离散习题代数系统部分答案1

离散数学代数系统1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P(B)关于对称差运算，其中P(B)为幂集. 构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元；无零元；逆元为自身。2) A=a,b,c，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A=a,b，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A=1,2,B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素. 2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B=IA，EA2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元. 幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？ V是为半群、独异点，不是群4. 设A=a,b,c，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表. 其中表中？位置可以是a、b、c。2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*（b*b）=c （a*b）*b=b5. 设是一个代数系统。*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+ab(和+为数集上的乘法和加法). 证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的. 证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b. (a*b)*(a*b)= a*(b*a)*b 结合律= a*( a*b)*b 交换律= (a* a)*(b*b)= a*b.7. 设是一个群,则a,b,cS。 试证明： 群G中具有消去律,即成立: 如果ab=ac ,ba=ca 那么b=c. （见课件）8. 设是群，aG . 现定义一种新的二元运算：xy=x*a*y，x,yG . 证明：也是群 . 证明：显然是G上的一个二元运算。 x,y,zG，(xy)z=(xy)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)= x*a*(yz)= x(yz).故运算满足结合律. xG，xa-1=x*a*a-1=x*e=x，a-1x=a-1*a*x=e*x=x，故a-1是幺元. xG，x(a-1*x-1* a-1)=x*a*(a-1*x-1* a-1)= x*e*(x-1* a-1)= a-1. (a-1*x-1* a-1)x= (a-1*x-1* a-1)*a*x=(a-1*x-1)*e*x = a-1. 故a-1*x-1* a-1是x关于的逆元. 综上所述是群.9. 试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集. 的运算表如下所示： 的子群：、和.10. 设A=1,2,5,10,11,22,55,110.1) A关于整除关系是否构成偏序集？构成偏序集2) 如果构成偏序集合，画