博弈论复习题及答案

博弈论判断题（ 每小题 1 分，共 15 分）囚徒困境说明个人的理性选择不一定是集体的理性选择。（ ） 子博弈精炼纳什均衡不是一个纳什均衡。（ ）若一个博弈出现了皆大欢喜的结局，说明该博弈是一个合作的正和博弈。（）博弈中知道越多的一方越有利。 （） 纳什均衡一定是上策均衡。（ ）上策均衡一定是纳什均衡。（）在一个博弈中只可能存在一个纳什均衡。（） 在一个博弈中博弈方可以有很多个。（）在一个博弈中如果存在多个纳什均衡则不存在上策均衡。（ ） 在博弈中纳什均衡是博弈双方能获得的最好结果。（ ）在博弈中如果某博弈方改变策略后得益增加则另一博弈方得益减少。（ ） 上策均衡是帕累托最优的均衡。（）因为零和博弈中博弈方之间关系都是竞争性的、对立的，因此零和博弈就是非合作博弈。（）在动态博弈中， 因为后行动的博弈方可以先观察对方行为后再选择行为，因此总是有利的。（）在博弈中存在着先动优势和后动优势，所以后行动的人不一定总有利，例如：在精品资料斯塔克伯格模型中，企业就可能具有先动优势。囚徒的困境博弈中两个囚徒之所以会处于困境，无法得到较理想的结果， 是因为两囚徒都不在乎坐牢时间长短本身，只在乎不能比对方坐牢的时间更长。（）纳什均衡即任一博弈方单独改变策略都只能得到更小利益的策略组合。（） 不存在纯战略纳什均衡和存在惟一的纯战略纳什均衡， 作为原博弈构成的有限次重复博弈， 共同特点是重复博弈本质上不过是原博弈的简单重复， 重复博弈的子博弈完美纳什均衡就是每次重复采用原博弈的纳什均衡。（ ）多个纯战略纳什均衡博弈的有限次重复博弈子博弈完美纳什均衡路径： 两阶段都采用原博弈同一个纯战略纳什均衡， 或者轮流采用不同纯战略纳什均衡， 或者两次都采用混合战略纳什均衡，或者混合战略和纯战略轮流采用。（ ）如果阶段博弈 g=a1, a2,an; u1, u2,un) 具有多重 nash 均衡，那么可能（但不必）存在重复博弈 g(t) 的子博弈完美均衡结局，其中对于任意的tt ，在t阶段的结局并不是 g的nash 均衡。（ ）（或：如果阶段博弈g=a1, a2,an; u1, u2,un) 具有多重 nash 均衡，那么该重复博弈g(t) 的子博弈完美均衡结局，对于任意的 t10 ，000 ，则该笔钱就没收。 问该博弈的纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方， 你会选择什么数额？为什么？答十、纳什均衡有无数个。最可能的结果是（5000 ， 5000 ）这个聚点均衡。9、北方航空公司和新华航空公司分享了从北京到南方冬天度假胜地的市场。如果它们合作，各获得500000 元的垄断利润， 但不受限制的竞争会使每一方的利润降至 60000 元。如果一方在价格决策方面选择合作而另一方却选择降低价格，则合作的厂商获利将为零，竞争厂商将获利900000 元 。（1） 将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。北方航空公司（2） 解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。答：（1）用囚徒困境的博弈表示如下表：合作竞争合作500000 ，5000000，900000新华航空公司竞争900000 ，060000 ，60000（ 2 ） 如果 新华 航空 公司 选择竞争， 则 北方 航空 公司 也会选择竞争（ 600000 ）； 若新 华航 空公 司选 择合 作， 北方 航空 公司 仍会 选择竞争（ 900000500000）。若北方航空公司选择竞争，新华航空公司也将选择竞争（ 600000 ）； 若北 方航 空公 司选 择合 作， 新华 航空 公司 仍会 选择竞争（ 9000000 ）。由于双方总偏好竞争， 故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略， 每一家公司所获利润均为600000 元 。12 、设啤酒市场上有两家厂商，各自选择是生产高价啤酒还是低价啤酒，相应的利润（单位：万元）由下图的得益矩阵给出：（1） ）有哪些结果是纳什均衡？（2） ）两厂商合作的结果是什么？答（ 1）（低价，高价），（高价，低价）（2）（低价，高价）13 、a、b 两企业利用广告进行竞争。若a、b 两企业都做广告，在未来销售中， a 企业可以获得20 万元利润， b 企业可获得8 万元利润；若a 企业做广告， b 企业不做广告， a 企业可获得25 万元利润， b 企业可获得2 万元利润；若a 企业不做广告， b 企业做广告， a 企业可获得10 万元利润， b 企业可获得12 万 元利润；若 a、b 两企业都不做广告， a 企业可获得30 万元利润， b 企业可获得6 万元利润。（1） 画出 a、b 两企业的支付矩阵。（2） 求纳什均衡。3.答：（1）由题目中所提供的信息，可画出a、b 两企业的支付矩阵（如下表）。b 企业做广告不做广告a 企业做广告20 ，825，2不做广告10，1230，6（2）因为这是一个简单的完全信息静态博弈，对于纯策纳什均衡解可运用划横线法求解。如果 a 厂商做广告，则b 厂商的最优选择是做广告，因为做广告所获得的利润 8 大于不做广告获得的利润2，故在 8 下面划一横线。如果 a 厂商不做广告，则 b 厂商的最优选择也是做广告，因为做广告获得的利润为12 ，而不做广告的利润为 6，故在 12 下面划一横线。如果 b 厂商做广告，则a 厂商的最优选择是做广告，因为做广告获得的利润 20 大于不做广告所获得的利润10，故在 20 下面划一横线。如果b 厂商不做广告， a 厂商的最优选择是不做广告，因为不做广告获得的利润30 大于做广告所获得的利润25 ，故在 30 下面划一横线。在本题中不存在混合策略的纳什均衡解，因此，最终的纯策略纳什均衡就是a、b 两厂商都做广告。15 、求出下面博弈的纳什均衡(含纯策略和混合策略)。乙lru5,00,8甲d2,64,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略nash 均衡。可得如下不等式组q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,r=0+5-8-6=-9,r=-1可得混合策略nash 均衡(1 , 8 ),(4 , 3 )997716 、某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得益矩阵给出：(1)该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?参考答案：由划线法可知， 该矩阵博弈有两个纯策略nash 均衡，即(低质量, 高质量)， (高质量,低质量)。乙企业高质量低质量高质甲企量业低质量50,50100,800900,600-20,-30该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,r= -1380,r= -630，可得 x12 , y9763138因此该问题的混合纳什均衡为128563 (,), (,75 ) 。979713813817 、甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。 试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？乙企业开发不开发甲企开发-10,-10100,0业不开0,1000,0发解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。10, 10100, 00,1000,0所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发, 开发)。该博弈还有一个混合的纳什均衡( 10 , 1 ),( 10 , 1 ) 。11 1111 11如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位 , 则收益矩阵变为：10, 10a0,100a100 ,00,0,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需 a10 。此时乙企业的收益为100+ a。18 、博弈的收益矩阵如下表：乙左右上a，bc，d甲下e， fg，h（1） 如果（上，左）是占优策略均衡，则a、b、c、d、e、f、g、h 之间必然满足哪些关系？（尽量把所有必要的关系式都写出来）（2） 如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？（3） 如果（上，左）是占优策略均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？（4） 在什么情况下，纯战略纳什均衡不存在？答：（1） ae ， cg ， bd ， fh 。本题另外一个思考角度是从占优策略均衡的定义出发。对乙而言，占优策略为(b, f )( d,h) ；而对甲而言，占优策略为( a, c)(e, g) 。综合起来可得到所需结论。（2） 纳什均衡只需满足：甲选上的策略时，bd ，同时乙选左的策略时，ae 。故本题中纳什均衡的条件为：bd ， ae 。（3） 占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均衡的条件。（4） 当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什均衡就不存在。19 、smith 和 john 玩数字匹配游戏， 每个人选择1、2、3，如果数字相同，john给 smith 3 美元，如果不同， smith 给 john 1 美元。（1） 列出收益矩阵。（2） 如果参与者以1/3的概率选择每一个数字，证明该混合策略存在一个纳什均衡，它为多少？答：（1）此博弈的收益矩阵如下表。该博弈是零和博弈，无纳什均衡。john12313，-3-1，1-1，1smith2-1 ，13， -3-1，13-1 ，1-1，13，-3（2）smith 选（ 1/3， 1/3 ，1/3 ）的混合概率时，john 选 1 的效用为： u 1john 选 2 的效用为： u 2john 选 3 的效用为： u 31(3)31113311133113(3)1131113311133(3)13类似地， john 选（ 1/3 ，1/3 ，1/3 ）的混合概率时，smith 选 1 的效用为： smith 选 2 的效用为： smith 选 3 的效用为：11u3133u(211)3u(311)3(1)13131331(1)3(1)13(1)1313133uuu， u 1u 2u 3 ，所以：( 1 , 13 31 ), ( 1,33, 1 , 1)3 3是纳什均衡，策略值分别为john ：u1 ；smith ：u 1 。33220 、假设双头垄断企业的成本函数分别为：c120q1 ， c22q2 ，市场需求曲线为 p4002q ，其中， qq1q2 。（1） 求出古诺（ cournot ）均衡情况下的产量、价格和利润，求出各自的反应和等利润曲线，并图示均衡点。（2） 求出斯塔克博格（ stackelberg ）均衡情况下的产量、价格和利润，并以图形表示。（3） 说明导致上述两种均衡结果差异的原因。答：（1）对于垄断企业1 来说：max4002(q1q2 ) q120q12q1190q2这是垄断企业1 的反应函数。其等利润曲线为：1380q12q1q22q21对垄断企业2 来说：max4002(q12q1q2 )q22q2q2504这是垄断企业2 的反应函数。其等利润曲线为：2400q22q1q24q 22在达到均衡时，有：190q150q1 42q180q230均衡时的价格为：p4002(8030)180两垄断企业的利润分别为：138080240030280302803028024302128003600均衡点可图示为：1902业企企业 1 的反应线均衡点095200企 业 1（2）当垄断企业1 为领导者时，企业2 视企业 1 的产量为既定，其反应函数为：q250q1 / 4则企业 1 的问题可简化为：max 4002 q150q14q120q1q1280 / 3q280 / 3均衡时价格为：p4002 2803803160利润为：139200/ 3 ，225600/ 9该均衡可用下图表示：190企业 1 的反应线2业企stackelberg 均 衡50企业 2 的反应线095200企 业 1企业 2 领先时可依此类推。（3）当企业 1 为领先者时，其获得的利润要比古诺竞争下多。而企业2 获得的利润较少。这是因为，企业1 先行动时，其能考虑企业2 的反应，并以此来制定自己的生产计划，而企业2 只能被动地接受企业1 的既定产量，计划自己的产出，这是一种“先动优势”21 、在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q 1 -q2-q 3，这里qi是企业 i 的产量。每一企业生产的单位成本为常数c。三企业决定各自产量的顺序如下： (1)企业 1 首先选择q10；(2) 企业 2 和企业 3 观察到 q1 ，然后同时分别选择 q2 和 q3 。试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1 选择产量q1，第二阶段企业2 和 3观测到q1 后，他们之间作一完全信息的静态博弈。我们按照逆向递归法对博弈进行求解。（1） ）假设企业1 已选定产量q1 ，先进行第二阶段的计算。设企业2， 3 的利润函数分别为：2(aq1q 2 3(aq1q2q 3 )q 2q3 )q2cq2 cq3由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：12aq q 22q 2q3c0（ 1）3aq1q2 q 32q3c0（ 2）求解（ 1）、（ 2）组成的方程组有：qq*aq1c233（ 3）（2） ）现进行第一阶段的博弈分析：对与企业 1，其利润函数为；1(aq1q2q3 )q1cq1将（ 3）代入可得：q1(aq1c)13（ 4）式（ 4）对 q1 求导：1a2q1c0 q1解得：q*1 (ac)12（ 5）1此时，*1 ( a12c) 22q3（3） ）将式（ 5）代回（ 3）和（ 4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：q1*1 (a2c) , q*1 (ac) 625 、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的 20 倍， 市场需求函数为 q=200-p 。求（ 1）若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？（ 2）若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？ 答：（1）分别求反应函数，180-2q1-q2=0 ， 180-q1-2q2=0 ，q1=q2=60（2）200-2q=20 ，q=90 ， q1=q2=4526 、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资则总有借口扣掉 60 元工资，工人不偷懒老板有 150 元产出，而工人偷懒时老板只有 80 元产出， 但老板在支付工资之前无法知道实际产出， 这些情况双方都知道。请问：（1） ）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？用得益矩阵或扩展形表示该博弈并作简单分析。（2） ）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？用得益矩阵或扩展形表示该博弈并作简单分析。（1）完全信息动态博弈。博弈结果应该是工人偷懒，老板克扣。（2）完全信息静态博弈，结果仍然是工人偷懒，老板克扣。27 、举一个你在现实生活中遇到的囚犯两难困境的例子。答：在校园的人行道交叉路口，无需红绿灯。 现在两人分别骑车从东西方向和南北方向通过路口。若同时往前冲，必定相撞，各自支付为（-2 ，-2）；若同时停下，都不能按时前进，支付为（0，0）；若一人前进一人停下，支付为（2， 0）或（ 0，2）。相应的策略和支付矩阵如下表。乙前进停下前进-2，-22，0甲停下0，20，028 、给定两家酿酒企业a、b 的收益矩阵如下表：a 企业白酒啤酒白酒700 ，600900 ， 1000b 企业啤酒800 ，900600 ，800表中每组数字前面一个表示b 企业的收益， 后一个数字表示b 企业的收益。（1） 求出该博弈问题的均衡解，是占优策略均衡还是纳什均衡？（2） 存在帕累托改进吗？如果存在，在什么条件下可以实现？福利增量是多少？（3） 如何改变上述a、b 企业的收益才能使均衡成为纳什均衡或占优策略均衡？如何改变上述a、b 企业的收益才能使该博弈不存在均衡？答：（ 1 ）有两个纳什均衡，即（啤酒，白酒） 、（白酒，啤酒），都是纳什均衡而不是占优策略均衡。（2）显然，（白酒，啤酒）是最佳均衡，此时双方均获得其最大收益。若均衡解为（啤酒，白酒） ，则存在帕累托改善的可能。方法是双方沟通，共同做出理性选择，也可由一方向另一方支付报酬。福利由800+900变 为 900+1000 ， 增量为 200 。（3）如将（啤酒，白酒）支付改为（1000 ，1100 ），则（啤酒，白酒）就成为占优策略均衡。比如将（啤酒，白酒）支付改为（800 ，500 ），将（白酒，啤酒）支付改为（900 ，500 ），则该博弈就不存在任何占优策略均衡或纳什均衡。30 、在纳税检查的博弈中，假设a 为应纳税款， c 为检查成本， f 是偷税罚款， 且 c1/4时，才存在子博弈完美纳什i ( s* )pi (sc)514均衡。37 、在bertrand 价格博弈中，假定有n个生产企业，需求函数为p=a-q ，其中 p是市场价格， q是n个生产企业的总供给量。假定博弈重复无穷多次，每次的价格都立即被观测到，企业使用“触发策略 ”(一旦某个企业选择垄断价格，则执行“冷酷策略 ”)。求使垄断价格可以作为完美均衡结果出现的最低贴现因子 是多少。并请解释与 n的关系。分析：此题可分解为3个步骤（1） ） n个企业合作，产量总和为垄断产量，价格为垄断价格，然后平分利润。（2） ）其中一个企业采取欺骗手段降价，那个这家企业就占有的全部市场，获得垄断利润（3） ）其他企业触发战略，将价格降到等于边际成本，所有的企业利润为零。参考答案：（1） ）设每个企业的边际成本为c，固定成本为 0 p=a-qtr=p*q=(a-q)*q mr=a-2q因为： mr=mca-2q=c则:q=(a-c)/2 p=(a+c)/2=(p-c)*q=(a-c)2/4每家企业的利润为(a-c)2/4n（2） ）假设a企业自主降价，虽然只是微小的价格调整，但足以占领整个市场， 获得所有的垄断利润 (a-c)2/4（3） ）其他企业在下一期采取冷酷策略，使得所有企业的利润为0考虑：a企业不降价：(a-c)2/4n ，(a-c)2/4n ，a企业降价：(a-c)2/4 ，0，使垄断价格可以作为完美均衡结果，就要使得不降价的贴现值大于等于降价的贴现值。设贴现因子为a不降价的贴现值：(a-c)2/4n1/(1-)a降价的现值：(a-c)2/4于是： (a-c)2/4n1/(1-) (a-c)2/4解得：1-1/n38 、 假设 某劳 动市 场为 完全 竞争 市场 , 其 供 求函 数如 下:sl:w=120+2l dl:w=360-l0.50.5已知某厂商 (在完全竞争市场下)的生产函数为f(l,k)=10lk(k=100)且其产品的需求与供给函数分别为d:p=60-2q s: p=20+2q试求(a)该厂商的 ac l,mcl及vmp l各为多少 ? (b)劳动工资为多少 ? 厂商会雇用多少劳动?由： sl=d l解得： w=280由于产品市场为完全竞争市场，且要素市场