[理学]信号与系统第七章课后习题答案

7.1 Z 变 换,7.1.1 从拉普拉斯变换到Z变换,对连续信号f(t)进行理想抽样，即f(t)乘以单位冲激序列T(t)， T为抽样间隔，得到抽样信号为,7.1.2 双边Z变换的收敛域,对于离散序列f(k)(k=0, 1, 2, )， 函数(z的幂级数),F(z)称为f(k)的象函数，f(k)称为F(z)的原函数。为了表示方便，记为：,2. 双边Z变换的收敛域,F(z)存在或级数收敛的充分条件是,Z的取值区域即为收敛域,例 7.1 - 1 已知有限长序列f(k)=(k+1)-(k-2)。求f(k)的双边Z变换及其收敛域。,例 7.1- 2 已知无限长因果序列f(k)=ak(k)。求f(k)的双边Z变换和收敛域。,解 f(k)的收敛域为,例 7.1 3 已知无限长反因果序列f(k)=-ak(-k-1)。求f(k)的双边Z变换及其收敛域。,解 f(k)的收敛域为,例 7.1-4 已知无限长双边序列f(k)为,式中，|b|a|。求f(k)的双边Z变换及其收域。,解 f(k)的双边Z变换为,|a|z|1,|z|3,1|z|3,由线性性质得,2. 位移(时移)性,式中，m为正整数,根据双边Z变换的定义，则有,令 n=k+m, 则有,例 7.2-2 已知f(k)=3k(k+1)-(k-2)，求f(k)的双边Z变换及其收敛域。,解 f(k)可以表示为,根据位移性质，得,根据线性性质，得,3. 序列乘ak(Z域尺度变换),式中，a为常数（实数、虚数、复数）,若a=-1 , 则有,例 7.2-3 已知,求f(k)的双边Z变换及其收敛域。,解 令f1(k)=3k+1(k+1)，则有,由于,3|z|,根据时域乘ak性质，得,4. 序列域卷积,若,则,例 7.2-4 已知,求f(k)的双边Z变换和f(k)。,解 由位移性质得,1|z|1,由序列乘ak性质得,|z|1,根据卷积性质，得,|z|1,F(z)的原函数f(k)为 （由7.116和7.118得）,5. 序列乘k(Z域微分),式中， m为正整数。,若f(k) F(z)，|z|，则有,6. 序列除(k+m)(Z域积分),若f(k) F(z)， |z|， 则有,|z|0。 若m=0，k0, 则有,|z|2,根据Z域积分性质式(7.2 - 16) ， 则有,|z|2,7. K域反转,若f(k) F(z)，|z|，则有 ,f(-k)F(z-1),例 7.2-7,已知f(k)=2-k-1(-k-1)，求f(k)的双边Z变换F(z)。,解,根据K域反转性质,根据位移性质，则有,8. 部分和,若f(k) F(z)，|z|1,根据部分和性质，则,|z|1,令,， 则有,由序列乘ak性质，得,9. 初值定理,若kN(N为整数)时，f(k)=0，并且,|z|,10. 终值定理,若kN时f(k)=0，f(k)的双边Z变换为,则f(k)的终值为,或者,7.3 Z 逆 变 换,7.3.1 双边Z逆变换的定义,复变函数理论中的柯西公式为,m=-1m-1,序列f(k)的双边Z变换的定义为,|z|,把上式中的n用k代替， 得,7.3.2 双边Z逆变换的计算,1. 幂级数展开法,若f(k)为双边序列，则F(z)为z和z-1的幂级数,|z|,|z|,若f(k)为因果序列，则F(z)为z-1的幂级数，收敛域|z|,若f(k)为反因果序列，k0时f(k)=0，则F(z)为z的幂级数，收敛域为|z|1，求F(z)的原函数f(k),解 因为F(z)收敛域为|z|1，所以原函数为因果序列。,即,得,例 7.3-2 已知,|z|1，求F(z)的原函数f(k),解 因为F(z)的收敛域为|z|1，故F(z)的原函数f(k)为反因果序列。,得,例 7.3-3 已知,求F(z)的原函数f(k)。,解 F(z)的原函数f(k)为双边序列。F(z)可以表示为,1|z|3,式中：,2. 部分分式展开法,若F(z)为有理分式，则F(z)可表示为,取an=1。 若F(z)为假分式，可用多项式除法将F(z)表为,(1) 的极点为一阶极点。,的部分分式展开式为,式中的系数Ki的计算方法为,式(7.3 - 10)两端乘以z， 得,|z|zi|,|z|2，所以f(k)为因果序列。 的极点全为一阶极点，可展开为,故,|z|2,得,由于,并且以上三个常用函数变换的收敛域的公共部分为|z|2， 所以得F(z)的原函数为,例 已知,求F(z)的原函数f(k)。,|z|2,|z|3,|z|2,例7.3-6,求f(k),(1) 所以f(k)为双边序列。 展开为,2|z|3,所以f(k) 可求出为,上面两个Z变换的收敛域的公共部分为2|z|3。 于是得,设 在z=z0有m阶重极点，另有n个一阶极点zi(i=1, 2, ，n)， 则 可表示为,则 可展开为以下部分分式：,系数K1i(i=1, 2, , m)、Ki(i=1, 2, , n)的计算方法为,F(z)的部分分式展开式为,|z|,例 7.3-7 已知,求F(z)的原函数f(k)。,1|z|2,|z|r，则其Z逆变换为,若式(7.3 - 18)的收敛域为|z|r，则其Z逆变换为,若式(7.3 - 21)的收敛域为|z|r，则其Z逆变换为,例 7.3-9 已知,1|z|1,(4),(5),|z|a|,7.4.3 单边Z变换的性质,1. 位移(时移)性质,若f(k)F(z)，|z|，则,式中，m为整数，m0。,例 7.4-1 求(k-m)和(k-m)(m0)的单边Z变换。,解 由于(k)和(k)是因果信号，并且,|z|1,|z|1,例 7.4-2 已知f(k)=ak-2，求f(k)的单边Z变换F(z)。,解 f(k)为非因果信号。令f1(k)=ak，则f1(k)单边Z变换为,|z|a|,根据位移性质 , 则,|z|a|,或者,2. 卷积性质,若f1(k)、f2(k)为因果序列，并且,则,|z|max(1, 2),单边Z变换的卷积性质要求f1(k)、f2(k)为因果序列，而双边Z变换的卷积性质则无此限制。,3. 部分和性质,若f(k)F(z)，|z|，则有,|z|max(1, ),例 7.4-4 已知,求f(k)的单边Z变换F(z)。,解 设,则,根据部分和性质，得,根据序列乘ak性质，则,|z|2,根据序列乘k性质，则,|z|2,7.4.4 单边Z逆变换的计算,1. 部分分式展开法,例 7.4 5 已知 |z|3, 求F(z)的单边Z逆变换f(k)。,解,有一阶极点z=2有三重极点z=3。各系数分别为,|z|3,若F(z)有一阶共轭复极点，F(z)Z逆变换可用例7.3 - 8(1)的方法计算，也可根据(7.3 - 18)和式(7.3 - 19)计算,7.5 离散系统的Z域分析,7.5.1 离散信号的Z域分解,根据单边Z逆变换的定义，因果信号f(k)可以表示为,7.5.2 基本信号zk激励下的零状态响应,若线性离散系统的输入为f(k), 零状态响应为yf(k)，单位序列响应为h(k)，由时域分析可知,若f(k)=zk，则,若h(k)为因果信号(对应的系统称因果系统)， 则有,7.5.3 一般信号f(k)激励下的零状态响应,若离散系统的输入为因果信号f(k)，其单边Z变换为F(z)，则f(k)可以分解为基本信号zk之和,另一方面，由于yf(k)=f(k)*h(k)，因此,在Z域，离散系统的零状态响应可按以下方法求解：,(1) 求系统输入f(k)的单边Z变换F(z)； ,(2) 求系统函数H(z), H(z)=Zh(k)； ,(3) 求零状态响应的单边Z变换Yf(z), Yf(z)=F(z)H(z)；,(4) 求零状态响应yf(k)，yf(k)=Z-1Yf(z)。,例7.5-1 输入为f1(k)=(k)时零状态响应y1f(k)=3k(k)。求输入为f2(k)=(k+1)(k)时系统零状态响应y2f(k)。,7.6 离散系统差分方程的Z域解,7.6.1 差分方程的Z域解,以二阶离散系统为例:,设y(k)的单边Z变换为Y(z)，根据单边Z变换的位移性质，对式(7.6- 1)两端取单边Z变换，得,分别令,则,(7.6 - 7),由于Yf(z)=H(z)F(z)，因此，由式(7.6 - 7)得到系统函数为,设n阶离散系统的差分方程为,式中，mn，an=1，ai(i=0, 1, , n-1)、bj(j=0, 1, , m)为实常数。则系统函数为,对于n阶线性时不变离散系统，若输入f(k)为因果信号，则yf(-i)(i=1, 2, , n)等于零.,因此y(k)、yf(k)、yx(k)的初始值有以下关系：,初始值y(i)和y(-i)可根据系统差分方程应用递推法相互转换。 例如，设二阶离散系统的差分方程为,如 f(k)=(k), y(0)=1，y(1)=2。 对式(7.6 - 13)，令k=1得,令k=0, 得,例 7.6-1 已知二阶离散系统的差分方程为,求系统完全响应y(k)、零输入响应yx(k)、零状态响应yf(k)。,解:方法1 输入f(k)的单边Z变换，得,yf(k)满足的差分方程为,yf(k)的初始条件yf(-1)、yf(-2)均为零。,7.6.2 离散系统的频率响应,1. 离散系统对正弦序列的响应设离散系统输入为,-k,设系统对ejTk的零状态响应为y1(k)，根据离散系统时域分析的结论：,因果离散系统，单位序列响应h(k)为因果序列,得,(7.6 - 18),若系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，H(z)在单位圆|z|=1上收敛，因此，H(z)在z=ejT时也收敛。式(7.6 - 18)可以表示为,设系统对e-jTk的响应为y2(k)， 同理可得,令,式(7.6 - 21)可以表示为,若f(k)=A cos (Tk+)，0，则,2. 离散系统的频率响应,若离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内，则H(ejT)称为离散系统的频率响应或频率特性。,幅频特性，(T)称为相频特性。,图 7.7-2 离散系统的串联,7.7 离散系统的表示和模拟,离散系统的串联,h(k)与hi(k)之间的关系为,根据单边Z变换的时域卷积性质，复合系统系统函数H(z)与各子系统的系统函数Hi(z) 之间关系为,图 7.7-3 离散系统的并联,例 7.7-1 已知系统的方框图表示如图7.7-4所示。图中，h1(k)=(k-2)，h2(k)=(k)，h3(k)=(k-1)。 (1) 求系统的单位序列响应h(k); (2) 若系统输入f(k)=ak(k)，求系统零状态响应yf(k)。,图 7.7-4 例7.7-1图,解 （1）求h(k):设由子系统h2(k)和h3(k)串联组成的子系统的单位响应为h4(k),该子系统的函数为H4(z),则,因此，系统的单位序列响应h(k)为,（2）求系统的零状态响应yf(k)：,2. 用基本单元表示离散系统,图 7.7-5 离散系统的基本单元,例 7.7-2 已知离散系统的框图表示如图7.7-6所示，写出描述系统输入输出关系的差分方程。,图 7.7-6 例 7.7-2,解,7.7.2 离散系统的信号流图表示,图 7.7-7 离散系统框图与信号流图的对应关系,例 7.7-3 已知离散系统的方框图表示如图7.7-8(a)所示，画出系统的信号流图。,图 7.7-8 例7.7-3图,解 设图7.7-8(a)所示方框图左边加法器的输出为X1(z)，上边第一个延迟器的输出为X2(z)，第二个延迟器的输出为X3(z)。 根据基本单元的输入输出关系，,例 7.7-4 已知离散系统的信号流图表示如图7.7-9所示，求系统函数H(z)。,图 7.7-9 例 7.7-4图,解 系统信号流图中共有两个环，其中，环1的传输函数L1=H1(z)G1(z),环2的传输函数L2=H2(z)G3(z)，并且环1和环2不接触。因此，流图特征行列式为,于是得系统函数为,7.7.3 离散系统的模拟,例 7.7-5 已知二阶离散系统的系统函数为,解 系统函数H(z)的分子分母同除以z2，得,图 7.7-10 例7.7-5图,例 7.7-6 已知离散系统的系统函数为,用串联形式信号流图模拟系统,解 H（z）可以表示为,图 7.7-11 例7.7-6图,例 7.7-7 已知离散系统的系统函数为,用并联形式信号流图模拟系统,解 H（z）可以表示为,图 7.7-12 例7.7-7图,7.8 系统函数与系统特性,7.8.1 H(z)的零点和极点 离散系统的系统函数H(z)通常为有理分式，可以表示为z-1的有理分式，也可以表示为z的有理分式。即,7.8.2 H(z)的零、极点与时域响应,1. 单位圆内极点,图 7.8-1 H(z)的极点分布与h(k)的关系,7.8.3 H(z)与离散系统频率响应,则 又可表示为,幅频响应和相频响应分别为,图 7.8-2 零、极点的矢量表示,例 7.8-1 已知离散系统的系统函数为,解 由于H（z）的收敛域为 ，所以H（z）在单位圆上收敛。H（z）有一个极点 有一个零点z1=1。系统的频率响应为,求系统频率响应，粗略画出系统幅频响应、相频响应曲线,令,则有,图 7.8-3 例 7.8-1图,7.8.4 H(z)与离散系统的稳定性,1. 离散稳定系统 一个离散系统，如果对任意有界输入产生的零状态响应也是有界的，则该系统称为有界输入有界输出意义下的稳定系统， 简称稳定系统。,线性时不变因果离散系统稳定的充分和必要条件为,2. 离散系统稳定性准则,朱里提出了一种列表的方法来判断H(z)的极点是否全部在单位圆内.朱里准则是根据H(z)的分母A(z)的系数列成的表来判断H(z)的极点位置.,设n阶离散系统的,朱里排列如下：,朱里排列