二次函数图像与性质.doc

二次函数的图像与性质（一般式）一、【课程要求】 1，掌握二次函数的图像与性质，能根据二次函数的表达式熟练的画出二次函数的草图根据草图了解对应二次函数的性质。 2，根据二次函数一般式，能配成顶点式，找出顶点坐标，找出最值。 3，根据二次函数一般式，能利用公式熟练求出二次函数的顶点坐标及对称轴。二、【重点难点】1， 二次函数的图像与性质2， 配顶点式及二次函数的最值问题。三、【知识点归纳】1二次函数：形如 的函数叫做二次函数.2二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是 ；（2）二次函数通过配方可得为常数），其顶点坐标为 。（3）当时，抛物线开口 ，并向上无限延伸；在对称轴左侧 时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧时，y随x的增大而增大；当时，函数有 。当时，抛物线开口 ，并向下无限延伸；在对称轴左侧时，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧时，y随着x的增大而减小；函数有 。3.抛物线与坐标轴的交点：（1）抛物线（2）若方四、【例题解析】 （一），怎么判断a、b、c正负例1.已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 第（1）题 第（2）题例2 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（二），二次函数图像平移例1. 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为（ ） A. b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2例2. 若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？例3如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( ) A3 B1 C5 D8 yxO二-例3yOBAx11二-例1（二），确定二次函数解析式例1，如图，在平面直角坐标系中，且，点的坐标是（1） 求点的坐标；（2） 求过点的抛物线的表达式；（3） 连接，在（2）中的抛物线上求出点，使得例2二次函数的图象与轴的交点如图所示，根据图中信息可得到 的值是 第2题图 （四）二次函数与几何的综合题例1如图，抛物线yax2bxc经过点A（4，0）、B（2，2），连结OB、ABABxOy（1）求该抛物线的解析式；（2） 求证：OAB是等腰直角三角形；(3)将OAB绕点O按顺时针方向旋转135得到OAB，写出AB的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由例2在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点（1）求抛物线的解析式。（2） 若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3） 若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 例2四、【课堂练习】（一）、选择题1.抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位2.下列函数中,当x0时y值随x值增大而减小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 3.如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( )Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 B b0 C c0 D abc06. 若下列有一图形为二次函数y2x28x6的图形，则此图为( ) 7.抛物线的顶点坐标是( ).A（1，0）B（1，0）C（2，1）D（2，1）8. 已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）Aa0 B当x1时，y随x的增大而增大Cc0 D3是方程ax2bxc0的一个根9.已知二次函数的图象(0x3)如图所示关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A有最小值0，有最大值3 B有最小值1，有最大值0 C有最小值1，有最大值3 D有最小值1，无最大值10. 如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c1；（3）2ab0；（4）a+b+c0。你认为其中错误的有( )A2个B3个C4个D1个xy-11O1(二)，解答题1.已知双曲线与抛物线y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2) 在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出ABC的面积,2. 已知：二次函数y=x2bx3的图像经过点P（2,5）（1）求b的值，并写出当1x3时y的取值范围；（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由3.已知：关于x的方程（1）当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；（2） 求证：a取任何实数时，方程总有实数根.四、【课后作业】1. 若二次函数配方后为则、的值分别为 2.在直角坐标系中，若解析式为 的图像沿着轴向左平移两个单位，再沿着y轴向下平移一个单位，此时图像的解析式为（ ）3二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比例函数y 与正比例函数y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）4.已知函数y=mx26x1（m是常数）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值5如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）8 6 10 4(4题图) 6. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米. 7一开口向上的抛物线与x轴交于A(m2，0)，B(m2，0)两点，记抛物线顶点为C，且ACBC(1)若m为常数，求抛物线的解析式。(2) 若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由第6题图8.已知抛物线:y=x-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C上求点P，使得EFP是以EF为直角边的直角三角形. 9， 将直角边长为6的等腰RtAOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(3，0)(1)，求该抛物线的解析式；(2)，若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当APE的面积最大时，求点P的坐标；第9题图(3)，在第一象限