05差分方程的一般概念 吴宗其 高等数学教学课件

9 5差分方程的一般概念 一 差分 二 差分方程的一般概念 一 差分 设函数y f x 记为yx 当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列 y0 y1 yx 则差yx 1 yx称为函数yx的差分 也称为一阶差分 记为 yx 即 yx yx 1 yx 定义9 4 函数的差分 称为函数yx的二阶差分 差分的差分 yx 2 2yx 1 yx yx 2 yx 1 yx 1 yx yx yx 1 yx 记为 2yx 即 2yx yx yx 2 2yx 1 yx 一 差分 设函数y f x 记为yx 当x取遍非负整数时函数值可以排成一个数列 y0 y1 yx 则一阶差分为 yx yx 1 yx 二阶差分为 2yx yx yx 2 2yx 1 yx 定义9 4 函数的差分 类似地可定义三阶差分 3yx 四阶差分 4yx等 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分 差分的性质 1 cyx c yx c为常数 2 yx zx yx zx 解 3yx 2yx 例1 求 x2 2 x2 3 x2 设yx x2 那么 yx x2 2yx 2 x2 2x 1 x 1 2 x2 2 2 x 1 1 2x 1 2x 1 2 2 0 2 下面是某些差分的值 解 x 1 x x 1 x 2 x n 2 x x 1 x 2 x n 1 x 1 x n 1 x x 1 x 2 x n 2 nx x 1 x 2 x n 2 nx n 1 例2 设x n x x 1 x 2 x n 1 x 0 1 求 x n 设yx x n x x 1 x 2 x n 1 则 yx x 1 n x n 二 差分方程的一般概念 引例 某种商品t时期的供给量St与需求量Dt都是这一时期价格Pt的线性函数 St a bPt a b 0 Dt c dPt c d 0 设t时期的价格Pt由t 1时期的价格Pt 1与供给量及需求量之差St 1 Dt 1按如下关系确定Pt Pt 1 St 1 Dt 1 为常数 即Pt 1 b d Pt 1 a c 这样的方程就是差分方程 二 差分方程的一般概念 定义9 5 差分方程 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程 例如 F x yx yx 1 yx n 0 G x yx yx 1 yx n 0 F x yx yx 2yx nyx 0都是差分方程 二 差分方程的一般概念 定义9 5 差分方程 含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程 差分方程的阶方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶 例3 yx 2 2yx 1 yx 3x是一个二阶差分方程 可以化为yx 2yx 1 yx 2 3x 2 2yx 2yx 3x 则可以化为 2yx 2yx yx 1 yx 2yx yx 2 yx 1 yx 1 yx 2yx 将原方程左边写成 定义9 6 差分方程的解 如果一个函数代入差分方程后 方程两边恒等 则称此函数为该差分方程的解 所以yx 15 2x是方程的解 同样可以验证yx A 2x A为常数 也是差分方程的解 例4 设有差分方程yx 1 yx 2 把函数yx 15 2x代入此方程 则 左边 15 2 x 1 15 2x 2 右边 定义9 6 差分方程的解 如果一个函数代入差分方程后 方程两边恒等 则称此函数为该差分方程的解 初始条件我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态 对差分方程附加一定的条件 这种附加条件称为