高考数学一轮复习专题3.1三角函数定义及运用练习（含解析）.docx

第一讲 三角函数的定义及运用【套路秘籍】-千里之行始于足下一任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成k360(kZ)(3)弧度制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径弧度与角度的换算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度弧长公式：l|r.二任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r0)则sin ，cos ，tan (x0)2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin cos tan 3.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 角度值、弧度制、终边相同角【例1】（1）sin53的值为（ ）A -12B-32C12D32（2）2100的弧度数是（ ）A353B10C283D253（3）角=-60+k180(kZ)的终边落在（ ）A第四象限 B第一、二象限 C第一象限 D第二、四象限【答案】（1）B （2）A （3）D【解析】（1）由题意可得：sin53=sin2-3=-sin3=-32.故选：B.（2）由题意得2100=2100180=353，故选A.（3）令k=0，=-60，在第四象限；再令k=1，=120，在第二象限答案选D【套路总结】1.弧度与角度的换算：3602 rad；180 rad；1 rad；1 rad度2.终边与角相同的角可写成k360(kZ)【举一反三】1角870的终边所在的象限是第_象限【答案】三【解析】由8701 080210，知870角和210角的终边相同，在第三象限2.若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=-3x上，则角的取值集合是（ ）A|=2k-3,kZ B|=2k+23,kZC|=k-23,kZ D|=k-3,kZ【答案】D【解析】因为直线y=-3x的倾斜角是23 ，所以终边落在直线y=-3x上的角的取值集合为 |=k-3,kZ或者|=k+23,kZ.故选D. 3已知A=第一象限角，B=锐角，C=小于90的角，那么A，B，C的关系是（ ）AB=ACBBC=CCABCDA=B=C【答案】B【解析】A=第一象限角=|k360k360+90,kZ；B=锐角=|090；C=小于90的角=|0)则sin ，cos ，tan (x0)【举一反三】1在平面直角坐标系中，是角终边上的一点，则（）ABCD【答案】B【解析】因为是角终边上的一点，所以由三角函数定义得，所以故选：B2.已知角的终边经过点P(x，6)，且tan ，则x的值为_【答案】10【解析】根据三角函数的定义，得tan ，所以x10.3已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为_【答案】【解析】由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，解得m，又cos 0，所以8m0，所以m.4若角的终边与直线y3x重合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且OP，则mn_.【答案】2【解析】由已知tan 3，n3m，又m2n210，m21.又sin 0，m1，n3.故mn2.5点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_【答案】【解析】点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin .考向三 三角函数正负判断【例3】（1）如果sin0且tan0，则角的终边可能位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)设是第三象限角，且cos ，则是第_象限角【答案】（1）D （2）二【解析】（1）由sin0，则角为位于第三、四象限，又由tan0，则角为位于第二、四象限，所以角为位于第四象限，故选D（2）由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos ，cos 0，sin cos 0，sin 0，cos 0或sin 0，cos 0，cos 0时，为第一象限角，当sin 0，cos 0时，为第三象限角sin cos 0，为第三象限角2若是第三象限角，则y_.【答案】0【解析】由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角当是第二象限角时，y110；当是第四象限角时，y110.综上可知，y0.考向四 三角函数线运用【例4】(1)满足cos 的角的集合是_(2)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小关系是_【答案】（1） （2）sin cos tan 【解析】（1）作直线x交单位圆于C，D两点，连结OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.（2）如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos cos x成立的x的取值范围是_【答案】【解析】当x时，sin x0，cos x0，显然sin xcos x成立；当x时，如图，OA为x的终边，此时sin xMA，cos xOM，sin xcos x；当x时，如图，OB为x的终边，此时sin xNB，cos xON，sin xcos x同理当x时，sin xcos x；当x时，sin xcos x.2函数y 的定义域为_【答案】，kZ【解析】利用三角函数线(如图)，由sin x，可知2kx2k，kZ.考向五 弧度制及其运用【例5】（1）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.若，R10 cm，求扇形的面积(2)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积(3)若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】（1) (2) (3)2 rad.【解析】(1)由已知得，R10 cm，S扇形R2102(cm2)(2)lR10(cm)，S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2)(3)由已知得，l2R20，则l202R(0R10)所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.【套路总结】应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形【举一反三】1.已知扇形的圆心角为a，所在圆的半径为r.（1）若a=120,r=6，为扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当a为多少弧度时，该扇形面积S最大？并求出最大面积.【答案】（1）l=4（2）a=2，S有最大值36【解析】（1）a=1200=120180=23，r=6,l=r=236=4（2）设扇形的弧长为l，则l+2r=24，即l=24-2r（0r12）,扇形的面积S=12lr=12(24-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36，所以当且仅当r=6时，S有最大值36，此时l=24-26=12,=lr=126=2.2已知周长为定值的扇形，当其面积最大时，向其内任意投点，则点落在内的概率是_【答案】【解析】设扇形周长为，半径为，则弧长. 所以扇形的面积， ，所以当且仅当时，扇形的面积的最大值为，此时扇形的弧长为，故此时扇形的圆心角为，因此，点落在内的概率为，当扇形的面积最大时，向其内任意掷点，该点落在内的概率是，故答案为.考向六 古书中的数学【例6】九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是_平方米(结果保留整数，1.73)【答案】5【解析】如题图2，由题意可得AOB，OA3，所以在RtAOD中，AOD，DAO，ODAO3，可得CD3，由ADAOsin 3，可得AB2AD3.所以弧田面积S(弦矢矢2)5(平方米)【举一反三】1九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，弧田是中国古算名，即圆弓形，最早的文字记载见于九章算术方田章.如图所示，正方形中阴影部分为两个弧田，每个弧田所在圆的圆心均为该正方形的一个顶点，半径均为该正方形的边长，则在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】设正方形的边长为 则一个弧田的面积为 所以两个弧田的面积为所以在该正方形内随机取一点，此点取自两个弧田部分的概率为所以选A2“圆材埋壁”是九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，则阴影部分面积约为（注：3.14，sin22.5513，1尺=10寸）（ ）A6.33平方寸B6.35平方寸C6.37平方寸D6.39平方寸【答案】A【解析】连接OC，设半径为r，AD=5寸，则OD=r-1在直角三角形OAD中，OA2=AD2+OD2 即r2=52+r-12，解得r=13则sinAOC=513 ，所以AOC=22.5则AOB=222.5=45所以扇形OAB的面积S1=45132360=1698=66.33三角形OAB的面积S2=121012=60所以阴影部分面积为S1-S2=66.33-60=6.33所以选A【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1与2019终边相同的角是( )A37B-37C-37D-141【答案】D【解析】终边相同的角相差了360的整数倍，设与2019角的终边相同的角是，则=2019+k360，kZ，当k=-6时，=-141故选：D23弧度的角是（ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【答案】B【解析】因为23，所以3弧度的角是第二象限角.故选：B3点P(sin3-cos3，sin3+cos3)所在的象限为( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】56322=sin(+).又+，所以cos(+)=-22，cos=cos(+-)=cos(+)cos+sin(+)sin=-2235+2245=210，故选:D.7已知角的终边经过点P（-3，y），且y0，cos=-35，则tan=（）A-34B34C43D-43【答案】C【解析】由题意，角的终边经过点P(-3,y)，且y12，B=0，AB=C,则C=（ ）A06 B32C03 D312，B=0120=03即C=03故选：15如图是一个半径为R的扇形，它的周长为4R，则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面积是（ ）A12(2-sin1cos1)R2B12R2sin1cos1C12R2D(1-sin1cos1)R2【答案】D【解析】l=4R-2R=2R，=lR=2RR=2，S扇形=12lR=122RR=R2,S三角形=122Rsin1Rcos1=sin1cos1R2S弓形S扇形S三角形R2sin1cos1R2故选：D16若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ）A3B33C2D12【答案】A【解析】如图所示，ABC是半径为r的O的内接正三角形，则BC2CD2rsin3=3r，设圆弧所对圆心角的弧度数为，则r=3r，解得=3故选：A17若扇形的周长为8，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（）A2B4C8D16【答案】B【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=8且lr=2，解得l=4,r=2，所以该扇形的面积为S=12lr=1242=4故选：B18已知圆O与直线l相切于点A，点P,Q同时从点A出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图），则阴影部分面积S1，S2的大小关系是（ ）AS1=S2BS1S2CS1S2D先S1S2【答案】A【解析】如图所示，因为直线l与圆O相切，所以OAAP，所以扇形的面积为S扇形AOQ=12AQr=12AQOA，SAOP=12OAAP,因为AQ=AP，所以扇形AOQ的面积S扇形AOQ=SAOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=SAOP-S扇形AOB，所以S1=S2，19如图，已知四边形ABCD为正方形，扇形GEF的弧EF与BC相切，点G为AD的中点，在正方形ABCD中随机取一点，则该点落在扇形GEF内部的概率为（ ）A6 B4 C8 D12【答案】A【解析】设正方形的边长为2a，则扇形GEF的半径为2a，SABCD=4a2，在直角三角形中，AG=DG=a,EG=FG=2a，所以AFGDEG， 所以，AGF=DGE，又由cosAGF=AGGF=12，所以，AGF=DGE=60，所以，FGE=180-AGF-DGE=60=6扇形GEF的面积为S扇形=4a26=2a23该点落在扇形GEF内部的概率为S扇形SABCD=2a2314a2=6所以,答案选A20九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中方田一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦矢矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23，弦长为403m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3，31.73）A15 B16 C17 D18【答案】B【解析】因为圆心角为23，弦长为403m，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40320+2020)=4003+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为1223402-1220403=16003-4003，因此两者之差为16003-4003-(4003+200)16，选B.21九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中方田章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=12（弦矢+矢矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则cosAOB=（ ）A125 B325 C15 D725【答案】D【解析】设矢为x ，那么代入弧田弧公式72=12(6x+x2) ，解得：x=1 ，设圆的半径为R ,那么根据弦心距，半径和半个弦长得到关系式为R2=(R-1)2+32 ，解得：R=5 ，cosAOB=52+52-62255=725,故选D.22如图，有一直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为的扇形铁皮，把剪出的扇形围成一个圆锥，那么该圆锥的高为（ ）A B C D【答案】D【解析】由题设可知，则，圆锥的底面半径，故棱锥的高，应选答案D。23已知是第三象限角且，则角是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】由题设可知，则，当时， 的终边分别在第一、第三、第四象限，又，所以是第三象限角，应选答案C24平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，若，则为_【答案】【解析】由题意知：，由，得，故答案为：.25已知角的终边经过点P5m,12，且cos=-513，则m=_【答案】-1【解析】因为cos=-5130，则的终边在第二或三象限，又点P的纵坐标是正数，所以是第二象限角，所以m0，由5m25m2+144=-513，解得m=-1.故答案为：-126当x0,2时，不等式sinx12的解集为_【答案】x|6x56【解析】如图所示，正弦线大于等于12的角的终边在图中的阴影部分区域，所以不等式的解集为x|6x56.故答案为：x|6x5627如果cosx=cosx，那么角x的取值范围是_【答案】2k-2,2k+2，kZ【解析】因为cosx=cosx，所以cosx0，所以角x的终边落在y轴或其右侧，从而角x的取值范围是2k-2,2k+2，kZ.故答案为：2k-2,2k+2，kZ28在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于_【答案】【解析】角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，x，r1，cos，cos22cos212（）21故答案为：29在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为-32，则cos2=_【答案】-12【解析】设角的终边与单位圆交点的横坐标为x，因为角的终边与单位圆交点的纵坐标为-32，所以x2+(-32)2=1x=12，当角的终边与单位圆交点的坐标为(12,-32)时，=2k-3(kZ)，cos2=cos2(2k-3)=cos(-23)=cos23=-12;当角的终边与单位圆交点的坐标为(-12,-32)时，=2k+43(kZ)，cos2=cos2(2k+43)=cos(83)=cos23=-12，综上所述cos2=-12.30若将时钟拨慢5分钟，则分针转了_弧度，时针转了_度【答案】6 2.5 【解析】将时钟拨慢5分钟，分针、时针都是按逆时针方向转动，转过的角都是正角，这时，分针转过的角度是36012=30，即30180=6（弧度），时针转过的角度是3012=2.5故答案为6，2.5.31已知一个扇形的周长为8cm，则当该扇形的半径r=_cm时，面积最大.【答案】2【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=8，扇形的面积为12rl=128-2rr=-r2+4r=-(r-2)2+4，所以当r=2时，面积最大为4.故答案为：232已知地球的半径为R，在北纬45东经30有一座城市A，在北纬45西经60