定点、定值与存在性问题(教师).doc

例1(1)已知椭圆x23y25，直线l：yk(x1)与椭圆相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；在x轴上是否存在点M(m,0)，使的值与k无关？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【解析】依题意，直线AB的斜率存在，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理得(3k21)x26k2x3k250.设则由线段AB中点的横坐标是，得，解得k，适合.所以直线AB的方程为xy10，或xy10.假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数由知x1x2，x1x2.所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.将代入，整理得：m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.综上，在x轴上存在定点M，使为常数(2)已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A、B两点，且OAOB.(其中O为坐标原点)求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标【解析】由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得a2b21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.OAOB(其中O为坐标原点)，x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10.10.整理得a2b22a2b20.由a2b22a2b20，得1，则不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的定点.思考题1(1)(2012福建)如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.求椭圆E的方程；设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由【解析】因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1.所以b.故椭圆E的方程是1.由消去y，得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.此时x0，y0kx0m，所以P(，)由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足(*)式的m，k恒成立因为(x1，)，(4x1,4km)由0，得4x1x30.整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(2)(2013山西四校联考)已知F1、F2是椭圆1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点求P点坐标；求证直线AB的斜率为定值；求PAB面积的最大值【解析】由题意，F1(0，)，F2(0，)，设P(x0，y0)(x00，y00)，则(x0，y0)，(x0，y0)x(2y)1.P(x0，y0)在椭圆1上，1，x，从而(2y)1，得y0，易知x01.点P的坐标为(1，)由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在设直线BP的斜率为k(k0)，则直线BP的方程为yk(x1)由消去y，得(2k2)x22k(k)x(k)240.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则1xB，xB1.同理可得xA.xAxB，yAyBk(xA1)k(xB1).kAB为定值由可设直线AB的方程为yxm.联立方程，得消去y得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0，得2mb0)，把点(2,0)、(，)代入得解得所以C1的标准方程为y21.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意当直线l的斜率存在时，设其方程为yk(x1)，与C1的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)由消去y并整理得(14k2)x28k2x4(k21)0.于是x1x2，x1x2.y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，即y1y2k21.由，即0，得x1x2y1y20.(*)将代入(*)式，得0，解得k2.所以存在直线l满足条件，且l的方程为2xy20或2xy20.思考题21在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解析(1)由已知条件，直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得(k2)x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24(k2)4k220，解得k.即k的取值范围为(，)(，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)由方程得，x1x2.又y1y2k(x1x2)2，而A(，0)，B(0,1)，(，1)所以与共线等价于x1x2(y1y2)将代入上式，解得k.由(1)知k，故没有符合题意的常数k.课后练习1如图，已知椭圆1(ab0)长轴长为4，离心率为.过点(0，2)的直线l交椭圆于A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点(1)求椭圆方程；(2)探究：|OP|OQ|是否为常数？解析(1)由题意得解得a2，b，c1，所以椭圆方程为1.(2)直线l方程为ykx2，则P的坐标为(，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，y1)，直线BC方程为，令y0，得Q的横坐标为x.又得(34k2)x216kx40.得代入得x2k，得|OP|OQ|xPxQ|2k4.|OP|OQ|为常数4.2已知点B(1,0)，C(1,0)，P是平面上一动点，且满足|.(1)求点P的轨迹C对应的方程；(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论解析(1)设P(x，y)代入|得1x，化简得y24x.(2)将A(m,2)代入y24x，得m1.点A的坐标为(1,2)设直线DE的方程为xmyt代入y24x，得y24my4t0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1y24m，y1y24t，(4m)216t0.(*)(x11)(x21)(y12)(y22)x1x2(x1x2)1y1y22(y1y2)4()y1y22(y1y2)5y1y22(y1y2)5(4t)2(4m)50.化简t26t54m28m，即t26t94m28m4，即(t3)24(m1)2，t32(m1)t2m5或t2m1，代入(*)式检验均满足0.直线DE的方程为xm(y2)5或xm(y2)1.直线DE过定点(5，2)(定点(1,2)不满足题意)3如图，已知椭圆1的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(1)一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1k21；(3)是否存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解析(1)由题意知，椭圆离心率为，得ac，又2a2c4(1)，所以可解得a2，c2，所以b2a2c24，所以椭圆的标准方程为1，所以椭圆的焦点坐标为(2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为1.(2)设点P(x0，y0)，则k1，k2，所以k1k2，又点P(x0，y0)在双曲线上，所以有1，即yx4，所以k1k21.(3)假设存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立，则由(2)知k1k21，所以设直线AB的方程为yk(x2)，则直线CD的方程为y(x2)由方程组消去y得(2k21)x28k2x8k280，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由韦达定理得x1x2，x1x2.所以|AB|.同理可得|CD|.又因为|AB|CD|AB|CD|，所以有.所以存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|恒成立4已知椭圆C：1(ab0)经过点P(1，)，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，且F1F2M为等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：mxnyn0(m，nR)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解析(1)F1F2M为等腰直角三角形，cb，ab，椭圆C的方程为1.又椭圆C经过点P(1，)，代入可得b1.a，故所求的椭圆方程为y21.(2)显然直线l过点(0，)当l与x轴平行时，易知直线l的方程为y，代入椭圆C的方程得x.以AB为直径的圆的方程为x2(y)2()2；当l与x轴垂直时，易知A，B是椭圆的短轴的两端点，以AB为直径的圆的方程为x2y21.由解得即两圆相切于点(0,1)因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1)事实上，点T(0,1)就是所求的点证明如下：当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T(0,1)，当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为ykx，由消去y，得(18k29)x212kx160.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0.TATB，即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件5(2012湖南理)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x5)2y29外，且对C1上任意一点M，M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值解析(1)方法一设M的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆C2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线C1的方程为y220x.方法二由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)当点P在直线x4上运动时，P的坐标为(4，y0)，又y03，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线