仿射变换在初等几何中的应用 三稿.doc

谈仿射变换在初等几何中的应用摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁。在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证明，得出对一般几何图形的证明。而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推广到一般图形，从而达到事半功倍的效果。本文将探讨应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量来解决一些初等几何问题。 关键词：仿射变换；仿射不变性；仿射图形；初等几何问题。1.引言本文探讨了仿射变换在初等几何中的应用,提出了利用仿射变换解决初等几何问题的基本思路。仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般三角形、平行四边形、梯形、椭圆的有关仿射的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中，有利于提高从现代几何学的观点处理初等几何问题的能力。仿射几何是高等几何的重要组成部分，是联结射影几何与欧氏几何的纽带。在初等几何里，有大量的命题是研究图形的仿射性质的，而在初等几何中的有些问题应用仿射变换解决更简单。在高等几何中，把平行光线照射到物体上，得到的影子叫平行投影。平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。几何图形经过平行投影保留不变的性质称为图形的仿射性质。图形的仿射性质有：平行投影将点变成点；直线变成直线；平行投影保持点和直线的结合关系，保持直线的平行关系；平行投影保持两平行（共线）线段的长度比；平行投影下，任一封闭凸曲线所围成的图形的面积之比为常数；平行投影可以将任意三角形变成正三角形，将任意的平行四边形变成正方形或长方形，任意的梯形变成等腰梯形或直角梯形，任意的椭圆可以经过平行投影变成圆，相应地椭圆中心变成圆心，椭圆直径变成圆的直径，椭圆的切线变成圆的切线等。通过平行投影证明图形性质的方法，在初等几何中适当的运用这种方法，可以在解决问题时带来事半功倍的效果。仿射变换的应用是灵活而有规律的，其方法是从特殊到一般的方法。正三角形是特殊的三角形，正方形是特殊的平行四边形，等腰梯形是特殊的梯形，而圆又是特殊的椭圆。因此，利用平行投影把这种特殊和一般巧妙地联系起来，把一般的问题化为特殊的问题，从而轻而易举地得到解决。1本文着重通过仿射变换将一般的图形和特殊图形联系起来，并针对不同的图形都列出了典型例题。2.仿射变换基本概念及有关性质2.1 定义定义2.1 设同一平面内有n条直线，如图2.1，顺次表示到，到，到的透视仿射，经过这一串平行射影，使上的点与上的点建立了一一对应，称为到的仿射或仿射变换=，称为，按这个顺序的乘积。T(A)= (A)= =，T(B) =等等 图2.1仿射变换的代数表示，即 ，其中 0 定义2.2 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）。(1) 仿射变换保持同素性；(2) 仿射变换保持结合性；(3) 仿射变换保持共线三点的简比不变；定义2.3 设，为共线三点，这三点的简比定义为下述有向线段的比： 其中，是有向线段，的代数长，叫基点，叫分点。当在，之间时，0； 当与重合时，=0； 当与重合时，不存在； 特别地当为线段的中点时，(ABC)= 。2.2 仿射性质及仿射不变量 定理1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线。推论1 两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线 。推论2 共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线 。定理2 两条平行线段之比是仿射不变量 。推论 一直线上两线段之比是仿射不变量 。定理3 两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量。3.仿射变换在初等几何中的应用根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为等腰梯形或直角梯形。因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题，如果能证明它在特殊图形中成立，则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立。利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。3.1 平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。例1 是内任一点，连结、并延长分别交对边于、。求证：. 2图1证明：如图1，分别沿 和方向作平行投影。、由仿射变换保简单比不变得，所以，同理 ，所以.例2 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于1，其逆也真。（梅涅劳斯定理 ）3分析：如图2，本题要求证明当、三点共线时，。其逆命题亦成立 。图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。如图2(a)，以为投影方向，将 、点平行投影到直线上的、点，则.即原命题成立。（2）证明逆命题成立证明当、上三点、满足时，则、三点共线。设直线交于，如图2(b) ,由已知条件知，所以与重合，故、三点共线。3.2 三角形仿射等价性因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。例3 在的中线上任取一点，连接、，并延长交于，延长交于，求证：. 4图3证明：如图3，作仿射变换T，使得对应正，由仿射性质可知，点、相应地对应、，且为正的中线。在正中也是边上的高，且、与、关于对称，、到的距离相等，则，由于平行性是仿射不变性，因此，在中.例4 证明为重心的充要条件是：.4图4证明：必要性，如图4，作仿射变换，使得对应正，为正的重心，则也为内心，即到三边距离相等，故，则对应在，.充分性，若，因为，故到三边距离、相等，即为正的内心，从而也是重心。由于平行性是仿射性质，因此，命题对一般三角形也成立。故为的重心。3.3 证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可。例5 平行四边形的一组邻边上有点，两个点，且.求证：和面积相等。5证明：作仿射变换，使平行四边形对应正方形，则有对应，对应，如图5，图5在正方形中，由，故，因为，所以，故，因，所以，又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有，所以.例6 已知在平行四边形中，为的中点，在上，交于，求证：. 6 图6证明：如图6，作仿射变换，使得，平行四边形对应正方形，则由仿射性质可知，点、分别对应、，且是的中点，.在正方形中，取的中点，过、作的平行线，分别交于点、。由平面几何知识易证，由于简比是仿射不变量，所以在平行四边形中，.3.4 证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可。例7 在梯形中，、分别为、的中点，对角线与交于点，腰与交于点，求证：、四点共线。7图7证明：如图7，作仿射变换，使梯形对应等腰梯形，则由仿射性质可知，点、依次对应、，其中、分别为与的中点。在等腰梯形中，由对称性可知，是对称轴，为对称直线与的交点，为对称直线与的交点，因此，、必在直线上，即、四点共线。由于结合性是仿射不变量，所以在梯形中、四点共线。3.5 应用仿射变换求与椭圆有关的问题圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多。在初等几何中，有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦。因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由仿射变换性质可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆。例8 求椭圆的面积。8图8解：设在笛氏直角坐标系下，椭圆经过仿射变换，其中，椭圆的仿射图形为.因为两个封闭图形面积之比为仿射不变量，所以要想利用仿射变换解题，必须构造面积之比。所以选定椭圆内的，如图9所示，、经过仿射变换，对应图形，其中 A 与重合且.所以，故.例9 求椭圆两点、和中心的连线以及椭圆弧所围成的面积. 9 图9解：如图9，作仿射变换，把椭圆变成圆，相应地把点、分别变成、， 在中，又因为，所以， 圆中的扇形面积=，又因 ，所以.通过以上例题可以看出，我们不但能够求出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积,只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等几何中是没有的。综上，椭圆的有关仿射性质的问题可转化为圆的问题来解决，为解题或证明带来极大的方便。下面介绍仿射变换解决椭圆有关的高考题。例10 ( 2 0 0 8年全国卷第2 2 题)设椭圆中心在坐标原点， 、是它的两个顶点，直线 (0 ) 与相交于点，与椭圆相交于、两点。11（1） 若，求的值；（2） 求四边形面积最大。（如图10）图10分析：此题按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变为单位圆，点、分别变换为、，线段恰为圆的直径，根据仿射变换保持共线三点简比不变知，分线段的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得的坐标，再反求点坐标，从而很容易求出的值。利用仿射变换保持两封闭图形面积之比不变，可以求得出四边形与四边形的面积关系，由于四边形面积的最大值容易求出，这样也就很容易求出四边形面积的最大值。解：依题可设椭圆的方程为，如图11，作仿射变换，令 ，则得仿射坐标系，在此坐标系中上述椭圆变换为圆，点、分别变换成点、，且为直径的圆，=2，.图11(1)根据仿射变换保持简比不变，因为，所以，故，.由相交弦定理知，所以，或，.故或，由定比分点公式可得，或，所以点坐标为或，故=或=(2)设四边形的面积为，四边形的面积为，与的夹角为，则=（当时取“=”号，此时）.由于椭圆的面积为，圆的面积为，根据仿射变换保持两封闭图形面积之比不变有,故=2.所以，当且仅当坐标为，即=时取“=”号。例11 ( 2 0 0 7年宁夏、海南高考理科第1 9题) 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和11 ( 1 )求的取值范围； ( 2 ) 设椭圆与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线?求值，如果不存在，请说明理由。 分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直线的距离与半径的关系来刻画直线与圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式使计算量大大降低。而在第( 2 ) 问中，若=，根据向量加法的几何意义可知与互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，变换为，变换为，根据仿射变换保持简比不变，与也互相平分，又由于过圆，那么就可以利用圆中的垂径定理判断出与垂直，这将有助于问题的简化。解：( 1 ) 作仿射变换，令，则得仿射坐标系，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆，直线：变换为直线：，即. 根据仿射变换保持同素性和结合性不变可知，直线与圆的交点有两个，所以，即，故或；(2) 经过（1）中的仿射变换，点、分别变换为点 、，点、分别变换为点、，根据仿射变换保持同素性和结合性不变可知，、必在圆上，且直线的斜率为，直线的斜率即为直线的斜率为。根据仿射变换保持同素性和结合性不变，若有与共线，则必有与共线。设=，根据垂径定理，必有，当时，由此可得，由(1)可知，或，所以没有符合题意的常数.综上，椭圆的有关仿射性质的问题可转化为圆的问题来解决，为解题或证明带来极大的方便。4.小结以上内容是对仿射变换在初等几何应用的简单总结，当然有些题有其他做法，但是应用仿射变换解决起来更简捷，方便。从例题可以总结得出应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量解题的步骤可概括如下： 判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解，一般涉及到点共直线，直线共点，线段比，面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题。选择合适的仿射变换，找出所给图形的合适的仿射图形。 在仿射图形中求证，写出具体的仿射变换及解题过程。但值得我们注意的是，所考虑的问题都必须是仿射性质的问题，否则这种方法就不适用了。如有关线段长度，直线垂直，直线夹角大小的问题属于非仿射性质，自然就不能使用平行投影的方法解决。参考文献：1 闻仲良等.高等几何M.四川大学出版社,2006 :6 152 宋卫东等.解析几何M.高等教育出版社,2003 :2372453 罗崇善等.高等几何讲义M.四川科技技术出版社,1987:15274 王申怀，化二次射影几何问题为初等几何问题数学通报,1 9 9 3 ( 4 ):41 43 5 吴子汇等.高等几何简明教程M.中国矿业大学出版,1999 6 刘增贤等.高等几何学习指导书M.高等教育出版社,19897 张世容.射影几何学研究J.教学与研究,1988（5）8 王敬庚.试论射影几何对中学几何教学的指导意义J.1986（18）9 邹时敬.国际数学竞赛题解J.1989（12）10 梅向明,刘