第十章_时间序列计量经济模型

第十章时间序列计量经济模型 到目前为止 经典计量经济模型常用到的数据有 时间序列数据 time seriesdata 截面数据 cross sectionaldata 平行 面板数据 paneldata time seriescross sectiondata 时间序列数据是最常见 也是最常用到的数据 第一节时间序列基本概念 一 伪回归问题 常见的数据类型 传统计量经济学模型的假定条件 时间序列数据是平稳的 所谓 伪回归 是指变量间本来不存在相依关系 但回归结果却得出存在相依关系的错误结论 20世纪70年代 Grange Newbold研究发现 造成 伪回归 的根本原因在于时序序列变量的非平稳性 2 伪回归问题 二 随机过程的概念 有些随机现象 要认识它必须研究其发展变化过程 这类随机现象已不能用一维或多维随机变量来表达 例1在测量飞机的距离时存在随机误差 若以e t 表示时刻t的测量误差 则它是一个随机变量 飞机随时间t运动 测量误差也随时间t而变化 即e t 是依赖于时间t的一族随机变量 则 e t 是一随机过程 例2某国某年的GDP总量 是一随机变量 但若考查它随时间变化的情形 则 GDPt 是一随机过程 随机过程 stochasticprocess 的定义 设T是无限实数集 若对于每一t T Yt为一随机变量 则称随机变量族 Yt 为一个随机过程 若T为一连续区间 则 Yt 称为连续型随机过程 若T为一离散集合 如T 0 1 2 或T 2 1 0 1 2 则 Yt 称为离散型随机过程 离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列 简称时间序列 在实际中 有相当多的随机过程 不仅它现在的状态 而且它过去的状态 都对未来状态的发生有很强的影响 其中有这样一类随机过程 即所谓平稳随机过程 它的特点是 其统计特性不随时间的推移而变化 严格地说 如果对任意正整数n 任意t1 t2 tn T和任意实数h n维随机变量 具有相同的分布函数 则称 Yt 为平稳随机过程 与 三 时间序列的平稳性 当T是离散型时间指标集时 也称时间序列具有平稳性 stationary 直观上 一个平稳的时间序列可以看作一条围绕其均值上下波动的曲线 在实际中 确定过程的分布函数 并用它来判定其平稳性 一般很难办到 考察一下平稳过程的数字特征 1 设平稳过程 Yt 的均值函数E Yt 存在 由平稳性定义 随机变量Yt与Yt h同分布 于是E Yt E Yt h 令h t 则有E Yt E Y0 为常数 记为m 2 同理 平稳过程 Yt 的方差函数也为常数 记为s2 3 由平稳性定义 二维随机变量 Yt Ys 与 Yt h Ys h 同分布 从而Cov Yt Ys Cov Yt h Ys h 令h s 有Cov Yt Ys Cov Yt s Y0 记r t s Cov Yt Ys 于是r t s r t s 0 rt s 当随机过程 Yt 的均值 方差和协方差不随时间的推移而变化时 即满足 则称 Yt 为弱平稳过程 在以后的讨论中 平稳性通常是指弱平稳 而前面用分布函数定义的平稳称为严格平稳 显然 严格平稳一定是弱平稳的 但反之一般是不成立的 但正态过程是一个例外 与平稳过程相反的是非平稳过程 一般随机过程处于过渡阶段总是非平稳的 例如 飞机控制在高度为h的水平向上飞行 由于受到大气湍流的影响 实际飞行高度H t 应在h水平面上下随机波动 H t 看作是平稳过程 但在升降阶段由于飞行的主要条件随时间发生变化 因而H t 的主要特征也随时间而变化 这时H t 是非平稳的 所谓时间序列的非平稳性 是指时间序列的统计规律随着时间的位移而发生变化 即时间序列的数字特征随时间而变化 只要弱平稳的三个条件不完全满足 则该时间序列是非平稳的 如果采用了非平稳序列数据进行回归 可能导致所谓的 伪回归 例1 一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列 Yt et et N 0 2 该序列常被称为是一个白噪声 whitenoise 由于Xt具有相同的均值与方差 且协方差为零 由定义 一个白噪声序列是平稳的 例2 几种常用的非平稳时间序列模型 1 随机游走序列 randomwalk 该序列由如下随机过程生成 Yt Yt 1 et这里 et是一个白噪声 由于E Yt E Yt 1 E et E Yt 1 所以该序列有相同的均值 为了检验该序列是否具有相同的方差 设Yt的初值为Y0 则易知Y1 Y0 e1Y2 Y1 e2 Y0 e1 e2 Yt Y0 e1 e2 et由于Y0为常数 et是一个白噪声 因此Var Yt t 2即Yt的方差与时间t有关 它是一非平稳序列 2 带漂移项的随机游走序列 randomwalkwithdrift Yt a Yt 1 et这里 a是一非零常数 称为漂移项 如果对Yt取一阶差分 firstdifference Yt Yt Yt 1 et由于et是一个白噪声 则序列 Yt 成为平稳序列 将上式写成一阶差分形式 Yt Yt Yt 1 a etYt向上或向下漂移 取决于a的符号是正还是负 通过直接迭代 都是时间t的函数 且随时间发散到无穷大 它是非平稳时间序列 于是 3 带漂移和时间趋势的随机游走序列 Yt a bt Yt 1 et 容易证明它也是非平稳时间序列 以上三种情况 其数据生成过程都可以写成如下形式 Yt m gYt 1 et 当m 0 g 1时 为随机游走过程 当m a g 1时 为带漂移项随机游走过程 当m a bt g 1时 为带漂移项和时间趋势的随机游走过程 第二节时间序列平稳性的单位根检验 时间序列平稳性的检验方法主要有传统方法和现代方法 传统方法中主要有散点图法 自相关函数检验法 散点图法是最简单的一种平稳检验方法 通过画出时间序列的散点图 可以直观判断散点图是否围绕其平均值上下波动 如果是 则该时间序列是平稳的 否则就是非平稳的 这种方法简单直观 但精确度不高 我们把rt s Cov Yt Ys 称为时间序列 Yt 的自相关函数 自相关函数法就是看自相关函数是否为不随时间变化的常数 若是则为平稳的 否则是非平稳的 在Yt m gYt 1 et中 若m 0 则有Yt gYt 1 et 称时间序列为1阶自回归过程 记为AR 1 可以证明当 g 1时 是平稳的 其他情况是非平稳的 1阶自回归过程可写成Yt gYt 1 et或 1 gL Yt et其中 L是滞后运算符或滞后算子 即LYt Yt 1 一 单位根检验 称方程1 gz 0为时间序列 Yt 的特征方程 该方程的根为z 1 g 由于当 g 1 而如果g 1 序列的生成过程变为随机游走过程 它是非平稳的 此时z 1通常称序列含有单位根 或者说序列的生成过程为单位根过程 由此可见检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根 事实上 特征根z也可能落在单位圆内 这种过程称为强非平稳过程 这种过程即便作差分处理 仍然是非平稳的 换言之 当特征根落在单位圆内时 简单的数学变换是不能将这种序列作平稳化处理的 所幸的是 在非季节性的经济时间序列中 这种情况极为少见 在此不作讨论 含一个单位根的过程 Yt 其一阶差分 Yt Yt Yt 1 et是一个平稳序列 象这种经过一阶差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列 记为 Yt I 1 1阶自回归AR 1 可推广到k阶自回归AR k Yt 1Yt 1 2Yt 2 kYt k et可用滞后算子写为 1 1L 2L2 kLk Yt et其特征方程为1 1z 2z2 kzk 0 若时间序列 Yt 含有d个单位根 经过d阶差分后变为平稳 而d 1阶差分不平稳 则称为d阶单整序列 记为 Yt I d 特别地 若 Yt 本身是平稳的 则称它零阶单整序列 记为 Yt I d 二 Dickey Fuller检验 迪克 福勒检验 大多数的经济变量都具有强烈的趋势特征 当这种趋势一旦受到冲击时 一般会出现两种情形 一是经济变量逐渐又回到长期趋势轨迹 二是没有回到原有轨迹 而呈现出随机游走的状态 它是非平稳的 这时如采用最小二乘法可能导致伪回归 所以有必要检验时间序列的平稳性 也就是作单位根检验 假设时间序列是由下列自回归模型生成的 Yt gYt 1 et 要检验该序列是否含有单位根 其原假设为H0 g 1检验所用的统计量为 其中 et独立同分布 期望为零 方差为 2 其中为g的OLS估计量 g 1 但Dickey Fuller通过研究发现 该统计是并不服从t分布 而是服从一个非标准的 甚至是非对称的分布 从而传统的t检验失效 但其极限分布存在 一般称为Dickey Fuller分布 DF分布 根据这一分布所作的检验称为DF检验 步骤如下 1 用OLS估计一阶自回归模型Yt gYt 1 et得到g的估计量 2 提出假设H0 g 1 计算常规t统计量 3 查DF检验临界值表得临界值 检验 若t统计量值大于或等于DF检验临界值 则拒绝原假设 说明序列不存在单位根 否则 接受原假设 说明存在单位根 Dickey Fuller研究发现 DF检验的临界值同序列的数据生成过程以及模型的类型有关 因此他们针对以下三种模型编制了临界值表 后来麦金农 Mackinnon 把临界值表加以扩充 形成了目前使用广泛的临界值表 在Eviews软件中使用的就是Mackinnon临界值表 Yt a bt gYt 1 et Yt a gYt 1 et Yt gYt 1 et 三种模型为 三 AugmentedDickeg Fuller检验 DF检验有一个前提条件 在检验所设定的模型中 随机扰动项不存在自相关 但大多数经济数据序列不能满足这一假设 当随机扰动项存在自相关时 直接使用DF检验会出现偏误 为了保证单位根的检验有效性 人们对DF检验进行拓展 从而形成了扩展的DF检验 简称为ADF检验 考虑模型 Yt gYt 1 et 1 设et存在自相关 且具有p阶自回归形式 et a1et 1 a2et 2 aket p ut 其中 ut独立同分布 期望为零 方差为 2 且满足古典假定 由模型 1 得 Yt 1 gYt 2 et 1 Yt P gYt p 1 et p从而 Yt a1Yt 1 a2Yt 2 akYt p 即 Yt gYt 1 a1 Yt 1 gYt 2 a2 Yt 2 gYt 3 aP Yt p gYt p 1 ut et a1et 1 a2et 3 aPet p gYt 1 a1gYt 2 a2gYt 3 aPgYt p 1 所以为了使单位根检验有更广的实用性 还应考虑在放宽条件下的单位根检验的统计量的分布 将DF检验右边扩展为包含Yt滞后变化量的项 滞后阶数p如何取才算适宜 要考虑两个方面的因素 一是有效校正自相关 二是自由度的损失 一般地p 1 2 3或由实验来确定 为了借用DF检验的方法 将模型变为如下式 模型I 模型 模型 可以证明 上述模型中检验原假设的t统计量的极限分布 与DF检验的极限分布相同 从而可以使用相同的临界值表 该检验称为ADF检验 协整概念是恩格尔 Engle 和葛兰杰 Granger 于20世纪80年代末提出来的 他们共同获得2003年诺贝尔经济学奖 协整的基本思想认为 尽管两个或两个以上变量中的每一个变量都是非平稳的 但是它们的线性组合可能是平稳的 这样就使得我们能够在诸如收入与消费 工资与价格 政府支出与税收等非平稳的时间序列中找出它们之间存在的长期均衡关系 这一理论在国际上得到日益广泛的应用 目前 在利用时间序列资料建立模型时 对协整关系的检验已经成为必不可少一步 第三节协整 一 协整的概念 通俗地说 协整意味着变量之间存在长期的均衡关系 例如从长期来看 消费与收入之间存在一个均衡比例关系 虽然它们常常偏离这个比例 但这种偏离只是随机的 暂时的 则消费与收入的这种关系就是协整关系 不难知道 消费Xt I 1 收入Yt I 1 则协整关系的实质是它们的线性组合a1Xt a2Yt I 0 一般地 只要若干个服从I d 的序列的线性组合能使单整阶数d减少 则称这些序列是协整的 定义设有k个序列 Y1t Y2t Ykt 用Yt Y1t Y2t Ykt 表示这k个序列构成的k维向量序列 如果 1 每个序列 Yit i 1 2 k都是d阶单整序列 即Yit I d 2 存在非零向量a a1 a2 ak 使得a Yt a1Y1t a2Y2t akYkt I d b 其中0 b d 则称 Y1t Y2t Ykt 是 d b 阶协整的 记为Yt CI d b 而向量a称为协整向量 特别地 若d b 1 则有Yit I 1 都是非平稳的一阶单整序列 而Yt CI d b 表明它们的某种线性组合a Yt I 0 即它们的线性组合是平稳的 这种 1 1 阶协整关系在经济计量分析中较为常见 协整的重要意义所在 1 如果多个非平稳变量具有协整性 则这些变量可以合成一个平稳序列 这个平稳序列正好说明了原变量之间的均衡关系 2 如果一组非平稳时间序列不存在协整关系 则构造的回归就是伪回归 所以协整性检验是区别真伪回归的有效方法 3 具有协整关系的非平稳变量可以用来建立误差修正模型 二 协整检验 协整检验方法 基于回归残差的协整概念 单一方程检验 基于回归系数的完全信息协整检验 两变量 多变量 这里仅介绍单一方程情形中的两变量协整关系的EG两步法检验 恩格尔 格兰杰 它简便常用 EG两步法步骤如下 1 若Xt和Yt是一阶单整的 用OLS法对回归方程 也称协整回归方程 Yt a bXt ut进行估计 得到残差序列 2 检验et的平稳性 若et是平稳的 则Xt与Yt是协整的 反之 则不是协整的 用协整回归所得的残差构造DW统计量 检验et的平稳性 可用两种方法 1 用DF检验或ADF检验 注意其使用的临界值应该用Engle Granger编制的专用临界值表 2 用DW检验 步骤是 若et的是随机游走 则et et 1的数学期望为0 故DW值也应接近于0 因此 只需检验H0 DW 0是否成立 若H0为真 则et非平稳 检验DW 0的临界值 Sargan和Bhargava 1983年 最早编制了用于检验协整的DW临界值表 例如下表是样本容量为100时的临界值 三 误差修正模型 若变量间存在协整关系时 即表明这些变量间存在着长期稳定的关系 在经济学中 称为均衡关系 但并不表明它们在短期内不偏离这种均衡关系 但它们如何在长期过程中不会偏离太远 而保持这种稳定关系的呢 显然这种稳定关系只有在短期动态过程中不断调整才能得以维持 这说明这些变量之间内部有一种调节机制 误差修正机制在起作用 以防止长期均衡关系出现较长偏差 误差修正模型 ErrorCorrectionModel ECM 正是用来揭示长期均衡关系中的短期波动的规律 它是协整关系模型的一个补充 由于我们所讨论的经济时间序列大都是I 1 即一阶差分是平稳的 当这些时间序列具有协整关系时 可将误差修正模型设为 Yt a b Xt get 1 et这里et 1为协整回归模型长期均衡关系模型中的残差的滞后一期值 表示上一期的偏离 在本期得到修正 具协整关系变量的计量经济模型一般采用两步 分别建立区分数据长期特征和短期待征的计量经济学模型 第一步建立长期关系模型 即通过水平变量和OLS法估计出时间序列变量间的关系 若估计结果形成平稳的残差序列时 那么这些变量间就存在相互协整的关系 长期关系模型的变量选择是合理的 回归系数具有经济意义 第二步建立误差修正模型 将长期关系模型各个变量以一阶差分形式重新构造 并将第一步中的残差引入 在一个从一般到特殊的检验过程中 对短期动态关系进行逐项检验 剔除不显著项 直到得到最适当的模型形式 例1利用表一资料 检验GDP序列是否平稳 表一1978 2003年中国GDP资料 单位 亿元 一 Dickey Fuller检验 或双击GDP序列 在其左上角点击 View UnitRootTest 1 点击 Quick SeriesStatistics UnitRootTest 出现对话框填入GDP序列名 2 出现菜单界面进行选择 3 点击 OK 4 检验 接受H0 二 AugmentedDickey Fuller检验 1 点击 Quick SeriesStatistics UnitRootTest 出现对话框填入GDP序列名 或双击GDP序列 在其左上角点击 View UnitRootTest 2 出现菜单界面进行选择 3 点击 OK 4 检验 接受H0 例2为了深入分析研究中国城镇居民的生活费支出与可支配收入的具体数量关系 收集了中国城镇居民月人均可支配收入 SR 和生活费支出 ZC 1992 1998年各月度数据序列 P278 由于所用数据为时间序列数据 需要检验其平稳性及它们之间是否存在协整关系 一 用AugmentedDickey Fuller检验平稳性 1 点击 Quick SeriesStatistics UnitRootTest 出现对话框分别填入SR ZC序列名 或分别双击SR ZC序列 在其左上角点击 View UnitRootTest 2 出现菜单界面进行选择 3 点击 OK 分别得到检验结果 说明SR和ZC都存在单位根 是非平稳序列 4 为了判断序列SR和ZC的单整阶数 再对其差分作单位根检验 在菜单界面进行如下选择 5 点击 OK 分别得到检验结果 结果表明SR和ZC的差分序列不存在单位根 是平稳序列 所以SR和ZC都是一阶单整的 二 用EG两步法检验协整性 1 在命令窗口键入 LSZCCSR 生成残差序列 GENRE RESID 因为n 84 k 1 取显著性水平a 0 05时 查表得dL 1 624 dU 1 671 而0 1 609062 DW dL 所以 对残差作自相关DW检验 存在 正 自相关 用广义差分法对自相关作修正 LSZCCSRAR 1 下图表明 估计过程经过5次迭代后收敛 调整后的模型DW 1 975558 n 83 k 1 取显著性水平a 0 05 查表得dL 1 624 dU 1 671 而dU 1 975558 DW 4 dU 已不存在自相关性 说明残差序列存在一阶自相关 即et ret 1 et 2