浮点数的运算方法

四 浮点运算器与浮点数运算 浮点运算器通常由处理阶码的和处理尾数的两个定点运算器组成在早期的小或微型机中 浮点运算器通常以任选件方式提供给用户 主要用于计算浮点数浮点数加减运算对阶执行加减规格化舍入 右归 判溢出浮点数乘除运算阶码加减尾数乘除舍入与规格化处理判溢出 浮点数在计算机内的格式 浮点数 X MSESEm 1 E2E1M 1M 2 M n 符号位阶码位尾数数码位总位数 短浮点数 182332 长浮点数 1115264 临时浮点数 1156480 IEEE标准 阶码用移码 基为2 尾数用原码 浮点数的阶码的位数决定数的表示范围 尾数的位数决定数的有效精度 浮点数在计算机内的格式 IEEE标准 尾数用原码 浮点数是数学中实数的子集合 由一个纯小数乘上一个指数值来组成 在计算机内 其纯小数部分被称为浮点数的尾数 对非0值的浮点数 要求尾数的绝对值必须 1 2 称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示 把不满足这一表示要求的尾数 变成满足这一要求的尾数的操作过程 叫作浮点数的规格化处理 通过尾数移位和修改阶码实现 浮点数在计算机内的格式 IEEE标准 尾数用原码 按国际电子电气工程师协会规定的标准 浮点数的尾数要用原码表示 即符号位Ms 0表示正 1表示负 且非0值尾数数值的最高位M 1必为1 才能满足浮点数规格化表示的要求 既然非0值浮点数的尾数数值最高位必定为1 则在保存浮点数到内存前 通过尾数右移 强行把该位去掉 用同样多的尾数位就能多存一位二进制数 有利于提高数据表示精度 称这种处理方案使用了隐藏位技术 当然 在取回这样的浮点数到运算器执行运算时 必须先恢复该隐藏位 浮点数在计算机内的格式 X MsEsEm 1 E1E0M 1M 2 M n IEEE标准 阶码用移码 基为2 按国际电子电气工程师协会规定的国际通用标准 浮点数的阶码用整数给出 并且要用移码表示 用作为以2为底的指数的幂 既然该指数的底一定为2 可以不必在浮点数的格式中明确表示出来 只需给出阶码的幂值即可 移码表示只用于表示整数 只用在浮点数的阶码部分 其定义类似于整数的补码定义 差别在符号位 移码的符号位是0表示负 1表示正 与补码的符号位正好相反 移码是指机器数在数轴上有个移位关系 移码的数值位则与补码的数值位完全相同 浮点数格式 关于移码的知识 移码表示只用于表示整数 只用在浮点数的阶码部分 一位符号位和n位数值位组成的移码 其定义为 E 移 2n E 2n E 2n表示范围 0000000011111111 浮点数格式 关于移码的知识 一位符号位和n位数值位组成的移码 其定义为 E 移 2n E 2n E 2n表示范围 00000000 11111111负数正数机器数 0 移码只执行二数的加减运算与增1 减1操作 加减运算时 符号位计算结果求反后 才是加减运算的正确符号位的值 注意 当用双符号位时 00代表负 01代表正 而不是11代表正 8位的阶码能表示 128 127 当阶码为 128时 其补码表示为00000000 该浮点数的绝对值 2 128 人们规定此浮点数的值为零 若尾数不为0就清其为0 并特称此值为机器零 8位移码表示的机器数为数的真值在数轴上向右平移了128个位置 128 127 浮点数在计算机内的格式 EX 阶码用移码 尾数用原码表示浮点数的好处 1 机器零为浮点数的所有各位均为零 2 二浮点数比大小时 可不必区分阶码位和数据位 可视同比二定点小数一样对待 浮点数算术运算 1 对阶操作 求阶差 E EX EY 使阶码小的数的尾数右移 E 位 其阶码取大的阶码值 2 尾数加减 3 规格化处理 4 舍入操作 可能带来又一次规格化 5 判结果的正确性 即检查阶码上下溢出 浮点数加减运算 浮点数加运算举例 X 2010 0 11011011 Y 2100 0 10101100 写出X Y的正确的浮点数表示 阶码用4位移码尾数用9位原码 含符号位 含符号位 X 浮 0101011011011 Y 浮 1110010101100为运算方便 尾数写成模4补码形式 MX 补 0011011011 MY 补 1101010100 浮点数加运算举例 X 2010 0 11011011 Y 2100 0 10101100 1 计算阶差 E EX EY EX EY 1010 0100 0110注意 阶码计算结果的符号位在此变了一次反 结果为 2的移码 是X的阶码值小 使其取Y的阶码值1100 即 4 因此 修改 MX 补 000011011011 即右移2位 2 尾数求和 000011011011 1101010100111000101011 浮点数加运算举例 X 2010 0 11011011 Y 2100 0 10101100 3 规格化处理 相加结果的符号位与数值的最高位同值 应执行一次左规操作 故得 MX 补 1000101011 EX 移 1011 4 舍入处理 采用0舍1入方案 要入 在最低位加11100010101 00000000011100010110 其原码表示为111101010 5 检查溢出否 和的阶码为1011 不溢出计算后的 X 移 1101111101010 即23 0 11101010 浮点数算术运算 1 阶码加 减 乘 EX EY 除 EX EY 2 尾数乘 除 乘 EX EY 除 EX EY 3 规格化处理 4 舍入操作 可能带来又一次规格化 5 判结果的正确性 即检查阶码上下溢出 浮点数乘除运算 浮点数乘法运算举例 X 2010 0 1011 Y 2100 0 1101 写出X Y的正确的浮点数表示 阶码用4位移码尾数用9位原码 含符号位 含符号位 X 浮 010101011 Y 浮 111001101 浮点数乘运算举例 X 2010 0 1011 Y 2100 0 1101 1 阶码相加 积的阶码 EX EY 1010 1100 1110注意 计算结果的阶码符号位在此变了一次反 结果为 6的移码 2 尾数相乘 MX MY 0 1011 0 1101 0 10001111 3 4 5 已是规格化数 不必舍入 也不溢出最众乘积 MX 移 1111010001111 即26 0 10001111 浮点数除运算举例 X 2010 0 1011 Y 2100 0 1101 1 阶码相减 积的阶码 E