固体物理第二章第四节倒格子

第四节倒格子 本节主要内容 一 概念的引入 三 倒格矢与晶面 二 倒格子是倒易空间的布拉维格子 四 倒格子的点群对称性 2 4倒格子 一 概念的引入 晶体结构的周期性 可以用坐标空间 r空间 的布拉维格子来描述 这是前几节我们所讨论的内容 也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述 然而 量子力学的学习使我们认识到 任何基本粒子都具有波粒二象性 亦即具有一定能量和动量的微观粒子 同时也是具有一定的波长和频率的波 波也是物质存在的一种基本形式 波矢k可用来描述波的传播方向 那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢 如果可以 在波矢k空间 k应满足什么条件呢 布拉维格子具有平移对称性 因而相应的只与位置有关的物理量 由于布拉维格点的等价性 均应是布拉维格矢R的周期函数 如 格点密度 质量密度 电子云密度 离子实产生的势场等都是如此 不失一般性 上述函数可统一写为 布拉维格矢 由于F r 是布拉维格矢R的周期函数 所以可以将其展开成傅里叶级数 1 周期函数的傅里叶展开 展开系数 因为 所以 令 则 则 不合要求 应舍去 所以 由于与存在上述对应关系 可以描述布拉维格子 自然也可以描述同样的布拉维格子 且与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似 因而 凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢 一定也可以描述布拉维格子 这就是倒格子的由来 成立 也就是说 一定存在某些使得当成立时 2 定义 对布拉维格子中所有格矢 满足或 m为整数 的全部端点的集合 构成该布拉维格子 称为正格子的倒格子 reciprocallattice 与倒格子的定义对应 由格矢的端点所描述的布拉维格子 称为正格子 directlattice 由端点的集合所描述的布拉维格子 称为倒格子 reciprocallattice 称为倒格矢 利用倒格矢 满足的傅里叶展开为 意义 把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间 且只存在波矢为倒格矢的分量 二 倒格子是倒易空间的布拉维格子 欲使上式恒成立 且考虑到n1 n2 n3为任意整数 则要求 h1 h2 h3为整数 对布拉维格子中所有格矢 满足或 m为整数 的全部端点的集合 构成该布拉维格子 称为正格子的倒格子 reciprocallattice 称为倒格矢 当满足时 则下式自然成立 或 由于为倒格矢 如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间 或倒易空间 reciprocalspace 则由于不共面 自然可以成为倒易空间的基矢 和对比 表明对应的是倒易空间中的布拉维格子 亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子 从而且也可作为以为基的某一布拉维格子的倒格子的定义 讨论 所以可令 1 其中是正格基矢 是固体物理学原胞体积 同理可得 所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为 与所联系的各点的列阵即为倒格子 许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义 a 晶格振动形成的格波 x射线被晶体衍射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等 它们的状态均用波矢来表征 其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内 一般限制在简约布里渊区中 单值性的要求 2 与正格子空间的平面波类似 可以把看成倒空间的平面波 是倒空间的任一矢量 所以 在倒空间中 矢量与代表相同的波或相同的状态 注 b 倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区 也就是所谓的简约布里渊区 3 由正格子可以定义倒格子 反之亦可 因此 它们互为倒易格子 三 倒格矢与晶面 倒格子与正格子的几何关系 1 体积关系 其中 和 分别为正 倒格子原胞的体积 除因子外 正格子原胞体积和倒格子原胞体积互为倒数 利用 2 倒格矢与晶面 倒格矢和正格子中晶面族 h1h2h3 正交且其倒格矢长度为 其中是正格子晶面族 h1h2h3 的面间距 首先我们证明 倒格矢和正格子中晶面族 h1h2h3 正交 设平面ABC为晶面族 h1h2h3 中离原点最近的晶面 ABC在基矢上的截距分别为 由图可知 所以倒格矢和正格子中晶面族 h1h2h3 正交 接着我们再证明倒格矢长度为 由于倒格矢与晶面族 h1h2h3 正交 因而 晶面族 h1h2h3 的法线方向为 则法线方向的单位矢量为 因而 面间距 这个关系很重要 后面分析XRD时要用 3 倒格子基矢的方向和长度 一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的 它的方向是该晶面的法线方向 它的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍 设 利用体积 底面积 高 则有 晶体结构 2 与晶体中原子位置相对应 2 与晶体中一族晶面相对应 3 是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列 3 是真实空间中点的周期性排列 4 线度量纲为 长度 4 线度量纲为 长度 1 已知晶体结构如何求其倒格子呢 晶体结构 正格子 正格子基矢 倒格子基矢 倒格子 例1 下图是一个二维晶体结构图 试画出其倒格点的排列 倒格子是边长为的正方形格子 例2 证明体心立方的倒格子是面心立方 倒格矢 同理得 体心立方的倒格子是边长为4 a的面心立方 与p25fcc比较可知 例3 证明简立方晶面 h1h2h3 的面间距为 证明 简立方 法一 法二 设ABC为晶面族 h1h2h3 中离原点最近的晶面 ABC在基矢上的截距分别为 则 对于立方晶系 且 根据任何矢量的方向余弦的平方和等于1 即 四 倒格子的点群对称性 1 同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性 证明 设为正格子的一个点群的任取对称操作 亦即为正格矢时 亦为正格矢 点群对称操作不会改变原有格点之间的距离 按照群的定义 当为点群对称操作时 亦为同一点群的对称操作 则亦为正格矢 由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知 当和接受同一点群对称操作时 空间任意两点之间的距离不变 所以 对点群中任一而言 亦为倒格矢 亦即 对应正格子的群中的任一操作