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探讨提高高速公路路面质量的改进方案 摘 要：本文以提高高速公路路面质量为基本出发点，基于大量数据样本，挖掘内部数据关系，就影响高速公路的各类因素与描述各项高速公路指标之间的关系进行了相关讨论。问题一中，采用相关系数法挖掘两两质量指标间的关系，得出某些指标间线性关系较为明显的结论。并对大量数据进行合理分组后对其进行线性回归；在进行多元关系的挖掘时，通过建立四项指标间非线性方程，采用变量代换和最小二乘法，确定出方程的参数值并进行相关假设检验证明了结果的合理性。进行问题二的分析时分别从横向和纵向对表格样本数据进行归一化处理，在比较单因素回归和逐步回归两者的优缺点后，采用具有”先入先出”特点的逐步回归，通过建立非线性方程，综合确定出各因素变化对质量的影响力。进而建立最优化模型，得到最优方案。问题三中将集料颗粒在路面的覆盖问题抽象为半径不同的球体在立方体内的填充问题。并根据开普勒猜想的排列方案，对筛孔通过率对路面压实度的影响进行了分析。最后根据量化分析结果，确定理论上路面压实度数学意义上的取值区间。在分析问题四时，首先对各个质量指标进行Fuzzy聚类，然后将不同类型的沥青和岩石分别映射到各指标各档次概率作为隶属度，分别判断出两者的分类情况对质量指标的影响力程度。关键字： 相关系数 逐步回归 隶属矩阵 Fuzzy聚类 开普勒猜想 1问题重述1.1背景分析高速公路路面的建设工艺比较简单：以分别达到各自标准的沥青、矿粉、碎石（含细集料和粗集料，标准见附件）做原料，按一定的比例组成为混合料，经过充分拌和后，比较均匀地铺在已经造好的基层上、再经多次碾压路面以达到设计的压实度，最后经过一段时间让沥青路面降温就可以交付使用。在选料、拌和、摊铺、碾压成型这几道工序中，拌和、摊铺和降温是物理过程，只要按现有的工艺技术要求进行操作，它们对高速公路路面的质量影响不大；施工时外界的温度对沥青的融化和压实是有影响的，但专家们认为只要达到设计的压实度，它对高速公路路面的质量影响也不大。此外由于技术上的困难，这里也不考虑基层质量对路面质量的影响。1.2问题提出对表中样本数据进行充分地分析、研究，以获取尽可能多的提高高速公路路面质量的有用信息。(1)描述高速公路路面质量的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个指标之间有没有数量关系？如果有数量关系，请建立它们之间的数学模型。(2)建立描述高速公路路面的抗水损害性能、高温性能、低温性能的四个质量指标和你们认为影响高速公路路面质量的最重要的和比较重要的因素之间比较精确的数学模型，你们选择这些因素的理由是什么？根据模型你们认为采用什么样的方案可以提高高速公路路面的质量。(3)若从理论上探讨集料的筛孔通过率（即级配组成，指混合料中粗细不同集料的构成比例）与路面压实度的上界（数学意义下的上界）之间的数量关系，你们有何见解？ (4)沥青（在样本数据表格中混合料类型中含25是普通沥青，是其他数字如13、16或20的是改性沥青）、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能究竟有没有影响，你们的观点是什么？根据是什么？不同厂家、不同产地的但型号相同、类型相同的沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能究竟有没有影响，你们的观点是什么？根据又是什么？ (5)根据你们对样本数据分析的结果，现在测试高速公路路面质量的试验项目中是否有重要的遗漏？你们对高速公路建设部门有什么建议？2问题分析本文第一问要求我们所做的工作是找出四项影响公路质量的指标之间的关系。首先，针对表中不合理的样本数据以及缺失的样本数据进行剔除。在各类关系中，显著性不尽相同，为了对关系的明显程度进行研究，考虑采用相关系数法，通过提出针对变量之间是否有线性关系的相关系数，研究的对象是两两因素之间的关系。采用该法可以得出四项指标两两之间的相关程度，若相关系数较大些，考虑两者之间的线性关系就明显些。在进行回归之前，考虑到样本数据量大且杂，对样本数据采取分组取平均的方法，将样本数据量减少到20个左右再进行回归即可得出相应函数表达式；得到了两两之间的关系后，也就得出质量指标之间是有数量关系的这一结论。若要进行四元回归分析，显然不可单纯将四者的关系归为线性，通过实验总结得到采用非线性拟合的效果好些的结论，结合非线性回归的方法，通过转换为线性回归的方法求解相应的系数，在这种方法下，就可以得出四者之间的数量关系。 第二问使研究更深一步，它要求对影响质量指标的各种分配比因素进行讨论，找出影响公路质量的主次要因素，首先要通过样本数据归一法将四项指标量纲统一化后，对不同的指标加权（权重可按相同处理）对公路质量进行综合评价，从而给出评价公路质量的确定的表达式；其次，考虑到本文所给的因素有10个，其中的筛孔通过率比较特殊，应当将其转化为粗细程度的衡量值即平均直径（可通过求解直径的期望值得出）；最后，在进行某项指标以及整体质量同单个元素之间的关系分析时，考虑采用逐步回归的方法，并分别对线性方程和非线性方程的情况进行对比讨论。问题三中，可将集料的筛孔通过率理解为混合料中粗细不同集料的构成比例，体现在集料颗粒粒径在不同尺寸的分布。并将数学意义下的路面压实度理解为集料颗粒对待铺路面的填充体积的比例最大值。此后将问题抽象化处理为球体对立方体的填充问题。针对不同半径的颗粒粒径，计算数学意义下的路面压实度上界。在进行第四问的分析时，采用模糊分类的方法将三项指标分为强，中，弱三类，分别确定各个指标的各个档次的取值区间，对两类沥青和两类岩石(玄武岩和石灰岩)分别统计确定出隶属矩阵，继而得出沥青和岩石的分类是否对各项质量指标有影响的相关结论，采用相同的方法分别统计型号、类型相同的沥青、碎石映射到各个指标各个档次的隶属度，同样可得到结论。3 基本假设为了分析问题方便，对其做以下两点假设：1集料中的小颗粒可视为球体；且在压辗的过程中不会发生形变。2公路的质量可通过抗水性，抗高温性，抗低温性三项指标决定。4 符号说明变量含义标注相关系数确定关系时作为各个指标的代表变量作为未知量存在确定关系时作为各个影响因素的代表变量路面质量的代表值0缺失第i项指标的第j个数值1未缺失第i项指标的第j个数值，依次代表四项指标即TSR,S0,车辙和弯拉应变代表6类组合情况；表示所给的样本数据组值；代表各个分组第项质量指标中的非缺失元素数目第类分组下对应的每组的样本数据数量第类分组下的分组组数第项质量指标对应的表中样本数据对进行分组和重排后重新确立的数组分组并取平均后的数值(两两一组)第项指标的第个元素值纵向归一化后的数值第项指标的第个元素值横向归一化后的数值四项指标对质量的影响权重5各质量指标数量关系模型(问题一)5.1二元关系确立5.1.1相关系数将表中所给的四类指标分别用变量表示，由归一化后的值表示第个指标的第个观察值，将第项质量指标同第项质量指标的相关系数记为，以的相关系数为例即定义为 其中， 5.1.2变量间相关性分析将不合理样本数据剔除和缺失元素补零等样本数据处理工作进行完成后，进行样本数据的相关性分析，引入变量表示第项指标的第项观察值的缺失与否：将第项指标中的非缺失元素数记为，则有：继而得到各项指标的样本平均值和方差：根据，为的无偏估计量，总体与样本分布期望和方差满足如下关系：5.1.3相关系数表首先将四项指标按照TSR，S0，车辙，弯拉应变的顺序依次记为A,B,C,D。下文将沿用这一记法，不再赘述。通过统计软件对进行统计求解，得到相关结果后，将其代入公式(1)中，辅助以公式(2)，可求解得到的相关系数=0.3082，通过同样的方法，不难得出所有的相关系数值，列表如下： 四项指标的相关系数相关系数ABCDA1B0.30821C0.15120.32831D0.10920.21120.29831Remarks：1.由于相关系数的对称性，相关系数所组成的矩阵关于对角线对称，因此只列出坐下半角的相关样本数据如表中所示。2.由于样本数据均为正，因此各个指标之间都不会呈负相关的情况。5.1.4数据分析进行相关系数检验，可查相关系数显著性临界值表（见附录）。由自由度及显著水平查表得临界值，比较与，判断与是否相关。此例的自由度为290-2=288，由于表中所给的样本数据仅限于100以内的样本数据，因此考虑到有缺失的样本数据并且没有相关样本数据参考资料，将自由度标定为100进行相关分析。当时，（查表）；当时，（查表）。当时，表明两者之间极显著相关，影响作用极强；当时，表明比较的两者直线关系不密切，两者相互之间的影响较小；当时，表明相比较的两者有关系但不显著。线性相关数据偏小，可见表中所给的数据较为离散的同时规律性不强，但由于数据量较大，带来的自由度较大，因此所给定的判断相关性显著与否的边界值就宽容很多。 结论：1.线性关系：可认为A与B,B与C,C与D的相关性偏强，两两之间的样本数据线性依赖性稍大，A与C，B与D相关性中等，数据线性依赖性一般，A与D的相关性最小，数据几乎没有线性依赖性。2.显著相关方面：与线性关系的相关性强弱呈正比。相关性列表组合A与BB与CC与DA与CB与DA与D线性相关性较强较强较强一般一般较弱显著性较好较好较好一般一般较差5.1.5回归分析u 样本数据分组基于以上定性分析的求解结论，两两指标之间的关系不一致，则对应的两两之间的数量关系的表达形式差别较大，考虑对两两指标之间的关系进行回归分析，但由于回归的样本数据量较大，且分散性较强，对样本数据进行分组处理（剔除样本数据不完整的组数），以几个样本数据为一组。分别按照AB,AC,AD,BC,BD,CD的顺序设定可用的样本数据组数量为。以为例，对290组样本数据进行时，分析如下：在当比较后值为，则在进行第组的样本数据确定时，满足以下准则：从开始通过以上递推方法对6种情况下的值进行求解，直到为止，据此得出的6种情况下的值列表如下：可用数值量表（单位/个）关联类型ABACADBCBDCD值(可取值数)220216171225160171在对各两项指标之间的关系进行确立时，为了不使样本数据有所冗余，则尽量使得每组中的样本数据量与值满足整数比例的关系：将以上的比例值记为：将的区间定为： 分组表（单位/个）关联类型ABACADBCBDCD值(每组数值量)111291589值（分组数）201919152019u 确定归一数组首先，规定数组，该数组具有以下特点：1.行数和列数比较并未发生变化，仍然为行列矩阵，且所包含的样本数据也并未丢失。2.样本数据元素的排列发生变化，它是将的各列非零元素向前排列，即满足：当时，当时，以表示表中第项质量指标在第种混合料下对应的原始样本数据值，样本数据缺失补零。其中，依次表示TSR，S0，车辙，弯拉应变。以最大分组数20作为行数，以关联数即6作为列数，确立20行6列的矩阵，有：l AB关系组的各组值第一组数第二组数依次类推，第组数时的数值为：l AC关系组的各组值第一组数第二组数依次类推，第组数时的数值为：l 可依次类推出各组数数值的一般表达式为：AD组：对应BC,BD,CD组的表达式类似，唯一不同的是变换的左下标发生变化，一般通式为：Remarks： AB：=1, =2； AC：=1, =3；AD：=1，=4BC：=2, =3； BD：=2, =4；CD：=3, =4u 回归分析以为横坐标，以为纵坐标描出相应的点，利用数学软件Matlab对6组样本数据进行线性回归分析，得到两两质量指标之间的关系。1明显关系AB,AC,AD描出AB,AC,AD间的点后，发现线性关系较强，考虑利用最小二乘准则进行线性回归，作图如下：TSR与S0，S0与车辙，车辙与弯拉应变质量指标之间的关系AB：TSR与S0之间的关系BC：S0与车辙之间的关系CD：车辙与弯拉应变之间的关系结论：1在相关性系数求解过程中，得到 A 与B,B与C,C与D的相关性偏强， 两两之间的样本数据线性依赖性稍大，线性性稍强的结论，通过描点画图证实了这一点。2三个图中，BC之间的线性性最强，与相关系数值最大相一致；判断AB,BC,CD之间的线性关系满足表达式关系式如下：根据最小二乘准则利用Matlab工具箱中的polyfit(x,y,1)进行线性拟合，得到的线性表达式如下：AB间： BC间： CD间： 利用Matlab工具箱中的Regress命令进行假设检验：相关系数及分位数表ABBCCD相关系数0.89110.76080.7559分位数值98.224551.703040.2595分位值对应概率0002不明显关系AC,AD,BD用同样的方法描出AC,AD,BD的关系点，作图如下：TSR与弯拉应变，TSR与车辙，弯拉应变与S0质量指标之间的关系AD：TSR与弯拉应变AC:TSR与车辙BD：弯拉应变与S0结论：1AD,AC,BD的关系并不明显，没有 确定的关系，同以上得到的线性相关系数较小即得出数量关系较小的结论相一致。2我们定性认为TSR与弯拉应变，TSR与车辙，弯拉应变与S0质量指标之间的关系并不十分明显，可近似认为三者两两之间没有数量关系.利用Matlab工具箱中的Regress命令进行假设检验：相关系数及分位数表ACADBD相关系数0.15950.09770.2395分位数值3.22531.83985.6685分位值对应概率0.09030.19270.0285结论：从表中数量上看，AC,AD,BD大于分位值的概率大于显著性水平值，认为两两无关的结论进一步得到验证。5.2多元关系确立以上通过求解得出所给的四项指标是有某种样本数据相关性的结论并对二项指标之间的关系进行了详细分析，但四者之间的关系仍难以确定。在此，考虑用非线性回归法进行相关分析。5.2.1非线性方程的引入分别用表示四项指标的数值，就四者进行多元线性回归分析时，即进行回归分析时，所得的结果不尽如人意，误差较大。在此，我们选择寻找另一种确定规则即将某个变量看作是另外三个变量的非线性组合，四者之间关系初步即：移项后有：u A与B,C,D的关系：u B与A,C,D的关系u C与A,B,D的关系u D与A,B,C的关系注 :A,B,C,D分别指代TSR，S0，车辙，弯拉应变四项指标。5.2.2回归模型的建立对以上的系数进行求解时，考虑为了确定其中的未知参数，往往可以通过变量代换，把非线性化回归化为线性回归，然后利用线性回归的方法确定参数值。以A与B,C,D的关系为例，上述的曲线方程通过变换公式： 得到线性方程：5.2.3回归方程的求解用最小二乘法拟定一个使得已知点到该函数曲线的距离的平方和最小的函数，也就是要求寻找一个函数使其在某种准则下与所有的样本数据点最为接近。利用最小二乘法进行四个函数的多元线性回归分析，使用Matlab统计工具箱的命令regress实现，得到四个关系如下： 5.2.4假设检验利用假设检验工具得到以下样本数据：各系数的置信区间表第一个系数第二个系数第三个系数第四个系数A47.502,66.4480-108.406,-38.2888-10.538,227.02521.321,38.374B23.721,40.836-107.280,-35.652-7.819,231.11144.716,63.790C21.887,38.24046.774,65.28717.887,236.923-134.599,7.008D22.325,39.38948.069,66.709-106.166,-31.746-57.185,168.330Remarks：显著性水平值取定为0.05。相关系数及分位数表ABCD相关系数0.51220.33020.992030.94908分位数值57.061826.78886767.11012.6分位值对应概率0000：1.合理的置信区间应尽量小且不包含零点为基本原则，在以上求得的置信区间中，的四个系数的置信区间包含零点且整体上置信区间较大。2.相关系数应该是介于0到1之间的数值，通常认为相关系数大于0.8相关性显著，从表中得出，C，D与表达式的相关性较为显著，A与B所得到的表达式与真实值误差较大；四者大于分位值的概率均是0点两边的水平（实或虚）直线段表示其置信区间，虚线表示该变量的拟合系数与0无显著差异，实线表示有显著性差异2除第7条线外其余线都是红色的，代表不再模型中的线，只有第7条线是绿色，代表在模型中的线。结论：由于只有第7条线是绿色实线，因此，质量值只与第7个因素即毛体积密度有显著关系，这与理论上不符。在此考虑用类似于第一问的方法引入非线性方程。u 非线性方程的引入将某个质量值看作是另外10个变量的非线性组合，四者之间关系初步即：对以上的系数进行求解时，考虑为了确定其中的未知参数，往往可以通过变量代换，把非线性化回归化为线性回归，然后利用线性回归的方法确定参数值。变换为：得到线性方程： 用Matlab工具箱里的命令stepwise进行逐步回归，得到StepwisePlot窗口和StepwiseTable窗口：StepwisePlot窗口StepwiseTable窗口图形说明：1点两边的水平（实或虚）直线段表示其置信区间，虚线表示该变量的拟合系数与0无显著差异，实线表示有显著性差异2除第1，3，5，7，10条线外其余线都是红色的，代表不再模型中的线，第2，4，6，8，9条线是绿色，代表在模型中的线。结论：质量值与第1，3，5，7，10因素即油石比，VV，VFA，毛体积密度，及%GMM(最大)有显著关系，关系如下：进行假设检验如下：-0.0009,-0.00050.4573,0.4742-0.0031,-0.00110.0009,0.0060.0004,0.0007相关系数分位值概率-0.0191,-0.00530.999291978.27.2944e-011 1逐步回归的效果较好，与质量值有关的因素是油石比，VV，VFA，毛体积密度，及%GMM(最大)这5项因素。2可近似认为几个系数值反映的是各个因素的影响力大小，第一个系数值最大，代表油石比对最后的质量值的影响力最大，属于关键影响因素，与原文一致。6.4各个质量指标同各项因素的关系利用同样的逐步回归方法得到StepwisePlot窗口如下： 图一 图二 图三 图四 Remarks:图一，图二，图三，图四分别代表TSR，S0，车辙，弯拉应变与其他10项因素之间的关系。关系列表如下：各项因素12345678910TSRS0车辙弯拉应变整体质量：表示有某种数量关系通过计算，得到与间的关系表达式有：6.5提高高速公路路面的质量方案基于以上的求解得到的非线性方程，若要使得值最大，则应该尽量使，值越大越好，使值越小越好。将表中的最大值与最小值分别记为，建立最优化模型如下： 经求解，得到结果为：油石比VVVFA毛体积密度%GMM(最大)质量值4.04.2%74%2.37895.9%0.46367 筛孔通过率与路面压实度的上界关系（问题三）7.0章节假设集料的筛孔通过率可理解为混合料中粗细不同集料的构成比例，体现在集料颗粒粒径在不同尺寸的分布。将数学意义下的路面压实度理解为集料颗粒对待铺路面的填充体积的比例最大值。并做出以下两点假设。 假设集料颗粒均为规则的球体。 在碾压过程中，集料颗粒不会发生型变。基于以上分析及假设，下文就筛孔通过滤与数学意义下路面压实度上界之间的数量关系展开分析。7.1 理论上对问题的定性探讨从文中所给出的Gmm（最大）可以看出，大多数混合料试件成型时达到的最大压实状态的压实度从95.9%98.3不等。原因在于集料的级配组成不同，而混合料中有直径不同的集料构成。且沥青在较高温度时具有一定的流动性，使集料颗粒较易填充入未填充的空隙中。于是将实际工作过程分解为：在直径较大的集料将待压实路面体积装满后，直径较小的集料再将其装在空隙装满。显然，对于公路路面而言，在其设计中，集料对路面的铺设厚度是被设计决定的。因此在实际工作中，只要达到Gmm（最大）即可停止碾压，故Gmm（最大）并不一定是压实度的上界。因此这里并没有对集料的筛选通过滤与Gmm（最大）进行相应数据的分析。在实际的压实过程中，铺设路面的体积是一定的。若从理论上探讨筛孔通过率与路面压实度上界的数量关系，可不妨将待铺设路面体积视为由若干边长很小的立方体组成的大容器；而直径各不相同的集料颗粒将使计算复杂化，因此这里将每个集料颗粒视为一个直径较小的球体。若假设这些小球体的半径相同，且球体的直径可由筛孔通过率体现，因此可将路面压实度的上界问题转化为在空间中以何种方法放满等半径的球体，所浪费的空间最少的问题。也就是著名的“开普勒猜想”。根据题目中对压实度的定义：若假设为压实度，立方体的容积为，球半径为，正方体内的球体数量为；因为无论何种排列方式排列球体，都无法将立方体装满，因此有如下不等式成立。可将上式视为球内的装载密度，而在压实度上界的数学意义下，以上问题即求如下最优化模型。当然，这种最优化的模型是难以求解的。而开普勒给出了一种立方体内的球体排列方法，虽未经过严格地数学证明，但至今仍未找到其他更节省空间的排列方法。因此本文认为，“开普勒猜想”中所给出的排列方法即为求得该问题数学意义下上界的最优解。7.2 开普勒猜想的球体填充方案假设边长为2的正立方体，分别以立方体的八个顶点及六个面的中心为球心，以为半径作球。因为在这个立方体内，球的体积和即为4个整球体积（8个角，每个角有个球；六个面，每个面有半个球）。下图通过3dmax软件描述在各角度观察的上述排列方案。因此，上文的装载密度可表示为：也就是说，球体装箱的装载密度上界为74.05。虽然在上面的方法中，在每个正方体内均没有一个完整的球存在，但当考虑一个较大体积的容器是由这些边长较小的正方体为基本单位来填满，由于立方体具有对称性，且每个小立方体的装箱密度上界均为74.05。因此，当用球体装载某较大体积的容器时，其密度上界即为74.05。且此上界与球体的半径无关。而这种排列方式也被称为“面心晶”（face-centred-cube），是化学上原子在晶体中的一种排列形式。每个球与12个球相切，这也是一个球在同一时间内的最多切球数目。根据以上分析，可以得到以下结论：在假设某种集料颗粒半径相同的情况下，路面压实度在数学意义下的上界一定，为74.05，与集料颗粒的粒径无关。7.3 对路面压实度上界的填充优化但在实际情况中，集料颗粒的粒径大小参差不齐，才会造成实际中压实度趋近于1。因此在上述结构的基础上，下面试图再向立方体内塞入粒径略小的球形颗粒，以求达到路面压实度的增大。在以“开普勒猜想”的解决方案为基础，显然，在某两个相邻但不相切的球体中，仍然可以加入一个直径为的球体。令这样的球体的半径为，。而在该立方体的12条棱上，均有这样的球体，且每个半径为的球体在正方体内部都有个球。当填充的颗粒数量较多时，其排列的立体效果如下。而在正方体的几何中心，也有这样的半径为的一个球，它与分别以正方体6个面的中心为球心的半径为的6个球相切。以下立体效果图则着重突出了球心处于立方体中心的小球与半径较大的球体的位置关系。通过这样的填充，可以在正方体内重新塞入的4个完整的球体（12条棱，每条棱上个球；立方体中心有一个球），因此可重新计算路面压实度。在塞入半径为的球体后，压实度为79.31。显然正方体内仍有较多的空隙，仍可以使用半径更小的球体进行填充。向其中可再次填入颗粒设其半径为根据几何关系，可建立如下等式求解未知半径其中代入，。求解方程得到，。在加入半径为x的小球后，效果如下。这样可在立方体内塞入共计32个球体（六个面上每个面有个球，正方体内可填充8个球）。计算路面压实度为0.7987。但在计算更小的填充半径使压实度趋于100（大于Gmm（最大）的过程中，其计算的复杂性使在有限的时间内给出在一般情况下的压实度与不同粒径的集料颗粒的数量关系变的困难。筛孔通过率无法精确体现集料颗粒的粒径。且多种粒径的集料在填充时，将会产生排列组合方式的爆炸。因此，我们无法对筛孔通过率与路面压实度取得数学上界时的数量关系给出具有一般性的讨论。7.4 筛孔通过率与路面压实度的数量关系根据以上计算，可以写出理论上压实度的计算式其中，表示压实度；L为待填充的立方体体积；为球体的半径取值，为半径为的球体在正方体内的数量。显然要在确保压实度的前提下，确定最佳的集料半径。因集料的半径较小，可在首先填充半径分别为的球，并在以如下方法确定第下一类填充球半径。因当曲率圆半径较大，则圆弧的弧度较小，可近似看作直线。根据三角形相似的原则： (1) (2)联立方程组，得到： 移项得到：的关系表达式： 显然，当颗粒的半径较小时，依照上述方法可使路面压实度的上界趋于100。当颗粒半径较小时，可近似认为某个填充的球体将半径较大的球间的间隙分成了四个部分。因此近似认为立方体内的半径为的球体的数量为半径为的4倍。由此可以推得一个使路面压实度取得较接近于100的筛孔通过率：当半径取值时，半径与半径筛孔通过率的比之为。我们曾试图寻找筛孔通过率与路面压实度上界的具体关系，但由于颗粒排列的复杂度随着颗粒半径的减小而愈加复杂，因此并未找到具体函数关系，仅在一定假设的前提下，对路面压实度上界进行了启发式的计算。而上文已在假设集料半径相同的情况下，计算了路面压实度数学意义下的上界为（约为74.05）。实际中集料的级配组成决定了混合料中有粗细不同集料的构成比例，因此必将有半径较小的颗粒对未填充的空间进行填充，使路面压实度更大。而考虑到路面中的颗粒即使在碾压过程中发生了形变，也不会使空隙率（VV）达到0。因此可得出以下结论：路面压实度在数学意义下的实际取值范围在区间内。8混合料与质量指标的关系分析（问题四）8.1质量指标的Fuzzy聚类针对表中所给出的167组(每组4个指标)样本数据，分别就抗水损害性，抗高温性以及抗低温性分成抗性强，中，弱三类。由于TSR,S0两种测试方法和测试指标在判断抗水性时均经常采用，因此将两者对抗水性的影响力统一起来，分别加权1/2后求和即可得到抗水性指标。为了简化对问题的分析，按照以下三个区间标准进行抗性强，中，弱的分类：， ， 从而得出抗水性，抗高温，抗低温三种性能的分类边界值：抗水性能抗高温(次/mm)抗低温(次/mm)TSR(%)S0(%)Max97.798.975834556.9Min76.179.310192247强76.1,83.379.3,85.831019,32072247,3017中83.3,90.585.83,92.373207,53953017,3786.9弱90.5,97.792.37,98.95395,75833786.9,4556.98.2沥青质量与各项指标的关系确立由题意可知，沥青分为普通沥青和改性沥青两类，用分别表示两类沥青在各类性能指标中的各个档次中的隶属度矩阵：，经统计，样本数目为201个，利用数学软件进行统计，然后对各项指标对应的201个数据中分到各个档次的个数，并求出百分比，结果列表如下：改性沥青：等级抗水性能抗高温抗低温TSRS0强数值1340419百分比(%)9.22%27.4%28.67%6.87%中数值79977850百分比(%)56.03%66.44%54.55%38.17%弱数值4992472百分比(%)34.75%6.16%16.28%54.96%总量数值141146143131百分比(%)79.2%74.11%80.8%100%普通沥青：等级抗水性能抗高温抗低温TSRS0强数值41200百分比(%)10.9%23.53%0中数值203620百分比(%)54.16%70.59%5.88%弱数值133320百分比(%)35.94%5.88%94.12%总量数值3751340百分比(%)20.8%25.89%19.2%Remarks：表中打斜线的数据是未得到统计数据的情况，可以不对沥青种类是否影响抗低温性的问题进行讨论，仅对其它两项指标进行分析即可。综合以上表中数据，得到隶属矩阵： 从以上数据可知不同种类的沥青对各项质量指标性能的影响体现在以下几个方面：1 抗水性：无论是普通沥青还是改性沥青，抗水性能均处于中等级别，因此得到沥青种类并不影响抗水性的结论。2 抗高温性：普通沥青的抗高温级别处于最低级别，改性沥青的抗高温性能处于中等级别，因此得出结论：沥青种类对抗高温性能影响较大。3 抗低温性：数据不全，无法讨论。8.3碎石质量与各项指标的关系确立考虑到碎石可分为粗集料和细集料，为了不对粗细集料的描述过于模糊化，不考虑使用附表四，五中的质量描述准则，采用石料岩性作为中介进行描述较为恰当。表中给出的岩石种类有许多，但较为常见的即为玄武岩和石灰岩，这两者的集料性质较为明显，玄武岩是粗集料，石灰岩是细集料。用分别表示两类岩料在各类性能指标中的各个档次中的隶属度矩阵：，经统计，样本数目为201个(剔除其他类型的岩石类型对应的样本，只保留含有玄武岩和石灰岩的样本数据行)，利用数学软件进行统计，然后对各项指标对应的201个数据中分到各个档次的个数，并求得各个档次的数值其占总数的百分比，结果列表如下：石灰岩(细集料)：等级抗水性能抗高温抗低温TSRS0强数值1329121百分比(%)12.1523.3911.32%1.54%中数值62874619百分比(%)57.9470.1643.4%29.23%弱数值3284845百分比(%)35.916.4545.28%69.23%总量数值10712410665百分比(%)60.1162.9459.8949.62玄武岩(粗集料)：等级抗水性能抗高温抗低温TSRS0强数值423298百分比(%)5.6331.5%40.84%12.12%中数值37463431百分比(%)52.1163.01%47.89%46.97%弱数值304827百分比(%)42.265.48%11.27%40.91%总量数值71737166百分比(%)39.8937.0640.1050.38%综合以上表中数据，得到隶属矩阵： 从以上得出的数据可知不同种类的岩石对各项质量指标性能的影响体现在以下几个方面：1抗水性：无论是石灰岩还是玄武岩，抗水性能均处于中等级别，因此同样得到岩石种类并不影响抗水性的结论。2抗高温性：石灰岩的抗高温级别处于中弱级别，玄武岩的抗高温性能处于中强等级别，因此得出结论：沥青种类对抗高温性能影响较大。3抗低温性：石灰岩的抗低温性能属于弱级别，玄武岩的抗低温性能处于中等级别。8.4厂家、产地对各项指标的影响力题中要求对不同厂家、不同产地的但型号相同、类型相同的沥青、碎石质量对高速公路路面抗水损害性能、高温性能、低温性能究竟有无影响进行分析，所谓型号相同，类型相同，应该就沥青和碎石分别进行研究，型号相同指的是混合料类型相同，碎石的类型从岩石种类(玄武岩和石灰岩)上着手分析。对型号相同，类型相同的沥青和碎石进行统计，如果就某种型号，某种类型的沥青或碎石数量很少，则将其剔除，不将其考虑在计算范围之内，采用的样本数据是281个。统计相关各个指标各个档次的数值及其概率，分析如下：l 沥青(以二个为例，其余见附录)沥青型号70，混合料类型AC-25(18项)等级抗水性能抗高温抗低温TSRS0强数值4300百分比(%)33.33%16.67%中数值51320百分比(%)41.67%72.22%22.22%弱数值3270百分比(%)25%11.11%77.78%SBS改性沥青，混合料类型SUP20(20项)等级抗水性能抗高温抗低温TSRS0强数值2747百分比(%)11.11%35%22.22%38.89%中数值13131411百分比(%)72.22%65%77.78%61.11%弱数值3000百分比(%)16.67%结论：1在各种型号的沥青中，以沥青型号70，混合料类型AC-25和SBS改性沥青，SUP20两者的使用率最高。2抗水性：单纯就型号70，AC-25而言，各个厂家的TSR指标差距不大，各个档次上的厂家数基本相同，S0指标大部分厂家集中在中等档次上；就SBS改性沥青，SUP20而言，大部分厂家的材料抗水性是中等，且均匀性不强，也就是说各个厂家生产的材料差别还是较大的，其它类型的情况类似。3抗高温性：综合可知，大部分厂家生产的材料均处于抗高温性差的档次上，SMA-