泛函分析).doc

哈尔滨师范大学恒星学院 2010-2011学年 第1学期 Term1 2010-2011 Academic Year Harbin Normal University Star College 试述Hilbert空间、Banach空间、 距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系摘要:讨论了Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间的概念及空间之间的关系。关键词:Hilbert空间、Banach空间、距离空间、拓扑空间1、 Hilbert空间 定义1.1 设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意满足： 1）,当且仅当； 2）； 3）； 4）。称是上的一个内积，上定义了内积为内积空间。从定义可以看出，内积对于每一，是上的一个线性泛函；当时，对于每一，是上的一个共轭线性泛函，即它是可加的并且是共轭齐次的：定理1.1（Schwarz不等式） 设是内积空间，则对任意有称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert空间. 例1.1 是Hilbert空间 与类似，由Holder不等式，对任意， 在上定义内积 有这个内积产生的范数为 由此可知是Hilbert空间例1.2 设区间上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意，定义是则与类似，是一个内积，由内积的范数为 是内积空间单不是Hilbert空间。定理1.2 设是内积空间，则内积是x,y的连续函数，即当定理1.3 设是内积空间，则对任意，有以下关系式成立，1） 平行四边形法则： ；2）极化恒等式：.发的发注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。公式1）是有一个简单的几何解释，它表示任一平行四边形两对角线长度平方之和等于四个边长度平方之和，所以称它为平行四边形法则，下面我们将看到，这个简单的性质，实际上是内积空间的一个特征性质。极化恒等式也是一个很有用的公式，它使我们可以把内积通过范数来表示。定理4 设是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在中定义一个内积，使得由它产生的范数正是中原来的范数.2、 Banach空间 定义2.1 设是域K(实数域或复数域)上的线性空间，函数:满足条件： 1) 对任意； 2) 对任意； 3) 对任意.称是上的一个范数，上定义了范数称为赋范（线性）空间，记为，有时简记为.在一个赋范线性空间中通过范数可以自然地定义一距离， 事实上，由范数公理，对任意.完备的内积空间U称为Hilbert空间，记作H （即内积空间U按距是完备的，亦是Banach空间）定理2.1 是赋范空间，如果是完备的且级数收敛，则级数收敛且。例2.1 设是上所有连续函数全体按通常防护四定义线性运算构成的线性空间，对于每一个上的连续函数，令。是一个赋范空间。这个空间不完备，所以不是Banach空间。3、 距离空间定义3.1 设是任一非空集，对中任意两点有一实数与之对应且满足： 1)2) ；3) .称为中的一个距离，定义了距离的集称为一个距离空间，记为，在不引起混乱的情形下简记为.例3.1 考虑区间上所有连续函数集，设是上任意两个连续函数，定义,由于也是上的连续函数，因此有最大值.距离公理显然成立.设是上任意三个连续函数，则,所以.上的连续函数全体赋以上述距离是一个距离空间，记它.定理3.1 设是距离空间中的收敛点列，则：1) 的极限是惟一的；2) 如果是的极限，那么的任一子列必收敛且以为极限. 定理3.2 设是距离空间,则 . 距离空间的连续映射,等距. 四、拓扑空间拓扑线性空间至今仍然是现代数学乃至自然科学中与之有关的各种问题和理论讨论或阐述的最广泛的框架. 定义4.1 设是任一集，是的子集构成的集族，且满足条件：1) 集与空集属于;2) 中任意个集的并集属于；3) 中任意有穷个集的交集属于.则称是上的一个拓扑.集上定义了拓扑，称它是一个拓扑空间，记为. 例4.1 设是任一集，令是的所有子集构成的集族，是一个拓扑空间。如果在同一集中令，也是一个拓扑空间。设在同一集上有两个拓扑，。如果，则称拓扑比拓扑弱或者拓扑比拓扑强。设是一集，如果它的余集是开集，则称是闭集。由公式deMorgan，立即可得以下基本性质1)全空间及空集是闭集；2)任意个闭集的交集是闭集； 3)任意有穷个闭集的并集是闭集。拓扑线性空间是一类其线性结构与最一般的拓扑结构有机结合起来的集合.有关拓扑线性空间的理论就是研究这种拓扑代数结构以及把它们应用于分析问题的方法.拓扑线性空间理论作为泛函分析学科的一个分支产生于20世纪4050年代.在这段时期以前,人们集中地研究了度量空间上的类似结构,这主要是Hilbert空间和Banach空间以及这些空间上的算子.从Hilber