简单正多面体问题探究.ppt

热烈欢迎各位老师莅临指导 福清第三中学余明芳 简单正多面体问题探究 简单正多面体问题探究 柏拉图 前 前 年 是古希腊最著名的唯心论哲学家和思想家 据说 柏拉图在雅典曾开办了一所学园 一边教学 一边著书 他的学园门口挂着一个牌子 不懂几何学者免进 没有几何学的知识是不能登上柏拉图的哲学殿堂的 正多面体是由古希腊哲学家柏拉图发现的 所以又称正多面体为柏拉图体 它由全等的正多边形构成 柏拉图证明了宇宙间只存在五种正多面体 它们的面数分别是四 六 八 十二和二十 一 正多面体简介 这是一个多面体 它是由平面多边形围成的几何体 数学家欧拉曾对多面体进行了富有成效的研究 得到了欧拉定理 应用这个定理也可以证明正多面体仅有五种 数学家欧拉 欧拉 Euler 瑞士数学家及自然科学家 1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔 1783年9月18日於俄国彼得堡去逝 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 日常生活和自然界中的正多面体 在化学中不少分子是正四面体型的 如CH4 NH4 它们的键角都是109 28 二 正六面体的截面 展开图及其性质 正六面体是五种正多面体中的一种 它有8个顶点 12条棱和6个面 数学是研究数量关系和空间形式的科学 正六面体则是空间构形的基本方式 是欧几里得几何思维的基本出发点 在正六面体中 包罗了所有的点 线 面位置关系 平行 垂直 角和距离等问题比比皆是 所以 许多人戏称它是立体几何的 万花筒 正六面体同时是我们在日常生活中最熟悉的几何体 也是命题者最喜好的一个问题载体之一 1 正六面体的截面图 把一些简单的多面体沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形 这个平面图形叫做该多面体的平面展开图 正十二面体的平面展开图 五个正多面体的平面展开图 2 正六面体的平面展开图 B A B 正六面体的平面展开图有多少种形状呢 由于正方体共有12条棱 6个面 剪开表面展成一个平面图形后 其面与面之间相连的棱 即未剪开的棱 有5条 因此须且仅须剪开7条棱 尝试各种可行的组合方式 可以发现正六面体共有下列11种侧面展开方式 D1 A B C D A1 B1 C1 异面直线A1B B1C所成角是60 问题一 证明 连结A1D BD 显然 A1DB是正三角形 A1D B1C A1D与A1B所成角即异面直线A1B B1C所成角 异面直线A1B B1C所成角是60 3 正六面体问题探究 D1 A B C D A1 B1 C1 平面A1BD与平面B1CD1 问题二 证明 由正方体知A1B1平行且等于DC 四边形A1B1CD是平行四边形 A1D B1C A1D不在平面B1CD1上 B1C在平面B1CD1上 A1D 平面B1CD1 平面A1BD与平面B1CD1相互平行 同理有 A1B 平面B1CD1 A1D A1B A1 相互平行 D1 A B C D A1 B1 C1 对角线B1D 平面A1BC1 问题三 由正方体知DC 平面B1C1CB BC1 DC 证明 连结B1C BC1平面B1C1CB 则B1C BC1 BC1 平面B1CD B1D平面B1CD BC1 B1D 对角线B1D 平面A1BC1 又DC B1C C 同理有A1C1 B1D G BC1 A1C1 C1 连结正六面体的六个表面的中心可以得到正八面体 D1 A B C D A1 B1 C1 连结正六面体的四个顶点可以得到正四面体 D1 A B C D A1 B1 C1 三 正四面体的截面 展开图及其性质 正四面体共有四个顶点 六条等长的棱 四个全等的面 设正四面体ABCD棱长为a 正四面体也是命题者喜好的一个问题载体 1 正四面体的截面图 2 正四面体的平面展开图 正四面体的平面展开图有多少种形状呢 由于正四面体共有6条棱 4个面 剪开表面展成一个平面图形后 其面与面之间相连的棱 即未剪开的棱 有3条 因此须且仅须剪开3条棱 尝试各种可行的组合方式可以发现正六面体仅有下列2种侧面展开方式 A B C D 证明 取CD的中点E 连结AE BE E AC AD AE CD BC BD BE CD AE BE是平面ABE内两条相交直线 CD 平面ABE AB CD AB平面ABE 3 正四面体问题探究 A B C D O 证明 问题二 A在面BCD上的射影O是正三角形BCD的 法1 AO 面BCD AO垂直于面BCD内的直线CD 异面直线AB CD相互垂直 同理有DO BC O是正三角形BCD的垂心也是 BCD的中心 法2 在正四面体ABCD中 AB AC AD AOB AOC AOD AO是公共边 AOB AOC AOD OB OC OD A在面BCD上的射影O是正三角形BCD的中心 中心 CD 面AOB BO CD A B C D O 类比是我们最好的老师 正四面体可以降维类比于平面中的正三角形 A B C 正三角形ABC中 三条边相等 正四面体ABCD中 四个面全等 E D F O 高线AD的三等分点O是中心 OA OB OC 类比基础 类比猜想 高线AO的三等分点E是中心 EA EB EC ED E A B C D O 高线AO的四等分点E是中心 EA EB EC ED E 证明 设正四面体的棱长为a 连结BO并延长交CD于点F F 问题三 EA EB EC ED 高线AO的四等分点E是中心 问题四 A B C D AB BC CD DA各边中点E F G H构成正方形四个顶点 证明 EF是三角形ABC中位线 2EF AC 且EF AC 同理2GH AC 且GH AC EFGH是平行四边形 由问题一知AC BD AC BD EF FG是三角形ABC与BCD的中位线 EF FG EF FG 四边形EFGH是正方形 EF HG 且EF HG A C M D B N A B C D M N 问题五 连结对棱中点M N所得线段的长度 等于外接正方体