高等数学第三章课后习题答案

班级 姓名 学号第三章 中值定理与导数的应用1. 验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。2不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解：函数可导，且。由罗尔定理知，至少存在使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。3若方程 有一个正根 证明:方程必有一个小于的正根。解：取函数。上连续，在内可导，且由罗尔定理知至少存在一点使即方程必有一个小于的正根。4设 求证不等式： 证明：取函数在a,b上连续，在（a, b）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使，即，故5设在上连续，在内可导，证明存在使 证明：取函数，则在上连续，在内可导，由柯西中值定理知，存在，使，即。6证明恒等式: 证明：取函数，则. 则因为，故。7证明：若函数在内满足关系式且 则.证明：故，又8用洛必达法则求下列极限（1） 解：（2） 解：（3） 解： （4）解： （5）解：（6） 解：（7） 解： （8）解：因为，而.所以（9）解：因为，而,所以，9. 验证 存在，但是不能用洛必达法则求出。解：由于不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：。10. 当时，求函数的阶泰勒公式。解：因为故其中介于x与之间.11. 求函数的阶麦克劳林公式。解：因为故其中介于x与0之间。12 确定函数的单调区间。解：函数除外处处可导，且令，得驻点这两个驻点及点把区间分成四个部分区间当时，因此函数在内单调减少。当时，因此函数在内单调增加。13证明不等式：当时， 证明：取函数因此，函数在上单调增加，故当时，即亦即，当时，14. 设在时都取得极值，试确定的值，并判断在是取得极大值还是极小值？解： ，在取得极值，则，故又因，故，所以在时取得极大值；，所以在时取得极小值。15求函数在闭区间上的最大值与最小值。解：函数除外处处可导，令，得驻点又因，故，最小值为，最大值为。16某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？解：设界面周长为，已知及即故令，得驻点由知为极小值点。又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。17求函数图形的拐点及凹或凸的区间。解：令，得。当时，因此函数在内是凸的；当时，因此函数在内是凹的；当时，因此函数在内是凸的。曲线有两个拐点，分别为18利用函数图形的凹凸性，证明: 证明：取函数则当时，故函数在上是凹的，故对任何，恒有即19试决定曲线中的 使为驻点,为拐 点，且通过.解：由题设知，即.解得20描绘函数的图形。解：（1）定义域； （2）.（3）列表如下：x0(0,1)1-0+不存在-0+不存在+拐点极小值 （4），. x=1是垂直渐近线；y=0是水平渐近线. (5)取辅助点.（6）作图：21求椭圆在点处的曲率及曲率半径。解：两