余弦定理证明(精选多篇)

余弦定理证明(精选多篇) 第一篇：余弦定理证明过程 第二篇：余弦定理证明 第三篇：余弦定理证明过程 第四篇：余弦定理的证明方法 第五篇：高考考余弦定理证明 更多相关范文 在abc中，设bca，acb，abc，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rtbdc中，边a可利用勾股定理用c、b表示，而cd可在rtac中利用边角关系表示，db可利用abad转化为ad，进而在rtac内求解。 解：过c作cdab，垂足为d，则在rtcb中，根据勾股定理可得： a2c2b2 在rtac中，c2b2a2 又b2（ca）2c22caa2 a2b2a2c22caa2b2c2 2ca 又在rtac中，adbcosa a2b2c22bosa类似地可以证明b2a2c22aosb，c2a2b22abcosc 余弦定理证明 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 证毕。 余弦定理证明过程 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 证毕。 2 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述m(更多好范文请关注：)a表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 证毕。 余弦定理的证明方法 在abc中，ab=c、bc=a、ca=b 则c2=a2+b2-2ab*cosc a2=b2+c2-2bc*cosa b2=a2+c2-2ac*cosb 下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。 过a作adbc于d，则bd+cd=a 由勾股定理得： c2=(ad)2+(bd)2，(ad)2=b2-(cd)2 所以c2=(ad)2-(cd)2+b2 =(a-cd)2-(cd)2+b2 =a2-2a*cd+(cd)2-(cd)2+b2 =a2+b2-2a*cd 因为cosc=cd/b 所以cd=b*cosc 所以c2=a2+b2-2ab*cosc 在任意abc中,作adbc. c对边为c，b对边为b，a对边为a- bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c 勾股定理可知： ac?=ad?+dc? b?=(sinb*c)?+(a-cosb*c)? b?=sin?b*c?+a?+cos?b*c?-2ac*cosb b?=(sin?b+cos?b)*c?-2ac*cosb+a? b?=c?+a?-2ac*cosb 所以，cosb=(c?+a?-b?)/2ac 2 如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(osa，csina).cb=(osa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(osa-b，csina)asinc=csina-acosc=osa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-osa，平方得：a2cos2c=b2-2bosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bosa.同理可证b2=a2+c2-2aosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明: mb=(1/2) mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 同理可得： mb= mc= 4 ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb) =(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb) 由b2=a2+c2-2ac*cosb 得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式： ma=(1/2) =(1/2)(2b2+2c2-a2) 证毕。 从高考考余弦定理证明谈起【题1】 叙述并证明勾股定理（1979年全国卷，四题）. 【说明】 这道大题，在总分为110分的考卷上，理科占6分，文科占9分.理科的评分标准是：（1）叙述勾股定理（2分）；（2）证明勾股定理（4分）. 【题2】 （1980理科四题（满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明 【插话】 对这道题目，人们虽然不感到新鲜，但有一个期待，期待着标准答案中有“新鲜东西”出现.后来一看，非常“失望”，该题对余弦定理的证明，依赖的仍然是勾股定理. 【题3】（xx年四川） （文）（19）（本小题满分12分） ； 2由推导两角和的正弦公式 ，求.（）1证明两角和的余弦公式（）已知 解：(1)如图，在执教坐标系xoy内做单位圆o，并作出角、与，使角的始边为ox，交o于点p1，终边交o于p2；角的始边为op2，终边交o于p3；角的始边为op1，终边交o于p4. 则p1(1,0),p2(cos,sin) p3(cos(),sin(),p4(cos(),sin() 由p1p3p2p4及两点间的距离公式，得 cos()1sin()cos()cossin()sin 展开并得：22cos()22(coscossinsin) cos()coscossinsin.?由易得cos( sin()cos cos()cos()() )sin,sin()cos 2222)cos()sin()sin() sincoscossin?6分 (2)(,),cos sin (，),tan cos,sin cos()coscossinsin ()()( ) （理）（19）（本小题满分12分） （）1证明两角和的余弦公式 2由推导两角和的正弦公式 ，且，求cosc. ； . （）已知abc的面积 解：(1)如图，在执教坐标系xoy内做单位圆o，并作出角、与，使角的始边为ox， 交o于点p1，终边交o于p2；角的始边为op2，终边交o于p3；角的始边为op1，终边交o于p4. 则p1(1,0),p2(cos,sin)p3(cos(),sin(),p4(cos(),sin() 由p1p3p2p4及两点间的距离公式，得 cos()12sin2()cos()cos2sin()sin2 展开并得：22cos()22(coscossinsin)