高考函数难题

1.对a，bR，记maxa，b，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)3解：当x1时，|x1|x1，|x2|2x，因为(x1)(2x)3x1；当1x时，|x1|x1，|x2|2x，因为(x1)(2x)2x10，x12x；当xx2；故据此求得最小值为。选C2.已知是上的减函数，那么的取值范围是(A) (B) (C)(D)解：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax11 |x1x2|故选A4、关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A0 B1 C2 D3解：关于x的方程可化为(1)或(1x1)(2) 当k2时，方程(1)的解为，方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根 当k时，方程(1)有两个不同的实根，方程(2)有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根 当k0时，方程(1)的解为1，1，方程(2)的解为x0，原方程恰有5个不同的实根 当k时，方程(1)的解为，方程(2)的解为，即原方程恰有8个不同的实根选A5、设f(x)3ax，f(0)0，f(1)0，求证：()a0且21；()方程f(x)0在(0，1)内有两个实根. (I)证明：因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.(II)抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.6.设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式. 证明：由题意可知.， ， 当时，.又， ，综上可知，所给问题获证. 7. 已知二次函数，设方程的两个实数根为和. (1)如果，设函数的对称轴为，求证：；(2)如果，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解：设，则的二根为和.(1)由及，可得 ，即，即 两式相加得，所以，;(2)由， 可得 .又，所以同号. ，等价于或，即 或解之得 或.8已知f(x)32|x|，g(x)x22x，F(x)则F(x)的最值是()A最大值为3，最小值1B最大值为72，无最小值C最大值为3，无最小值D既无最大值，又无最小值解：B作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.8.已知函数f(x)(a0)在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是_解：(0,2a0.由2ax0得，x，f(x)在(，上是减函数，由条件1，0a2.9.设函数f(x)|xa|，g(x)ax.(1)当a2时，解关于x的不等式f(x)0)解：(1)|x2|2x，则或x2或x.(2)F(x)|xa|ax，0xa，F(x)(a1)xa.(a1)0，函数F(x)在(0，a上是单调减函数，当xa时，函数F(x)取得最小值为a2.10.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(1x1)是奇函数，又知y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求y=f(x)在4，9上的解析式.解：(1)证明：y=f(x)是以5为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x1)是奇函数，f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)当x1,4时，由题意，可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0，解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4). (3)y=f(x)(1x1)是奇函数f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是一次函数可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3,又f(1)=k1=kk=3当0x1时，f(x)=3x,当1x0时，f(x)=3x当4x6时，1x51f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15当6x9时，1x54f(x)=f(x5)=2(x5)225=2(x7)25f(x)=.11.设是定义在R上的函数，它的图象关于直线x=1对称，且当时，则有（ ）A BC D解:B函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可得f(x)=f(2x),所以f()=f(),f()=f(),而当x1时，f(x)=3x为增函数，恒成立，求实数的取值范围解：（1） f(-x)f(x)， ，即，a1 （2）由（1）可知f(x)（x1） 记u(x)1，由定义可证明u(x)在（1，）上为减函数， f(x)在（1，）上为增函数（3） 设g(x)则g(x)在3,4上为增函数 g(x)m对x3,4恒成立，mg(3)=16.函数是（ ）A 是奇函数又是减函数 B 是奇函数但不是减函数 C 是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数解： A 为奇函数，而为减函数 17.已知函数求函数的定义域；判断函数的奇偶性，并予以证明；求使0成立的的集合。解：由题意得：所以所求定义域为令H则H(故为奇函数，当综上：18.函数对任意都有并且当时。求证：函数是R上的增函数。解：设任取 所以函数是R上的增函数19.（1）若，则，从小到大依次为 （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 （3）设，且（，），则与的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）解：（1）由得，故 （2）令，则， ，；同理可得