直接证明与间接证明(教师版).doc

直接证明与间接证明基础梳理一、直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的 、 、 等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明，常用直接证明方法 和 1：综合法：一般的，利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法。综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知可知可知结论”。2：分析法：一般的，从要证明的结论出发，逐步寻求使成立的 条件，直至最后，把证明的结论归结为判定一个 为止，这种证明方法叫做分析法，分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论需知需知已知”。说明：在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。二、间接证明：1：反证法：一般的，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明力原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。在反证法中，经过正确的推理后：“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与 矛盾，与 矛盾，或与 矛盾。2：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是： ， 。在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n成立。说明：1.归纳法: 由特殊事例推出一般结论的推理方法.有不完全归纳法,完全归纳法.2.数学归纳法:对于与正整数有关的命题证明：当n=n0（每第一个值）时成立；假设n=k（kn0）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立；这就证明了命题对n0以后的所有正整数都成立。(1)事实上:第一步证明了“归纳基础”；第二步证明了“递推规律”“若n=k命题成立，则n=k+1命题成立”，从而可以无限的递推下去，保证了对n0以后的所有正整数都成立。(2)两点注意: 两步缺一不可（如命题2）证“n=k+1成立”必用“n=k成立”（归纳假设）如对于等式2+4+2n=n2+n+1可以证明“假设n=k时成立，则n=k+1时也成立”，没有归纳基础。事实上这个等式是不成立的。3数学归纳法的应用:证明等式、不等式、整除性；探求平面几何及数列问题；小结：综合法和分析法的特点：“顺推证法”或“有因导果法”是综合法的两种形象的说法，“逆推证法”或“执果索因法”是分析法的两种形象的说法，反证法主要使用与要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的不够清晰，如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很小的几种情形，运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。典型例题例1已知x+y+z=1，求证x+y+z分析：应用基本不等式a+ b2ab，结合不等式的性质同向不等式求和，可证的此不等式 【规律总结】综合法证明不等式时，以基本不等式为基础，以不等式的性质为依据，进行推理论证，因此，关键是找到与要证明结论相匹配，的基本不等式及其不等式的性质，【跟踪练习】在三角形ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证三角形ABC为等边三角形例2若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。证明：要证lg+ lg+ lglga+lgb+lgc，只需证lglg（abc），只需证abc。但是，。且上述三式中的等号不全成立，所以，abc。因此lg+ lg+ lglga+lgb+lgc。分析：从定不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的重要条件例3. (2010北京理)设数列an的首项a1=a，且, 记，nl，2，3，（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；解：（I）a2a1+=a+，a3=a2=a+；（II） a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,所以b1=a1=a, b2=a3=(a), b3=a5=(a),猜想：bn是公比为的等比数列 证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n=(a2n1)=bn, (nN*) 所以bn是首项为a, 公比为的等比数列【规律总结】综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因倒果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法枝果索因，常常根底渐进，有希望成功，就表达证明过程而论，因此，在实际解题时常常把分析发和综合发结合起来证明，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条例的表述解答或证明过程，有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功【跟踪练习】 如果不等式1成立的充分非必要条件是 x ,则实数a的取值范围是例4：若a,b,c为实数，且a=x-2y+,b=y-2x+,c=z-2x+求证：a,b,c中至少有一个大于0分析：如果直接从条件证明，方向不明，过程不可推测，较难，所以可以使用反证法。【规律总结】1：当一个命题的结论是以“最多”，“最少”，“唯一”等形式或以否定形式出现是宜用反证法来证明。、；2：注意“至少一个”、“至多一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”。3：用反证法的步骤是：否定结论而不合理因此结论不能否定，结论成立。【跟踪练习】求证： 一个三角形中至少有一个内角不小于60度例5：用数学归纳法证明1-+-+-=+(nN)分析：按照数学归纳法的一般步骤，先让n=1，然后假设n=k成立，注意左右两边式子的变化。例6：是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.解：由f（n）=（2n+7）3n+9，得f（1）=36， f（2）=336， f（3）=1036， f（4）=3436，由此猜想m=36.下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时， f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）3k+9能被36整除;当n=k+1时，2（k+1）+73k+1+9=3（2k+7）3k+9+18（3k11），由于3k11是2的倍数，故18（3k11）能被36整除.这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）3n+9能被36整除，m的最大值为36.方法提炼：本题是探索性命题，它通过观察、归纳、特殊化猜想出结论，再用数学归纳法证明。例7.(2010天津理22)在数列与中，数列的前项和满足,为与的等比中项，.（）求的值；（）求数列与的通项公式；（）略.（）解：由题设有，解得由题设又有，解得（）解法一：由题设，及，进一步可得，猜想，先证，当时，等式成立当时用数学归纳法证明如下：（1当时，等式成立（2）假设时等式成立，即，由题设，的两边分别减去的两边，整理得，从而这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立综上所述，等式对任何的都成立再用数学归纳法证明，（1）当时，等式成立（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立例8已知数列n是等差数列，11，1210100（1）求数列n的通项公式n；（2）设数列an的通项anlg（1），记Sn为an的前n项和，试比较Sn与lgn1的大小，并证明你的结论解：（1）容易得n2n1.（2）由n2n1，知Snlg（11）1g（1）lg（）lg（）（）（）. 又1gbn1g，因此要比较Sn与1gbn的大小，可先比较（1）（）（）与的大小. 取n=1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测（1+1）（1+） （）. 下面用数学归纳法证明上面猜想：当n=1时，不等式成立.假设n=k时，不等式成立，即（11）（1）（）.那么n=k+1时，（）（）（）（）（）. 又2（）2，=当n=k+1时成立.综上所述，nN*时成立由函数单调性可判定Sn1gbn.【规律总结】用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于：“先看项“，弄清等式两边的构成规律，：1：等式两边各有多少项，；2：项的多少与n的取值是否有关；3：由n=k到n=k+1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项。【跟踪练习】1用数学归纳法证明时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是 （ ）AB C D2某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立3.用数学归纳法证明对n为正偶数时某命题成立，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立4.（2004太原模拟）若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为 ( )5平面内有n(n2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，猜想这n条直线交点的个数为 .6.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n=1，2，3，），则第n2个图形中共有_个顶点.简答:1-4.BCBD; 5. ; 6. 观察规律第n2个图形