广义相对论_ppt05

广义相对论简介 授课教师 范忠辉云南大学物理科学技术学院 第五章球对称的引力场 5 1球对称度规场的一般结构5 2史瓦西外部解5 3伯克霍夫定理5 4史瓦西坐标的物理意义5 5引力源中的内引力场 2020 4 18 2 广义相对论 球对称的引力场 5 1球对称度规场的一般结构 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 3 度规场是由度规张量的10个独立分量描述的 每一分量都是时空坐标的四元函数 引力场由度规场确定 因此 球对称引力场即球对称度规 球对称度规为在三维空间正交变换 转动或反射 下 线元 或度规张量 形式不变的度规 在三维空间正交变换下 只有两空间点之间的距离 径向距离r及其微分和时间t及其微分是不变量 因此 所求的只能由这些不变量组成 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 4 因而 球对称度规的最普遍形式为 作一坐标变换 令 则上式化为 令 其中为使cdt 恰为全微分的积分乘子 即 5 1 1 5 1 2 5 1 3 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 5 则以 5 1 3 式代入 5 1 1 式 即可消去drdt项 得到一个时轴正交系 即 或写为 5 1 4 5 1 4 式是球对称度规的最普遍形式 为求解Einstein方程 通常把b和a写出指数形式 因为这将简化计算中的某些表示式 上式只考虑了度规场的几何对称性和坐标选取的任意性 为完全确定度规 需有Einstein引力场方程来确定任意函数和 如果是静态 或称稳态 的 5 1 5 5 1 6 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 6 度规的逆变形式为 由 5 1 5 式 可得度规形式为 5 1 7 5 1 8 5 2史瓦西外部解 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 7 在研究太阳引力场中行星轨道近日点的进动 我们需要一个球对称质量分布周围引力场的精确解 至少是比较精确的解 这就是史瓦西 Schwarzschild 解 这个解的重要性大大超出了在太阳系中的应用 现在认为 任何非转动 电中性的恒星的引力坍缩 其最后结果必定将导致Schwarzschild几何 即使初始是非对称的 任何与对称的Schwarzschild场的偏离 最终都将以引力波的形式辐射掉 下面求解质量分布周围真空区域的Einstein场方程 如果物质分布是球对称的 这一物质分布所产生的引力场必定也是球对称的 此外 如果质量分布是静止的并且没有转动 引力场必定也是静态的 一个场被称为是静态的 必须同时满足时间无关和时间对称两个条件 后者即时间反演不变 对于一个球对称的场 自然是应用球极坐标 角坐标和是明确的 这两个坐标的测量 只取决于外面把一个以原点为中心的圆周分成等份的能力 即使在不知道度规的情况下 我们也能做到 径向 坐标r的含义是不明确的 因为我们不知道它和距离测量的准确关系 时间 坐标t也有类似的不确定性 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 8 场是球对称和静态的 采用球坐标 我们用 5 1 6 式的度规形式 5 2 1 未知函数为和 我们将用Einstein方程来求出它们 度规的逆变形式为 利用 5 2 2 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 9 形式为 5 2 1 式的度规张量的Christoffel符号 撇号表示导数 的所有非零分量如下 按联络公式 由 5 2 1 和 5 2 2 得到度规及其逆变形式的分量 所有非对角分量为零 作业1 推导Christoffel符号的上述表示式 5 2 3 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 10 作业2 证明度规 式5 2 1 和Christoffel符号 式5 2 3 导致Riemann张量的下列非零分量 Riemann张量 5 2 4 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 11 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 12 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 13 作业3 证明由式 5 2 4 得到的Ricci张量具有如下的非零分量 里契 Ricci 张量 作业4 证明曲率标量R的值为 5 2 5 5 2 6 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 14 方法一 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 15 方法二 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 16 方法三 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 17 1 证明 这里指标 第一项 对时间求导 显然这项为零 所以 3 证明 曲率标量R 由定义 所以 2 证明 由里契张量 这里指标 所以 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 18 Ricci张量和曲率不变量可以从Christoffel符号计算出来 只有的对角分量不为零 真空中的Einstein方程 则上面的场方程变为下面的方程组 上述方程可以相当容易地积分出来 考虑 5 2 7 它可以写成 它有普遍解 C为常数 5 2 7 5 2 8 5 2 9 5 2 10 提示 代入 简化微分方程 5 2 11 5 2 11 5 2 12 利用 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 19 由 5 2 8 减 5 2 7 我们得到 由此 但在大距离上 度规张量必须化为球坐标下平直时空的度规张量 因此 和必须在这一极限下趋于零 而且常数必须为零 则有 因而的解为 5 2 13 5 2 14 5 2 15 5 2 16 最后一步 我们必须验证 解 5 2 12 式和 5 2 16 式也满足至今还没有用过的微分方程 5 2 9 和 5 2 10 作业5 对此验证 按照 5 2 12 和 5 2 16 式 球对称场的时空间隔的形式为 5 2 17 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 20 注意 而前面论证过 见教材3 4节 差一负号 在牛顿近似下有 其中M为中心质量 通过比较 看到 利用上式 5 2 17 式变为 5 2 18 式称为史瓦西 Schwarzshild 解 5 2 18 必须记住 质量M是系统的总质量 引力质量贡献的质量 能量也包括在M之中 显然 除非M是系统的总能量 等效原理 MI MG 就不能满足 5 3伯克霍夫定理 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 21 我们在上一节对Schwarzschild解的推导 开始于度规是球对称的和静态的假设 后一个假设实际上是不需要的 因为它暗含在前一个假设之中 可以证明 Einsten方程的任何球对称真空解必定是静态的 而且必须与Schwarschild解一致 这就是Birkhoff定理 作为这一定理的一个结果 球对称质量分布在其周围区域产生的场总是静态Schwarzschild场 无论该质量是静态的 坍缩的 膨胀的或者脉动的 这一表述暗含着一个假定 即质量分布中没有净电荷 如果有净电荷 则周围空间将存在电场 而且真空条件将被违反 放弃静态假设 我们必须使用度规形式 当然 可以把任何解的形式通过坐标变换加以改变 因此 如果两个解只差一个坐标变换 则它们将被认为是一致的 这样的解在物理上式完全相同的 5 1 5 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 22 度规 5 1 5 式相应的曲率张量的计算 只比度规 5 1 6 式相应的计算稍稍复杂一些 结果得到的Einstein方程如下 撇号和点号分别表示对r和t的导数 5 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 方程 5 3 5 和 5 3 6 意味着 故是与时间无关的 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 23 如果把代入到方程 5 3 1 5 3 4 这些方程就与 5 2 7 5 2 10 相等 因而 方程的解就可以用与前面完全相同的方式来求出 我们得到 见 5 2 11 5 2 13 5 3 7 上面这个微分方程的解为 5 3 8 其中是一个时间的任意函数 利用 5 2 12 式给出的 以及 因此求得 5 3 9 2020 4 18 广义相对论 球对称的引力场 24 此式与Schwarzschild解的区别只是在于第一项中的因子 这个与时间有关的因子 可以用一个时间坐标的进一步变换消去 如果用一个新的坐标t 使得 则 5 3 9 式就与 5 2 17 式相同 我们的球对称解 5 3 9 式因此与Schwarzschild解一致 Birkhoff定理的意义 Schwarzschild解描述的是球对称源的外引力场 但这个源不必是静止的 因此 当观测到一个Schwarzschild引力场 我们无法判明它的源是一个稳定的 还是一个膨胀 收缩 振荡的 作为该定