高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题11解三角形的技巧与解题规律（2）文.docx

专题11解三角形的技巧与解题规律(2)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7三角形的综合二【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四【题型方法】（一）四边形中的三角形例1. 如图，在四边形中，已知，（）求的值；（）若，且，求的长【答案】（）（）【解析】（）在中，由正弦定理，得因为， 所以 （）由（）可知，因为，所以在中，由余弦定理，得因为所以，即，解得或又，则练习1. 在平面四边形中，内角B与D互补.，.（）求；（）求四边形的面积。【答案】（） （）【解析】（）， 即即，故（）由（）可知， ，四边形的面积（二）三角形与数列的综合例2.已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边.角A，B，C成等差数列，成等比数列.（）求的值；（）若，求的周长.【答案】（） （）的周长为。【解析】（）角A，B，C成等差数列，即 成等比数列.（）由（）可知，即由余弦定理可得： 化简得，即因此的周长为。练习1已知中，角的对边分别为（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依次成等差数列，且公差为 ，由余弦定理得：整理得：，解得：或又，则（2）设，外接圆的半径为，则，解得：由正弦定理可得： 可得：，的周长又 当，即：时，取得最大值（三）角的范围问题陷阱例3. 的内角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围【答案】(1) ;(2).【解析】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得。，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又应用正弦定理，由三角形面积公式有：.又因,故，故.故的取值范围是练习1. 已知中，分别为角的边，且，且（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）因此（2）,因为因此练习2.在中，角所对的边分别是，且（1）求证: 为直角三角形；（2），求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】（1）因为，所以，即，因为角为三角形内角，所以角，故，即角，为直角，所以为直角三角形；（2）因为，所以，令，由（1）可知，所以，所以，因此在上单调递减；在上单调递增；故，又，所以.故的取值范围.（四）边的范围陷阱例4. 已知的内角，的对边分别为，.（1）求内角的大小；（2）求的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】（1），即，由余弦定理得，由正弦定理得，即，即，变形得，解得， （2），由余弦定理得，化简得， ，当且仅当时等号成立，的最大值为.练习1. 已知的内角、的对边分别为、，满足且（1）求角；（2）求周长L的最大值【答案】（1）（2）9【解析】：（1），由正弦定理得，即，又，所以，又，得（2）在中，由余弦定理得，所以，即，所以，当时，的周长L最大值为9练习2. 在中，、分别是角、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由题意知，由余弦定理可知，又，.（2）由正弦定理可知，即，又为锐角三角形，即，则，所以，综上的取值范围为.练习3.在锐角中，内角、的对边分别为，中线，满足.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）由余弦定理可得：， 即：由已知得：即 又为锐角三角形 （2）由正弦定理得：，则的周长为：为锐角三角形且 即的周长练习4. 已知的内角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意及正弦定理得， 所以， 因为，所以，所以，故 （2）由正弦定理得，所以，所以 ， 由得， 所以，故， 所以的取值范围为（五）实际问题中解三角形例5. 如图，A，B两点相距2千米，甲从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻乙出发，经过小时与甲相遇（1）若v = 12千米/小时，乙从B处出发匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）能与甲相遇，试求乙速度的最小值；（2）若乙先从A处沿射线AB方向以千米/小时匀速行进 ()小时后，再以8千米/小时的速度追赶甲，试求甲在能与乙相遇的条件下v的最大值【答案】(1)6.（2）。【解析】（1）设乙速度为x千米/小时，由题意可知，整理得.由于，所以所以，当即t时，x2取得最小值36，即x最小值为6. 答：乙速度的最小值为6千米/小时.（2）由题意知8(tm)2(16m)2(vt)2216m vt cos30，两边同除以t2得：设,则有192k2(12816v)kv2640，其中k(0，1)，即关于k的方程在(0，1)上有解，则必有，解得,当时，可得，因此v为最大值为.答：甲的最大速度为千米/小时.练习1. 国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？【答案】（1）（2）【解析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，在中，由正弦定理得，所以，在中，当，即时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.（2）当时，要使不被警告，则，即，解得，所以， 即，又因为，所以.当时可以避免使外轮进入被警告区域.（六）三角形与向量数列的综合问题例6. 设的三内角、的对边长分别为、，已知、成等比数列，且.（I）求角的大小；（）设向量，当取最小值时，判断的形状.【答案】（I）；（）为锐角三角形.【解析】（I）因为、成等比数列，则.由正弦定理得.又，所以因为，则.因为，所以或.又，则，当且仅当a=c等号成立，即故.（）因为，所以.所以当时，取得最小值.此时，于是.又，从而为锐角三角形.练习1. 已知，设（1）求的最小正周期；（2）在ABC中，已知A为锐角，BC=4，AB=3，求的值.【答案】（1） （2）【解析】（1） 所以 ，的最小正周期为 （2）因为，所以，由正弦定理得： ， = 练习2. 已知在中，角，成等差数列，且（1）求角，的大小；（2）设数列满足，前项和为，若，求的值【答案】(1)； (2) 或【解析】（1）由已知角，成等差数列，可得，又，所以，又由，所以，所以，所