简单的线性规划问题课件4.ppt

简单线的性规划问题 想一想 问题1 点的集合 x y x y 1 0 表示什么图形 集合表示的图形是一条直线 该直线在Y轴和在x轴上的截距都是1 问题2 点的集合A x y x y 1 0 在平面直角坐标系中表示什么图形 分析 在平面直角坐标系中 所有的点被直线x y 1 0 如图所示 分成三类 1 在直线上 2 在直线的左下方的平面区域内 3 在直线的右上方的平面区域内 取右上方的平面区域内的点 1 1 1 2 2 2 我们发现这些点这些点都满足x y 1 10 若我们取左下方平面区域内的点 0 0 1 1 我们发现这些点都满足x y 1 0 1 猜想 1 对直线L右上方的点 x y x y 1 0成立 2 对直线L左下方的点 x y x y 1 0成立 Y 1 O X 1 问题2 点的集合A x y x y 1 0 在平面直角坐标系中是 直线x y 1 0右上方的平面区域 x y 1 0 3 结论 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧所有点组成的平面区域 这时直线上的点不包含在区域内 要把直线Ax By C 0画成虚线 而画Ax By C 0表示的区域时 此区域包括直线 要把直线Ax By C 0画成实线 在确定区域时 由于在直线Ax By C 0同一侧的所有点 x y 把它代入Ax By C 所得的实数符号都相同 在直线的某一侧取一个特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C的正负可以判断出Ax By C 0表示哪一侧的区域 一般当C 0时 取原点作为特殊点 当C 0时 取 0 1 或 1 0 点作为特殊点 我们可以通过以下方法来判断A By C 0到底是哪个区域的 例1 画出不等式2x y 6 0表示的平面区域 说明 画二元一次不等式的平面区域常用的方法是 直线定界 特殊点定域 练习1 画出下列不等式表示的平面区域 1 x y 1 0 2 2 5 10 0 O X Y 5 2 2 O X Y 1 1 1 画出直线2 5 10 0 取 0 0 点代入不等式 得 2 0 5 0 10 10 0 画出直线x y 1 0 取 0 0 点代入不等式 得0 0 1 1 0 例2 画出不等式组表示的平面区域 注意 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 x y 5 0 x 3 x y 0 5 3 5 取 0 0 代入x y 5 得 0 0 5 5 0 取 0 1 代入x y 得 0 1 1 0 不等式化为x 3 0 取 0 0 代入x 3 得0 3 3 0 练习2 画出下列不等式组表示的平面区域 1 o x Y y x 0 x 2y 4 0 y 2 0 不等式化为y x 0 取 0 1 代入y x 得1 0 1 0 不等式化为x 2y 4 0 取 0 0 代入x 2y 4 得0 0 4 4 0 不等式化为y 2 0 取 0 0 代入y 2 得0 2 2 0 4 2 课堂小结 1 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示什么图形 3 熟记 直线定界 特殊点定域 方法的内涵 2 若不等式中不含0 Ax By C 0 则边界应画成虚线 否则应画成实线 实例分析 设x y满足以下条件 求z 2x y的最大值与最小值 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 如图 分别作出三条直线 o 5x 6y 30 y 1 y 3x y y 1 y 3x 5x 6y 30 再找出不等式组所表示的平面区域的公共区域 可行域 x 设z 0 画出直线l0 即l0 2x y 0 o 5x 6y 30 y 1 y 3x y x l0 2x y 0 因为z 2x y 令x 0则z y 纵截距 如图 平移直线l0 所对应的z随之增大 所对应的z随之减小 当直线l0向上平移时 当直线l0向下平移时 o 5x 6y 30 y 1 y 3x y l0 2x y 0 l1 2x y 2 l2 2x y 4 l3 2x y 3 此时所对应的Z最小 此时所对应的Z最大 从而得到 zmin zmax 2 1 2 1 o 5x 6y 30 y 1 y 3x y x A B C l0 2x y 0 如图 在把l0向上平移过程中 直线与平面区域首先相交于点A 当相交于点B l1 l2 解线性规划问题的一般步骤 第一步 根据线性约束条件在平面直角坐标系中画出可行域 即画出不等式组所表示的公共区域 第二步 设z 0 画出直线l0 第三步 观察 分析 平移直线l0 从而找到最优解 第四步 最后求得目标函数的最大值或最小值 一般地求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 抽象概括 线性规划 可行解 可行域 最优解 目标函数 如果两个变量x y满足一组一次不等式 求两个变量的一个线性函数 如z 2x y 的最大值或最小值 那么就称这个线性函数为目标函数 总结 从这个问题的求解过程可以看出 最优解一般在可行域的边界上 而且通常在可行域的顶点处 或边界上 取得 例题 1 x y满足约束条件 求z 2x y的最大值 y x x y 1 y 1 A 2 1 在点A 2 1 处z 2x y最大zmax 2 2 1 3 y 2x 设z 0 画出直线l0 即l0 y 2x 求z 2x y的最大值 2 已知x y满足 L0 y 2x 答案 在点A 5 2 处取得最大值Zmax 2 5 2 8 因为z 2x y 令x 0则z y 纵截距的相反数 思考 这里z的几何意义是什么 也代表直线的纵截距吗 如果z ax y取到最大值的最优解有无数个 求a的值 3 已知x y满足 y ax z 讨论 1 a 0 2 a 0 3 a 0 答案 N 求 1 最大值和最小值 2 最大值和最小值 例3 已知满足不等式 B C A P 3 2 解 的平方再减去