道指数函数 与对数函数互为反函数（a0,a1）.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数概念.图象和性质。要求知道换底公式对反函数不做要求，只提出知道指数函数 与对数函数互为反函数（a0,a1）幂 函 数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数, ,的图象，了解它们的变化情况。旧教材不要求学生掌握幂函数 对应题型示例一 课标要求但教学大纲不要求。1 课标要求学生要了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向的逼近，认识无理数指数明幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的。大纲只要求掌握有理指数幂的运算。例1 用计算器计算 ， .（精确到0.0001）.2 课标新增借助计算器或计算机作出函数图象，强调让学生通过观察直观的概括出函数的基本性质.例2 作出函数 的图像，并与函数 的图像比较说明了什么？3 课标要求学生能运用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数用计算器进行计算。例3 利用换底公式求下式的值： ， ，.利用换底公式证明：.4 课标明确提出函数模型的概念指出形如为指数型函数。5 幂函数是课标新要求的内容，大纲不要求。例4 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率为V（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。(1) 写出气流速度V关于r的函数解析式。(2) 若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 ，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率V的表达式：(3) 已知（2）中气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率。6 课标要求重视通过具体的、实际的问题来体现数学思想方法及价值,如推广的思想，逼近的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想，换元的思想，类比的思想，逻辑推理的思想，函数模型的思想。二 教学大纲要求但课标不要求。1 对求函数定义域,值域及讨论函数性质时的过于繁的技巧训练有所降低。2 对反函数的要求降低。只要求知道指数函数 与对数函数互为反函数（a0,a1），图象关于直线 y=x 对称。13 函数的应用教学要求对比内 容课程标准教学大纲区 别函数与方程1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的关系;2.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法. 教学大纲“三个二”:一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的转化，解决根的分布等问题.新课标:对任一函数的零点进行研究，方法基本、简单，易于掌握；新课标求近似解可以无限精确.教学大纲:画图观察出方程的解的近似值如求方程的近似解.函数模型及其应用1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛运用.1.能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题.2.实习作业以函数应用为内容,培养学生应用函数知识解决实际问题的能力. 新课标:鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题,例如:利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律,研究函数的性质,求方程的近似解等. 新课标还强调学生对过程的感受. 教学大纲:强调建模解题,注重方法及结果.对应题型示例一.课标要求但教学大纲不要求: 1.函数的零点、二分法、模拟函数均为新课