概率论与数理统计习题及答案习题二

;.习题二1. 一袋中有5 只乒乓球，编号为1， 2， 3， 4，5，在其中同时取3 只，以 x 表示取出的3 只球中的最大号码，写出随机变量x 的分布律 .【解】;.故所求分布律为xp( xp( xp( x3, 4,5c33)15c34)352c35)c 450.10.30.6x345p0.10.30.62. 设在 15 只同类型零件中有2 只为次品，在其中取3 次，每次任取1 只，作不放回抽样， 以 x 表示取出的次品个数，求：（ 1）x 的分布律；（ 2）x 的分布函数并作图；(3)p x133,p 1x,p1x,p1x2 .【解】222x p( x0,1, 2.0)1322c33.c1535p( x1)p( x2)12c c2133c15c11312 .35351 .c315故 x 的分布律为x012p22121353535（2）当 x0 时， f（ x） =p（ x x） =022当 0x1 时， f（ x） =p（ x x） =p(x=0)=3534当 1x2 时， f（ x） =p（ x x） =p(x=0)+ p(x=1)=35当 x2 时， f（ x） =p（ xx） =1故 x 的分布函数f (x)0,x022,0x13534 ,1x2351,x2(3)p( x1122)f (),2235p(1x3 )334340f ()f (1)223535p(1x3 )p( x1) p(1x3 )122235341p(1x2)f (2)f (1)p( x2)10.35353. 射手向目标独立地进行了3 次射击，每次击中率为0.8，求 3 次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3 次射击中至少击中2 次的概率 .【解】设 x 表示击中目标的次数.则 x=0， 1， 2， 3.p(x0)(0.2)30.008p(x1)c1 0.8(0.2)20.09633p(x2)c2 (0.8)2 0.20.3843p(x3)(0.8)0.512故 x 的分布律为x0123p0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008,0x1f (x)0.104,1x20.488,2x31,x3p( x2) p( x2)p( x3)0.8964.（ 1）设随机变量x 的分布律为kp x=k= a，k!其 中 k=0， 1， 2， 0 为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量x 的分布律为试确定常数a.【解】（ 1） 由分布律的性质知p x=k= a/n，k=1， 2， n，1p( xk)k 0kaa ek 0 k!故ae(2) 由分布律的性质知nna1p( xk )ak 1k 1 n即a1.5. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投 3 次，求：（ 1）两人投中次数相等的概率;（ 2）甲比乙投中次数多的概率.【解】 分别令 x、y 表示甲、乙投中次数，则xb （3， 0.6） ,yb(3,0.7)(1)p( xy)p(x0,y0) p( x1,y1) p( x2,y2)p( x3,y3)33(0.4) 3 (0.3)3c1 0.6(0.4) 2 c1 0.7(0.3) 2 +33c 2 (0.6) 2 0.4c2 (0.7) 2 0.3(0.6) 3 (0.7) 30.32076(2)p( xy)p( x1,y0)p( x2,y0) p( x3,y0)p( x2,y1) p( x3,y1)p(x3,y2)c1 0.6(0.4) 2 (0.3) 3c 2 (0.6) 2 0.4(0.3) 33333(0.6) 3 (0.3) 3c 2 (0.6) 2 0.4c1 0.7(0.3) 2(0.6) 3 c1 0.7(0.3) 2(0.6)3 c 2 (0.7) 2 0.333=0.2436. 设某机场每天有200 架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】 设 x 为某一时刻需立即降落的飞机数，则xb(200,0.02) ，设机场需配备n 条跑道， 则有p( xn )0.01200即k n 1k 200(0.02) k (0.98) 200 k0.01c利用泊松近似np2000.024.e 4 4 kp( xn )0.01k n 1k !查表得 n9.故机场至少应配备9 条跑道 .7. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001, 在某天的该时段内有1000 辆汽车通过， 问出事故的次数不小于2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】 设 x 表示出事故的次数，则xb（ 1000， 0.0001）p( x2)1p( x0)p( x1)1e 0.10.1e0.18. 已知在五重贝努里试验中成功的次数x 满足 p x=1= p x=2 ，求概率p x=4.【解】 设在每次试验中成功的概率为p，则c1 p(1p)4c 2 p 2 (1p)355故p134 1 4210所以p( x4)c5 ().332439. 设事件a 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 a 发生不少于3 次时，指示灯发出信号，（1） 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（ 1） 设 x 表示 5 次独立试验中a 发生的次数，则x6（ 5， 0.3）p( x553)ck (0.3) k (0.7) 5 k0.16308k 3(2) 令 y 表示 7 次独立试验中a 发生的次数，则yb（ 7， 0.3）p(y773)ck (0.3) k (0.7) 7 k0.35293k 310. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数x 服从参数为 （ 1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（ 1） 求某一天中午12 时至下午3 时没收到呼救的概率；（ 2） 求某一天中午12 时至下午5 时至少收到1 次呼救的概率.35【解】（ 1） p( x0)e 2(2)p( x1)1p( x0)1e 2211. 设 p x=k=c k pk (1p) 2k ,k=0,1,2p y=m=c m pm(1p) 4m ,m=0,1,2,3,44分别为随机变量x， y 的概率分布，如果已知p x 1= 5 ，试求 p y 1.9【解】 因为而p( x1)5 ， 故9p( x1)4 .9p( x1)p( x2420)(1p)故得(1p),9即从而p(y1)1p(yp0)1(11 .3p) 465810.8024712. 某教科书出版了2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】 令 x 为 2000 册书中错误的册数，则xb(2000,0.001). 利用泊松近似计算,np20000.0012e 2 25得p( x5)0.00185!13. 进行某种试验，成功的概率为3 ，失败的概率为1 .以 x 表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出x 的分布律，并计算x 取偶数的概率.【解】 x1,2, k,p( x1 k 1 3k)()44p( x2)p( x4)p( x2 k)1 31 3 31 2k 1 3()()4 44444134142511()414. 有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002 ，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费， 而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金 .求：（ 1） 保险公司亏本的概率 ;（ 2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、 20000 元的概率 .【解】 以“年”为单位来考虑 .（ 1） 在 1 月 1 日，保险公司总收入为 2500 12=30000 元.设 1 年中死亡人数为 x，则 xb(2500,0.002) ，则所求概率为p(2000 x30000)p( x15)1p( x14)由于 n 很大， p 很小， =np=5，故用泊松近似，有14 e 5 5kp( x15)10.000069k 0k !(2) p(保险公司获利不少于10000)p(300002000 x10000)p( x10)10 e 5 5k0.986305k 0k !即保险公司获利不少于10000 元的概率在98%p（保险公司获利不少于20000）p(300002000 x20000)p( x5)5e 5 5kk 0k !0.615961即保险公司获利不少于20000 元的概率约为62% 15.已知随机变量x 的密度函数为f(x)=ae |x|,x+ ,求：（ 1） a 值；（ 2） p0 x1;(3)f(x).【解】（ 1） 由故f ( x)dx1得1ae |x|dx1a.22ae0x dx2a11x11(2)p(0x1)edx(1e)2 02x 1x1x(3) 当 x0 时 ，f ( x)e dxe 22x 1|x|0 1 xx 1x当 x 0 时 ，f ( x)edxe dxedx220 211 e x2故f ( x)1 ex ,x0211 e xx0 216. 设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命x 的密度函数为f(x)=100 ,xx2100,0,x100.求：（ 1） 在开始150 小时内没有电子管损坏的概率；（ 2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（ 3） f（ x） .【解】（ 1）p( x150)150 100 dx1 .100x23p1 p( x150)3( 2)38(2)p21 12 24c3()3273 39(3) 当 x100 时 f（ x）=0x当 x 100 时 f ( x)f (t )dt100fx(t)dtf (t)dt100x 1001002 dt1100tx故f ( x)1100 ,x0,x100x017. 在区间 0， a上任意投掷一个质点，以x 表示这质点的坐标，设这质点落在0， a 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求x 的分布函数 .【解】由题意知x 0, a，密度函数为f ( x)1 ,0xa a0,其他故 当 xa 时， f（ x） =1即分布函数00 aaf ( x)0,x0x ,0xa a1,xa18. 设随机变量x 在2 ， 5 上服从均匀分布.现对 x 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率 .【解】 xu 2,5 ，即1 ,2x5f ( x)30,其他p( x3)5 1 dx2故所求概率为3 3322 2 132 320pc3 ()c3 ()33327119. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间x（以分钟计） 服从指数分布e() .某顾客在窗口5等待服务， 若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行5 次，以 y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求p y 1.【解】 依题意知1x e() ，即其密度函数为5x1 e 5 ,x0f ( x)50,x0该顾客未等到服务而离开的概率为y b(5,ep( x2) ,即其分布律为10)1 e10 5x5 dxe 25p(yk)ck (e2 ) k (1e 2 )5k , k0,1,2,3,4,5p(y1)1p(y0)1(1e2 ) 50.516720. 某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间x 服从 n（ 40， 102 ）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间x 服从 n（50， 42） .（ 1）若动身时离火车开车只有1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（ 2）又若离火车开车时间只有45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（ 1） 若走第一条路，xn（ 40， 102 ），则p( x60)px4060401010(2)0.97727若走第二条路，xn（ 50， 42），则p( x60)px50605044(2.5)0.9938 +故走第二条路乘上火车的把握大些.（ 2） 若 xn（40， 102），则p( x45)px4045401010(0.5)0.6915若 xn（ 50， 42），则p(x45)px50455044(1.25)1(1.25)0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 xn（3， 22），（ 1）求 p2 x5 ， p4x10 ， p x 2 ， p x 3;（ 2）确 定 c 使 p xc= p x c.【解】（ 1）p(2x5)p232x3532211(1)(1)1220.841310.69150.5328p(4x10)p43x310322222p(| x|2)p( x2)p( x2)770.9996px323px323222211511522220.691510.99380.6977(2) c=3p( x3)p(x33- 3)122(0)0.522.由某机器生产的螺栓长度（cm）xn（ 10.05,0.062）,规定长度在10.050.12 内为合格品 ,求一螺栓为不合格品的概率.【解】p(| x10.05|0.12)px10.050.120.060.061(2)(2)21(2)0.045623.一工厂生产的电子管寿命x（小时） 服从正态分布n（ 1602），若要求 p120 x200， 0.8，允许 最大不超过多少？【解】p (120x200)p120160x1602001604 04 024 0 10. 8故24. 设随机变量x 分布函数为401.2931.25f（x） =abext ,x0,(0),（ 1）求常数 a，b；（ 2）求 p x 2 ， p x 3 ；（ 3）求分布密度f（ x）.0,x0.【解】（ 1）由limxlimf ( x)1f ( x)lima1得f ( x)b1x0x0（ 2）p( x2)f (2)1e 2p( x3)1f (3)1(1e 3)e 3(3)f ( x)f (x)ex,x00,x025. 设随机变量x 的概率密度为f（ x） =x,2x,0x1,1x2,0,其他.求 x 的分布函数f（ x），并画出f（ x）及 f（ x） .【 解 】 当 x0 时 f（ x） =0当 0x1 时 f ( x)x0f (t )dtfx(t )dtf0(t )dtxx2tdt0当 1x0;bx, 10x1,(2)f (x)=2 ,x1x2,0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数f（ x） .【解】（ 1） 由f ( x)dx1知 1ae|x|dx2ae0xdx2a故即密度函数为af (x)2ex ,x02e xx02当 x 0 时 f ( x)xf ( x)dxe x dx1 e xx22当 x0 时f (x)xf ( x)dxe xdx02ex dxx0 211 ex2故其分布函数f ( x)11 ex,x021 e x ,x022(2) 由 112f ( x)d xbxdx1 dxb101得b=1即 x 的密度函数为x22x,0x1f (x)1 ,1x2x2当 x 0 时 f（ x） =0x0,其他0x当 0x1 时f ( x)f ( x)dxf(x)dxf0(x)d xxx2xdx当 1x0 时 ，fy (y)p(yy)p(e xy)p( xln y)ln yfx (x)d x故f( y)dfy ( y)1 f(ln y)11e ln 2 y / 2 , y0yxdyyy2(2) p(y2 x 211)1当 y 1 时 fy ( y)p(yy)0当 y1 时 fy( y)p(yy)p(2 x 21y)px 2y1p2y1xy122( y 1)/ 2( y 1)/ 2f x ( x)dx故f( y)df ( y)12fy1fy1yyxxdy4y122121e ( y1)/ 4 , y12y12(3)p(y0)1当 y 0 时 fy ( y)p(yy)0当 y0 时 fy ( y)p (| x |y)p(yxy)故 f( y)y yd f ( y)fx (x)dxf( y)f(y)yyxxdy2y 2 / 2e, y02 31. 设随机变量xu（ 0,1），试求：（ 1）y=ex 的分布函数及密度函数；（ 2）z= 2lnx 的分布函数及密度函数.【解】（ 1）p(0x1)1故p( 1yexe )1当 y1 时 fy ( y)p(yy)0当 1ye 时fy ( y)p (exy)p( xln y)ln ydx0ln y当 ye 时 fy( y)p (exy) 1即分布函数故 y 的密度函数为0,fy ( y)ln 1,y1y,1ye yefy ( y)11ye y,0,其他（ 2） 由 p（ 0x0 时 ， fz ( z)p(zz)0z)p(2lnxz)p(ln x1dxz) p(x 21e z/ 2e z/ 2 )e z/ 2即分布函数0,z0故 z 的密度函数为fz ( z)1-e- z/ 2 ,z01 efz ( z)20,z/ 2,z0z032. 设随机变量x 的密度函数为2f(x)=2x ,0x, 试求 y=sinx 的密度函数 .0,其他.【解】p (0y1)1当 y0 时 ，fy ( y)p(yy)0fy ( y)p(yy)p (sin xy)p (0xarcsin y)p( arcsin yx)当 0y1 时 ，arcsin y 2x dx2x dx02 arcsin y 212122（ arcsin y）1-2（-arcsin y）当 y1 时 ，fy ( y)12 arcsin y故 y 的密度函数为221,0y1fy ( y)1y0,其他33. 设随机变量x 的分布函数如下：f ( x)11x2 ,(2),x(1),x(3).试填上 (1),(2),(3) 项.【解】 由 limxf ( x)1知填 1。由右连续性lim0xx+f (x)f ( x0 )1 知 x00 ，故为0。从而亦为0。即1,x0f ( x)1x21,x034. 同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6 点为止，求抛掷次数x 的分布律 .【解】 设 a = 第 i 枚骰子出现6 点 。（ i=1,2 ）,p(a )= 1 .且 a与 a 相互独立。再设c= 每次i抛掷出现6 点 。则i126p(c)p( a1a2 )p( a1 )p( a2 )p( a1) p( a2 )故抛掷次数x 服从参数为11111166663611的几何分布。3635. 随机数字序列要多长才能使数字0 至少出现一次的概率不小于0.9?【解】 令 x 为 0 出现的次数，设数字序列中要包含n 个数字，则nxb(n,0.1)p( x1)1p( x0)1c0 (0.1)0 (0.9) n0.9即(0.9) n0.1得n 22即随机数字序列至少要有22 个数字。36. 已知0,1f（ x） =x, 21,x0,10x,2x1 .2则 f（ x） 是（）随机变量的分布函数.（ a）连续型；（b）离散型；（ c）非连续亦非离散型.【解】 因为 f（ x）在（,+）上单调不减右连续，且limxf ( x)0limxf ( x)1 ,所以 f（ x）是一个分布函数。但是 f（ x）在 x=0 处不连续，也不是阶梯状曲线，故f（ x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（c）37. 设在区间 a,b 上，随机变量x 的密度函数为f(x)=sin x，而在 a,b外， f(x)=0，则区间 a,b等于（）(a)0, /2;(b)0, ;3(c)/2,0;(d)0,.2【解】 在上 sinx 0，且/ 20,2sin xdx01 .故 f(x)是密度函数。在0, 上sin0xdx2 1 .故 f(x)不是密度函数。在,0上 sin x0 ，故 f(x)不是密度函数。23在0, 上，当 x 2故选（ a）。3 时， sinx0） =1，故 01 e 2x1，即 p（0y1）=1当 y0 时， fy（ y） =0当 y1 时， fy（ y） =1当 0y1 时 ，fy ( y)p(yy)p( x1p (e1 ln(122 x1y)y)即 y 的密度函数为ln(120y) 2e 2 xdxy1,0y1即 yu（ 0， 1）41. 设随机变量x 的密度函数为f y ( y)0,其他f(x)=1 ,0x1,32 ,3x6,90,其他.若 k 使得 p x k=2/3 ，求 k 的取值范围 .(2000 研 考 )【解】 由 p（ x k） = 2 知 p（ xk）= 133若 k0,p(xk)=0k 1k1若 0k 1,p(xk)=dx0 3331当 k=1 时 p（xk）=3若 1k 3 时 p（ xk） =1 1 dxk10dx0 313若 3k 6， 则 p（ x6, 则 p（xk） =13 9933故只有当1 k3 时满足 p（ x k） = 2 .342. 设随机变量x 的分布函数为f(x)=0,0.4,x1,1x1,0.8,1,1x3,x3.求 x 的概率分布 .（1991 研考）【解】 由离散型随机变量x 分布律与分布函数之间的关系，可知x 的概率分布为x113p0.40.40.243. 设三次独立试验中，事件 a 出现的概率相等.若已知 a 至少出现一次的概率为19/27 ，求 a在一次试验中出现的概率.【解】 令 x 为三次独立试验中a 出现的次数，若设p（ a）=p,则xb(3,p)由 p（ x1） = 1927知 p（ x=0） =（ 1 p） 3= 827故 p= 1344. 若随机变量x 在（ 1， 6）上服从均匀分布，则方程y2+xy+1=0 有实根的概率是多少？【解】1 ,1x6f ( x)5p( x 240)p( x0,其他2)p( x2)p( x2)4545.若随机变量xn（2， 2），且 p2 x4=0.3 ，则p x0=.【解】0.3p(2x4)p(22x242)( 2 )(0)(故(2 )0.52 )0.8因此p( x0)p( x1(202)(2 )2 )0.246. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7 可以直接出厂；以概率0.3 需进一步调试，经调试后以概率0.8 可以出厂，以概率0.2 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（ 1）全部能出厂的概率 ；（ 2）其中恰好有两台不能出厂的概率 ；（ 3）其中至少有两台不能出厂的概率 .【解】 设 a= 需进一步调试 ， b= 仪器能出厂 ，则a = 能直接出厂 ， ab= 经调试后能出厂由题意知b= a ab ，且p( a)0.3,p( b | a)0.8p( ab)p( a) p( b | a)0.30.80.24p( b)p( a)p( ab)0.70.240.94令 x 为新生产的n 台仪器中能出厂的台数，则x6（n， 0.94）,故p( xn)(0.94) np(