高考中常用的数学概念、公式、中间结论

高中数学重要知识点一、概念1.集合的基本运算交集：AB=x|xA且xB 并集：AB=x|xA或xB补集：全集为U,集合A(AU)的补集为=x|xU且xA2.(1)全称命题p:xM,p(x)的否定为特称命题p:M,p().(2)特称命题p:M,p()的否定为全称命题p:xM,p(x).3.分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.4.奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)f(|x|)成立，则f(x)为偶函数)5.对数：如果,那么数叫做以为底的对数,记作.其中叫底数, 叫做真数6.指数函数与对数函数指数函数对数函数定义形如y=(a0且a1)的函数形如y=(a0且a1)的函数图象定义域Rx|x0值域y|y0R过定点(0,1)(1,0)单调性a1时,在R上单调递增0a1时,在(0,+)上单调递增0a1时,在(0,+)上单调递减函数值性质0a0时,0y1；当x10a1时,y0；当0x0a1,当x0时,y1；当x0时,0y1,当x1时,y0；当0x1时,y1,d为常数).(2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=.17.等比数列的相关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.符号表示为，q为常数.(2)等比中项:如果三个数a、G、b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么=,即G2=ab.18.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)在直线Ax+By+C=0的某侧任取一点(,),通过A+B+C的符号来判断Ax+By+C0(或Ax+By+C0,则当B0时表示直线Ax+By+C=0的上方；当B0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C0);圆心(a,b),半径为r;圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0);圆心(-,-),半径.24.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2ab0)-=1 (a0,b0)y2=2px (p0)图形范围|x|a,|y|b|x|ax0顶点(a,0)(0,b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(,0)轴长轴长2a, 短轴长2b实轴长2a, 虚轴长2b离心率e=(0e1)e=1准线x=-渐近线y=x25.求曲线轨迹方程的定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定义直接求出动点的轨迹方程. 26.极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作M(,).27.常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆=r(02)圆心为(r,0),半径为r的圆=2rcos(-)圆心为(r,),半径为r的圆=2rsin(0)过极点,倾斜角为的直线=(R) 或 =+(R)过点(a,0),与极轴垂直的直线cos=a(-)过点(a,),与极轴平行的直线sin=a(0b0)的参数方程 (为参数)29.将曲线的参数方程化为普通方程时,要把其中的参数消去,还要注意消去参数的过程要保持普通方程与参数方程的等价性.参数方程化为普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.30.求解极坐标方程和参数方程的综合问题应统一化为直角坐标方程后处理.31.线性回归方程一定过样本点的中心其中值是自变量每增加一个单位，因变量的变化值.32.离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi的概率为P(=xi)=pi,则称下表:x1x2x3xiPp1p2p3pi为离散型随机变量的分布列.(2)离散型随机变量的分布列具有两个性质:pi0,p1+p2+pi+=1(i=1,2,3,). (3)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即P(xk)=P(=xk)+P(=xk+1)+. 二、公式1.对数性质： 2.运算性质： 3.换底公式：4.导数公式及运算法则(1)导数公式：=0 （为常数） ； = （）；(sin x)cos x； (cos x)sin x；()ln a(a0且a1)； ()；()(a0且a1)； (ln x).(2)导数的四则运算法则u(x)v(x)=u(x)v(x);u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);=(3)复合函数的求导法则：复合函数y=f(g(x)的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为=f(u)g(x).5.同角三角函数的基本关系(1)商数关系：tan.(+k,kZ)；(2)平方关系：sin2cos21(R)6.诱导公式组序一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin -sin-sin sin cos cos 余弦cos -coscos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中，“奇、偶”是指“k(kZ)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角看作锐角时，原函数值的符号7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(+)=cos cos -sin sin ,余余正正符号异cos(-)=cos cos +sin sin . sin(+)=sin cos +cos sin ,正余余正符号同sin(-)=sin cos -cos sin tan(+)=,tan(-)= 8.二倍角的正弦、余弦和正切公式sin 2=2sin cos .cos 2=cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 .tan 2=.9.公式的常见变式(1)tan tan =tan()(1tan tan ).(2)sin2=; cos2=; sin cos =.(3)1+cos =; 1-cos =;1+sin =; 1-sin =.10.形如asin x+bcos x的式子的化简asin x+bcosx=sin(x+)(其中sin =,cos =).11.正弦定理: =2R(2R为ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.sin A=, sin B=, sin C=.abc=sin Asin Bsin C.12.余弦定理: a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=, cos B=, cos C=.13.三角形常用面积公式(1)S=aha(ha表示边a上的高);(2)S=absin C=acsin B;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).注意：圆锥曲线题求三角形面积有时会用分割法。 14.平面向量的运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1x2,y1y2); (2)若a=(x,y),则a=(x,y). |a|. (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则中点. (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .15.等差数列(1)若等差数列an的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 通项的推广:an=am+(n-m)d.(2)等差数列的前n项和公式Sn= 16.等比数列(1)设等比数列an的首项为a1,公比为q,q0,则它的通项公式an=a1qn-1. 通项公式的推广an=amqn-m.(2)等比数列的前n项和公式 ： q1，Snq1，Snna117. 复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;除法:= (c+di0).18. 表面积和体积公式柱体的体积V=Sh; 锥体的体积V=Sh;台体的体积V=(S+S)h球的表面积和体积: S球， V球.19.空间向量运算的坐标表示设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么加、减运算:ab=(x1x2,y1y2,z1z2).数量积:ab=x1x2+y1y2+z1z2.夹角公式:cos=.模长公式:|a|=.数乘运算:a=(x1,y1,z1)(R).平行的充要条件:ab x1=x2,y1=y2,z1=z2(R).垂直的充要条件:ab x1x2+y1y2+z1z2=0. 20用向量求空间中角的公式(1)直线l1，l2夹角有 cos |cosl1，l2|；(2)直线l与平面的夹角有：sin|cosl，n|(其中n是平面的法向量)； (3)平面，夹角余弦为 =|cosn1，n2|，则 l二面角的平面角为或.(其中n1，n2分别是平面，的法向量)21.求空间距离(1)两点间距离求法若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|=.(2)点面距的求法设n是平面的法向量,点A在平面内,点B在平面外,则点B到平面的距离为.(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解.22.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角范围为,注意任意直线都有倾斜角。直线的斜率：斜率与倾斜角的关系是()，注意倾斜角为90的直线没有斜率。过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=注意：两条直线平行是两条直线斜率相等的既不充分也不必要条件,即时,的斜率可能不存在，时可能重合.两条直线垂直是两直线的斜率乘积为-1的必要不充分条件，即时,可能一条斜率为0，另一条斜率不存在.23.求平面距离(1)两点距离:两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.(2)点线距离:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离d=.(3)线线距离：两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.24.有关弦长的问题(1)圆的弦长的求法法一：几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d,弦长一半l及圆的半径r所构成的直角三角形来解,即r2=d2+. 球：任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）.球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且，其中为球半径，为截面半径，为球心到截面的距离。法二：利用弦长公式|P1P2|=|x1-x2|= (2) 圆锥曲线的弦长公式斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则弦长|P1P2|=|x1-x2|=或|P1P2|=|y1-y2|=（）.当直线的斜率不存在时,求出交点直接运算. 椭圆与双曲线的通径长为；抛物线通径为2p.抛物线的焦点弦长|AB|=x1+x2+p.25.对角线垂直的四边形ABCD面积为：.26.极坐标与直角坐标的互化设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(,),则直角坐标方程化为极坐标方程的公式为极坐标方程化为直角坐标方程的公式为27频率分布直方图(1) 频率小长方形的面积组距； 频率.(2)各小长方形的面积之和等于1.28.样本数据的数字特征平均数： (x1x2xn)方差：s2 (x1)2(x2)2(xn)229.怎样利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数与方差?(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数等于每个小长方形底边中点的横坐标乘以小长方形的面积之和;(4)方差等于每个小长方形底边中点的横坐标与平均数的差的平方乘以小长方形面积之和.30.排列、组合(1)=n(n-1)(n-2)(n-m+1) =, =n!, 0!=1 (nN*,mN*,mn).(2)=.31.二项式定理(a+b)n=an+an-1b+an-rbr+abn-1+bn. (1)通项(展开式的第r+1项):Tr+1=an-rbr,其中(r=0,1,n)叫做二项式系数.(2)二项式系数最值问题：当n为偶数时，中间一项即第1项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数，相等且最大(3)求两个二项积展开式中xk项(或系数)，要用系数配对32.概率计算公式(1)古典概型：P(A)；(2)几何概型：P(A)33.离散型随机变量的期望值和方差期望E(X)x1p1x2p2xnpn.反映了X的平均值.方差D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn，标准差.反映了X的离散程度.34.互斥事件有一个发生的概率：P(AB)P(A)P(B)；对立事件的概率：P()1P(A)；相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B). 35.条件概率：在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)=. 36.超几何分布一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minM,n,且nN,MN,n,M,NN*.则称随机变量X服从超几何分布.37.二项分布在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是Pn(=k)=pkqn-k(k=0,1,2,3, q=1-p)于是得到随机变量的概率分布如下:01knPn()p0qnp1qn-1pkqn-kpnq0由于pkqn-k恰好是二项展开式(q+p)n=p0qn+p1qn-1+pkqn-k+pnq0中的各项的值,所以称这样的随机变量服从二项分布,记作B(n,p),其中n,p为参数.若B(n,p),则E()=np,D()=np(1-p). 三、中间结论1判断函数单调性的方法:区间D上的增函数区间D上的减函数定义法f()f()f()图象法自左向右函数图象上升自左向右函数图象下降导数法导数大于零导数小于零运算法增函数+增函数减函数+减函数复合函数法内外层单调性相同内外层单调性相反注意:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f(x)0,f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2.函数奇偶性的重要结论(1)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称(2)在x=0处有定义的奇函数f(x)一定有f(0)=0. (3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性3.函数图象平移变换的相关结论作出函数y=的图象y=2+,故函数图象可由y=的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图所示.4.存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)m恒成立,则f(x)maxm;若f(x)m恒成立,则f(x)minm.若f(x)m有解,则f(x)minm;若f(x)m有解,则f(x)maxm. 若则.反之，不一定成立.5.关于三次函数：.中.当时，若，则，在上递增； 若，两根为（），则在上递增，上递减，上递增. 当时，若，则，在上递减. 若，两根为（），则在上递减，上递增，上递减.三次函数是中心对称图形。6. 几组特殊值 ，正弦绝对值，余弦绝对值;，正弦绝对值，余弦绝对值.7三点共线的判定（1）A，B，C三点共线 ，共线；（2）向量，中三终点A，B，C共线 存在实数，使得，且1.特别地，=,A为BC的中点。8. 若则9. an与Sn的关系(1)Sn=.(2)若数列an的前n项和为Sn,则an= （需检验a1是否符合n2时,an的表达式,若符合则把通项公式合写,否则应分n=1与n2两段来写.）10. 裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. =; =;=.11. 一元二次不等式的解集若，是方程的两不等实根（），则的解集为的解集为的解集为 的解集为.提示:若ab0 (nN,n2).14.六个重要的不等式(1)|a|0, a20(aR);(2)a2+b22ab(a,bR);(3)(a,b0);(4)ab（）2(a,b);(5) (a,b0);(6)2(a2+b2)(a+b)2(a,bR,当a=b时等号成立).15.16.定理:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立. 结论：|a|-|b|a+b|a|+|b|.|a|-|b|a-b|a|+|b|.17.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axax|xa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思