高考数学合情推理与演绎推理

推理与证明第一节 合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明2、类比推理由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。3、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式，包括 大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。；.解析：猜想：证明：左边=右边注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”（1）先猜后证是一种常见题型（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）题型二 用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.解析：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；圆锥曲线间的类比等（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；面积对应体积； 点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等题型三 利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 （填入中的某个字母）解析：因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多注：从分式的性质中寻找S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到1.下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 答案： C2. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）A使用了归纳推理 B使用了类比推理C使用了“三段论”，但大前提错误D使用了“三段论”，但小前提错误答案：C填空题3.已知 ，考察下列式子：；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为答案：4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为解析 （见高三复习 步步高）解法的类比（特殊化）易得两个正方体重叠部分的体积为5.已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 解析 6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为，圆心在的圆的一般方程为；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为_,球心在的球的一般方程为_.答案；7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；（2） 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为_答案：（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；（2）； 8. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为 答案：解答题9.（1）已知等差数列，（），求证：仍为等差数列；（2）已知等比数列，（），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明 解析（1），为等差数列为常数，所以仍为等差数列；（2）类比命题：若为等比数列，（），则为等比数列证明：，为常数，为等比数列10将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。（1）若定义在(0，)上的函数M，试比较与大小.（2）设函数g(x)x2，求证：g(x)M. 解析：(1)对于，令得0，k(x)为单调递增函数；当x（0，