2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例学案.docx

二用数学归纳法证明不等式举例1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用方法与技巧2.理解贝努利不等式3能综合运用数学归纳法与数列、三角函数等知识进行不等式的证明,学生用书P57)1数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤证明：当n取第一个值n0时结论成立；假设当nk(kN，且kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立由可知命题对从n0开始的所有正整数n都成立(2)用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在)，即假设f(k)g(k)成立，证明f(k1)g(k1)成立2贝努利不等式(1)定义：如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx(2)贝努利不等式的一般形式当是实数，并且满足1或1)；当是实数，并且满足01)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN)”，第一步的验证为2111212.()(2)设x1，且x0，n为大于1的自然数，则(1x)n”，当n1时，不等式左边的项为.()答案：(1)(2)(3)2用数学归纳法证明不等式的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边应()A增加了一项B增加了两项C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对答案：C3用数学归纳法证明：12(n2，nN)时第一步需要证明()A12B12C12D12答案：C4用数学归纳法证明“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：左边的特点：分母逐项增加1，末项为；由nk，末项为到nk1，末项为，所以应增加的项数为2k.答案：2k用数学归纳法证明有关函数中的不等关系学生用书P58已知f(x).对于nN，试比较f()与的大小并说明理由【解】据题意f(x)1，所以f()1，又1，所以要比较f()与的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n1时，212121，当n2时，22422，当n3时，2385225，当n6时，26646236.故猜测当n5(nN)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5时，命题显然成立(2)假设nk(k5，且kN)时，不等式成立即2kk2(k5)，则当nk1时，2k122k2k2k2k22k12k1(k1)2(k1)22(k1)2，(k1)22)由(1)(2)可知，对一切n5，nN，2nn2成立综上所述，当n1或n5时，f()；当n2或4时，f()；当n3时，f().利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解：231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，猜想成立；假设当nk(k1，kN)时猜想成立，即ak2k1，则当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，猜想也成立由，知，对任意nN*，都有an2n1，即1an2n.所以.所以12n1.当n2时，左边9，右边5，左边右边，不等式成立假设nk(k2，kN)时，3k2k1，则nk1时，3k133k3(2k1)6k32(k1)1，所以nk1时不等式成立根据可知：当n2时，3n2n1.综上可知，3n2n1对于nN*成立，所以(3n1)WnnWn1(nN*)利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1的变形为了满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难点一是要仔细观察题目结构，二是要用分析法找到放缩的结果，才能顺利地证题 已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn10(n2)(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明SSS(n1且nN)解：(1)是等差数列，证明如下：S1a1，所以2.当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.所以2.故是以2为首项，2为公差的等差数列(2)证明：当n1时，S，不等式成立假设nk(k1，kN)时，不等式成立，即SSS成立，则当nk1时，SSSS1nx成立的两个条件：nN且n2；x的取值范围是x1且x0.于是有命题：当nN且n2时不等式(1x)n1nx对一切x(1，0)(0，)恒成立(2)常用特例：当x1且x0时，(1x)212x；当x1且x0时，(1x)313x.【规范解答】归纳猜想证明(本题满分12分)设f(n)nn1，g(n)(n1)n，nN.(1)当n1，2，3，4时，比较f(n)与g(n)的大小；(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明【解】(1)当n1时，nn11，(n1)n2，此时，nn1(n1)n，当n2时，nn18，(n1)n9，此时，nn1(n1)n，当n4时，nn11 024，(n1)n625，此时，nn1(n1)n.(2分)(2)根据上述结论，我们猜想：当n3时，nn1(n1)n(nN*)恒成立(4分)证明如下：当n3时，nn13481(n1)n4364，即nn1(n1)n成立(5分)假设当nk(k3，kN)时，kk1(k1)k成立，即1，(6分)则当nk1时，(k1)(k1)1，(10分)即(k1)k2(k2)k1成立，即当nk1时不等式也成立，(11分)所以当n3时，nn1(n1)n(nN)恒成立(12分)归纳猜想证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法1用数学归纳法证明：12(n2