数值分析大纲.doc

【课程编号】Z0181508数值分析Numerical Analysis【学分】5 【学时】80 【性质】学科基础 【上机】10（一）授课对象四年制本科信息与计算科学、数学与应用数学专业。（二）课程的性质和地位本课程是数学类专业教学计划中的学科基础课程之一。数值分析是数学学科的一个分支，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，也是科学计算的基础。数值分析是以各类数学问题的数值解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供基本的算法。数值分析课程是研究用计算机解决数学问题的数值方法和理论。重在分析各种算法的可行性及优劣评价。通过学习使学生掌握数值分析的基本知识，建立创造性思维。学会使用各种方法解决实际问题的技能技巧。并为后继应用型课程奠定基础。（三）课程的教学目标通过本课程的学习学生应达到如下教学目标：1. 掌握如下基本知识误差基本概念和性质、矩阵分析基础、解线性方程组的直接方法和迭代方法、矩阵特征值与特征向量的计算、非线性代数方程（组）求解、插值法、最佳平方逼近与曲线拟合、数值积分、数值微分、常微分方程初值问题的数值方法。2. 掌握如下基本理论及方法(1) 解误差的基本概念与性质，绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限和有效数字之间的关系。掌握向量范数、矩阵范数的基本概念、计算与性质；(2) 握解线性方程组的 Gauss 消元法、列主元法、 LU 分解及 Jocobi 迭代、 Gauss-Seidel 和超松弛迭代方法，理解这些方法的构造过程和特点以及适用的线性方程组。能判别 Jocobi 迭代和 Gauss-Seidel 迭代的敛散性 , 了解解特殊线性方程组的追赶法 ,知道直接解法的误差分析及病态方程组概念；(3) 握求矩阵按模最大特征值及相应特征向量的幂法，了解幂法计算时常用的原点平移法。掌握求矩阵按模最小特征值及相应特征向量的反幂法。了解求对称矩阵全部特征值及相应特征向量的 Jacobi 方法。掌握求一般矩阵全部特征值的 QR 方法。了解这些数值方法的适用范围；(4) 解并掌握 Lagrange 插值、 Newton 插值、 Hermite 插值的构造和计算，掌握这些插值函数的余项表达式的求法、形式、作用及估计，并能用插值基函数思想求任何插值条件的插值函数问题，掌握分段插值及三次样条函数插值的构造思想、特点和计算方法；(5) 解正交多项式的概念，掌握求函数的最佳平方逼近函数的方法；了解曲线拟和最小二乘法的意义，掌握多项式拟和的方法；(6) 理解求积公式及代数精度概念，掌握确定求积公式的代数精度的方法,掌握 Newton-Cotes 求积公式、 Romberg 算法及 Gauss 求积公式的构造技术、特点及余项形式。掌握复化梯形求积公式、复化 Simpson 求积公式的构造技术及余项形式 . 了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积分；(7) 掌握解常微分方程初值问题的单步法的基本概念以及相容性、收敛性、稳定性，掌握 Runge-Kutta 方法的构造特点，会用 Runge-Kutta 方法解常微分方程初值问题。了解线性多步法。3. 掌握如下基本技能(1) 过理论课教学，掌握现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论； (2) 过实践课教学，熟练数值方法的实际应用，锻炼学生的编程能力和实践能力； (3) 过课外科技活动，尽早训练学生从事交叉学科研究的科学素养、培养学生的创新能力。同时，本课程的学习为解决科学与工程中的实际问题打好基础，后继课程的学习提供必要的知识。（四）教学内容1.绪论（1）数值分析研究对象；（2）误差知识与算法知识；（3）向量范数与矩阵范数。重点：绝对误差相对误差和有效数字之间的关系、向量范数、矩阵范数。难点：向量范数和矩阵范数的相容性。2 .线性方程组的解法（1） Gauss消去法；（2）直接三角分解法；（3）矩阵的条件数与病态线性方程组；（4）迭代法。重点：Gauaa消去法的基本思想、三角分解法实现过程、矩阵条件数、病态方程组的求解方法、迭代法的原理、迭代公式的收敛性。难点：迭代法的收敛性。3. 矩阵特征值与特征向量的计算（1）幂法和反幂法；（2）Iacobi方法；（3）QR方法。重点：幂法的原理、QR分解法的原理和方法。难点：QR方法。4非线性方程与非线性方程组的迭代解法（1）非线性方程的迭代解法；（2）非线性方程组的迭代解法。重点：二分法、Newton法、割线法。难点：Newton法的收敛性和收敛速度。5插值与逼近（1）代数插值；（2）Hermite插值；（3）样条插值；（4）角插值与快速Fourier变换；（5）正交多项式；（6）函数的最佳平方逼近。重点：插值法的原理、样条插值、最佳平方逼近。难点：样条插值。6数值积分（1）求积公式及其代数精度；（2）插值型求积公式；（3）NewtonCotes求积公式；（4）NewtonCotes求积公式的收敛性与数值稳定性；（5）复化求积法；（6） Romberg积分法；（7） GaUSS型求积公式；（8）二重积分的数值求积法。重点：求积公式的代数精度、插值型求积公式、Romberg积分法、Gauss型求积公式。难点：求积公式的收敛性与数值稳定性。7常微分方程初值问题的数值解法（1）一般概念；（2）显式单步法；（3）线性多步法；（4）步长的选择；（5）常微分方程组与刚性问题。重点：Euler 法、线性多步法。难点：步长的选择。8偏微分方程的差分解法（1）椭圆型方程第一边值问题；（2）抛物型方程初边值问题；（3）双曲型方程的特征一差分解法。重点：各类方程差分格式的构造。难点：差分格式的数值稳定性。（五）教学实践环节安排上机（10学时）1误差传播与算法稳定性（2学时）利用两种算法计算某个积分，讨论比较两种算法的稳定性。2线性方程组的解法（2学时）利用列主元素高斯消去法、Jacobi迭代法、GS迭代法和SOR迭代法求解线性方程组3矩阵特征值的求法（2学时）用幂法求矩阵的按模最大的特征值与特征向量。用反幂法改进矩阵的特征值。4迭代函数对收敛性的影响（2学时）选取不同的迭代函数求解非线性方程，比较其结果，体会不同的迭代函数对收敛性的影响。5数值积分（2学时）利用Newton-cotes型求积公式、Romberg算法、Gauss型求积公式计算积分。（六）教学方式与习题要求本课程采用启发式与讨论式结合的教学方法，应充分利用多媒体课件以及实物教具等教学手段。为巩固基本概念、基本理论，使学生灵活掌握所学知识，活跃学习气氛，增强学习兴趣，在教学中应适当安排习题课与课堂讨论。每章应布置一定数量的习题，习题出自教材。（七）考核办法 采用闭卷形式对学生进行考核，学生的最终成绩评定按考试成绩占80%，平时成绩占20%进行统计。（八）推荐教材或讲义及主要参考书1颜庆津编：数值分析(修订版)，北京航空航天大学出版社，1999年。2孟大志、刘伟编：现代科学与工程计算，高等教育出版社，2009年。3李庆扬等编.：数值分析（第四版），清华大学出版社，2001年。4林成森编：数值分析，科学出版社，2006年。（九）学时分配