第七章 三角形同步讲练(含答案).doc

第七章 三角形 第一节、 知识梳理总复习一、学习目标1.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画三角形的角平分线、中线和高.了解三角形的稳定性.2.掌握三角形内角和以及多边形内角和公式，了解多边形外角和性质.3.会欣赏美丽的平面镶嵌，掌握一些简单的平面镶嵌知识.二、知识网络根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.三、几个定义的区别下边的图表给出了三角形中线、三角形的高、三角形的角平分线的区别与联系，希望大家能够掌握，区分开来.与三角形有关的角一、学习目标 1.了解三角形的内角和和外角的定义. 2.会用平行线的性质和平角的定义说明三角形的内角和等于180. 3.探索并掌握三角形的外角的性质. 4.会用三角形内角和定理和三角形外角的性质进行相关的计算和证明. 二、知识概要 1.三角形内角和定理：三角形内角和等于180.三角形内角和反映了三角形三个内角之间的关系，是解决任意三角形关于内角的证明和计算问题的重要依据之一，利用它可以解决以下问题： （1）计算角度的大小，以及利用求出的角度来判断三角形的形状和证明直线垂直.解决这样的问题常常需要设未知数列方程求解. （2）证明角相等. （3）证明角的和、差、倍、分关系. （4）证明角之间的不等关系. 2.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.3.三角形外角的性质 （1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 4.常用辅助线的做法： （1）说明角的关系时，如果没有现存的外角可以使用，通常要延长某个角的一边. （2）在进行角度计算时，为了能使用三角形内角和定理和外角性质，通常要构造三角形，这时需要连结某些线段或延长某些线段. 三、重点难点 本周的重点是三角形的内角和和外角的性质，难点是三角形外角性质的应用.四、知识链接 本周知识是以前学过的三角形的基础知识的拓展，也是以后求角度、证明角度相等的有利工具之一. 五、中考视点 中考对这部分知识的考察主要体现在以下两方面： 1.三角形内角和定理的使用. 2.三角形外角的性质的应用.与三角形有关的线段一、学习目标1.掌握三角形的概念.2.掌握并会应用三角形三边关系.3.掌握三角形的高、中线和角平分线.二、知识概要1. 三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边.3. 三角形的表示：三角形用符号“”表示， 读做“三角形”.如图：图中AB、BC、CA是三角形的边，有时也用a，b，c表示；点A、B、C是三角形的顶点；A、B、C是三角形的角；三角形ABC记作“ABC”，读做“三角形ABC”.4. 三角形的高：由三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间线段，叫做这个三角形的高.5.三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段，叫做三角形的中线.6.三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线.三、重点难点三角形的高、中线、角平分线的内容和三角形三边关系是本周的重点.三角形的高、中线、角平分线的区别与联系是本周的难点.四、知识链接本周内容是前面学过的三角形的基础知识的拓展，也是以后求面积、求角度有力的工具.五、中考视点本周内容直接考的很少，但是经常与其他知识综合考查，像什么作高求面积，利用角平分线求角度，利用中线求线段等等.多边形内角和镶嵌一、学习目标1.了解多边形有关的概念：边、内角、外角、对角线、正多边形；2.理解并掌握多边形内角和公式与外角和公式；3.通过探索平面图形的镶嵌，知道任何一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能利用这几种图形进行简单的镶嵌设计.二、知识概要1.多边形的有关概念（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（2）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.（3）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（4）连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.2.正多边形：各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形.3.n边形内角和：n边形的内角和为（n2）180.4.多边形外角和：多边形的外角和等于360.5.平面镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行衔接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌.三、重点难点多边形内角和与外角和的应用是本周的重点，镶嵌是本周的难点.四、知识链接多边形内角和知识由前面学过的三角形内角和知识拓展而来，是平面镶嵌问题的知识基础.五、中考视点多边形内角和与多边形边数的关系；多边形的外角和与多边形边数的关系；平面镶嵌.第二节、教材解读与三角形有关的角1.三角形的外角必须满足三个条件： （1）顶点与三角形的一个内角的顶点重合（即共顶点）； （2）一边是三角形的一边（即共边）； （3）另一边是三角形一边的延长线（即共线）. 如图，ACD是三角形ABC的外角，与三角形ABC有公共顶点C，公共边AC，CD在BC的延长线上. 2.三角形外角的个数一个三角形共有六个外角，它们是三对对顶角，在研究和外角有关的问题时，通常在一个顶点处只取一个外角. 如图，1、2、3、4、5、6都是三角形ABC的外角. 3.三角形的外角与相邻的内角是邻补角的关系，与不相邻的内角是不等的关系.如上图，1是三角形ABC的外角，1与A是邻补角.因为1B+C，所以1与B、1与C都是不等关系. 4.三角形的外角和是360. 如下图，因为1和BAC是邻补角，所以1BAC180.同理2ABC180，3ACB180.所以1BAC2ABC3ACB540. 又因为ABCBACACB180，所以123360.即三角形ABC的外角和是360. 与三角形有关的线段一、三角形的高及其有关结论1.画出三角形ABC的三条高.三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.2.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.3.因为SBCAD=ACBE=ABCF，所以BCAD=ACBE=ABCF.二、三角形的中线及其有关结论1.在三角形ABC中画出所有中线.2.无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.3.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以SACF=SBCF=SABD=SADC=SABE=SBCE.三、三角形角平分线及其有关结论1.画出ABC所有的角平分线.【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线.2.无论什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.多边形内角和镶嵌理解多边形内角和的推导可以让我们把公式的来龙去脉弄得一清二楚，从而加深对公式的理解与掌握，更重要的是能够从中学到许多重要的思想方法.对于n边形的内角和公式：n边形的内角和（n2）180，其推导方法主要有以下几种：课本方法：从一个顶点出发引n边形的（n3）条对角线，把n边形分割为（n2）个三角形（如图1），则这（n2）个三角形的内角和就是n边形的内角和，从而得到：n边形的内角和（n2）180；方法二：在n边形内任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图2），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多了一个周角360，因此n边形的内角和180n360（n2）180；方法三：在n边形的一边上取一点，把这一点与各顶点连结，把n边形分割为（n1）个三角形（如图3），这些三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个平角，因此，n边形的内角和（n1）180180（n2）180；方法四：在n边形外任取一点，然后把这一点与各顶点连结，将n边形分割为n个三角形（如图4），这n个三角形的内角和比n边形的内角和恰好多出了两个三角形内角和，因此n边形的内角和n1802180（n2）180.第三节、错题剖析【例1】下面是数学课堂的一个学习片段， 阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后， 张老师请同学们交流讨论这样一个问题.“已知等腰三角形ABC的角A等于30， 请你求出其余两角” 同学们经过片刻的思考与交流后， 李明同学举手说: “其余两角是30和120”；王华同学说：“其余两角是75和75.” 还有一些同学也提出了自己的看法 （1）假如你也在课堂中, 你的意见如何? 为什么？ （2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受？（用一句话表示） 【思考与解】本题首先要求考生在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两名学生的说法提出自己的看法，这时考生应抓住题中条件“等腰三角形ABC的角A等于30”这个不确定条件进行分析研究当A是顶角时，设底角是，30+=180， =75，其余两底角是75和75当A是底角时，设顶角是，30+30+=180， =120，其余两角是30和120由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题的错误 对于第（2）问应在第（1）问的解答的基础上，可总结出“根据图形位置关系，实施分类讨论思想方法解多解型问题”，“考虑问题要全面”等三角形的中线、角平分线、高（线）是三角形中三条十分重要的线段，初学者常因不能准确理解其概念的实质内涵，而出现这样或那样的错误，现举例分析如下，以达到亡羊补牢或未雨绸缪的目的.【例2】如图1，三角形ABC中，D为BC上的一点，且SABD=SADC，则AD为（ ）.A.高 B.角平分线C.中线 D.不能确定【错解】选A或B.【思考与分析】有的同学一看到面积就认为与高相关，故错选A；有的同学认为平分内角必平分三角形的面积，故错选B.其实，因为ABD与ACD同高h，又SABD=SADC，即BDh=CDh，所以，BD=CD，由此可知，AD为三角形ABC中BC边的中线.【正解】：选C.【例3】如图2，已知12，则AH必为三角形ABC的（ ）.A.角平分线 B.中线 C.一角的平分线 D.角平分线所在射线【错解】选A或选C.【思考与分析】错选A的同学，只注重平分内角而忽视了三角形的角平分线为一线段这一条件；而错选C的同学，实质上与错选A的同学犯的是同一个错误，显然这里“角平分线”与“一角的平分线”是一个意思，因为前提条件是说“AH必为三角形ABC的”.【正解】选D.【例4】如图3，AEBC于E，试问AE为哪些三角形的高？【错解】AE为三角形ABC、三角形ADC的高.【思考与分析】错解者错在认为三角形的高一定是在三角形的内部，而忽视了钝角三角形的高可以在外部而漏选三角形ABD，忽视了直角三角形的高可以与边重合而漏选了以AD为直角边的直角三角形.【正解】以AE为高的三角形有：ABC、ADC、ABD、ADE、ACE、ABE.第四节、思维点拨如图，三角形ABO的边AO、BO分别是三角形DOC的边CO、DO的延长线，则A+B=C+D. 解：在三角形ABO中，A+B+AOB=180，在三角形COD中，C+DDOC=180，所以A+B+AOBC+DDOC.又因为AOBDOC，所以A+B=C+D.由此我们得到以下结论：如果两个三角形有一个角是对顶角，那么这两个三角形的另外两个角的和相等. 【例1】如图，已知五角星ABCDE，求A+B+C+D+E的度数和. 【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，A+C=CED+EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出A+B+C+D+E的度数. 解：连结DE，由以上结论可知：A+C=CED+EDA， 又因为在三角形BED中，B+BEC+BDA+CED+EDA=180， 所以B+BEC+BDA+A+C=180. 即A+B+C+D+E180. 【例2】如图，求12345的度数和. 【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF所构成的图形中，3+4EDC+DCA，这样就把1、2、3、4、5同时放到了三角形BDC中，即可求出12345的度数和. 解：连结CD，则3+4EDC+DCA， 又因为在三角形BDC中，1+52+EDC+DCA=180， 所以1+52+3+4=180，即12345=180. 【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分BAC，EGAD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（ ）. 【思考与解】因为EGAD，交点为H，AD平分BAC， 所以在直角三角形AHE中，190 在三角形ABC中，易知BAC180（23）， 所以190180（23）=（3+2）. 又因为1是三角形EBG的外角，所以12G. 所以G12（3+2）2（32）. 所以应选C. 【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知ABD20，ACD25，A35.你能求出BDC的度数吗？ 【思考与解】延长BD，与AC交于E点， 因为DEC是三角形ABE的外角， 所以DEC=A+ABD35+20=55. 又因为BDC是三角形CDE的外角， 所以BDC=DEC+ACD=55+25=80. 【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，已知B10，C20，BOC110，你能求出A的度数吗？ 【思考与分析】要求A的度数，我们可以设法让A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则A、B即为三角形ABD的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求A的度数，可先求ODC的度数，由BOC110，C20即可求出ODC的度数. 解：延长BO交AC于D. 因为BOC是三角形ODC的外角， 所以BOCODC+C. 因为BOC=110，C20， 所以ODC1102090. 因为ODC是三角形ABD的外角， 所以ODCA+B. 因为B10， 所以A901080. 【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明BDCBAC. 【思考与分析】BDC和BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题. 解：延长BD交AC于P，则BDCDPC，DPCBAC，所以BDCBAC. 【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论. 【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40，且A=B，你能求出C的外角的度数吗？ 【思考与分析】在三角形ABC中，A=B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答. 解：（1）设40，当是等腰三角形的顶角时，则的外角等于18040140，而C，所以C的外角的度数为140. （2）设40，当是等腰三角形的底角时，A=B40，此时C的外角AB80.【例8】已知非直角三角形ABC中，A=45，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出BHC的度数吗？ 【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论. 解：当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示. 因为BD、CE是三角形ABC的高，A=45， 所以ADB=BEH=90，ABD=904545. 所以BHC=ABH+BEH=45+90=135. （2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示. 因为H是三角形的两条高所在直线的交点，A=45， 所以ABD904545. 所以在直角三角形EBH中，BHC=90ABD904545. 由（1）、（2）可知，BHC的度数为135或45. 【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整【例9】如图，已知三角形ABC中，B=C2A，你能求出A的度数吗？ 【思考与分析】我们由三角形内角和可知，A+B+C=180，又因为B=C2A，可得A+B+C=A2A2A180，即可求出A的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与B=C2A这两个已知条件求未知量A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180，其等量关系是A+B+C=180，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程. 设A的度数为x，则可以用2x分别表示B、C的度数，将这个等式转化为方程x2x2x180，即可求出A的度数. 解法一：因为B=C2A，A+B+C=180，所以A+B+C=A2A2A180，即A36. 解法二：设A的度数为x，则B、C的度数都为2x，列方程得x2x2x180，解得x36，即A36.【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形. （1）A=80，B=25； （2）AB=30，BC=36； 【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解. 解：（1）因为A80，B=25，所以C=180-80-25=75，所以三角形ABC是锐角三角形. （2）设Bx，则A（30+x），C（x-36），所以x（30+x）+（x-36）180，解得x62，所以最大角A92，所以三角形ABC是钝角三角形. （3）设Ax，B2x，C6x，则x2x6x180，解得x20，所以C120，所以三角形ABC是钝角三角形. 【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】 已知ABC的高为AD，BAD=70，CAD=20，求BAC的度数【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD+CAD=70+20=90.（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为BAD=70，CAD=20，所以BAC=BAD-CAD=70-20=50所以BAC为90或50【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】 如图，ABC中，AD，CE是ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积SABC=BCAD=ABCE，解决十分方便.解：SABC=BCAD=ABCE53=AB4，解得AB=（cm）【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB5cm，AC3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为 ，三角形ABD与三角形ACD的面积之间的关系为 .【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差（AB+BD+AD）（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD，所以上式AB-AC=5-3=2（cm）.（2）因为S三角形ABDBDAE，S三角形ACDCDAE，而BD=CD，所以S三角形ABDS三角形ACD.【例14】如图，在三角形ABC中，12，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CFAD于H.下列判断正确的有（ ）.（1）AD是三角形ABE的角平分线.（2）BE是三角形ABD边AD上的中线.（3）CH为三角形ACD边AD上的高.A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【思考与解】由12，知AD平分BAE，但AD不是三角形ABE内的线段，所以（1）不正确；同理，BE虽然经过三角形ABD边AD的中点G，但BE不是三角形ABD内的线段，故（2）不正确；由于CHAD于H，故CH是三角形ACD边AD上的高，（3）正确.应选A.【例15】如图，在直角三角形ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AB13cm，BC=12cm，AC=5cm.（1）求三角形ABC的面积.（2）求CD的长.【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：S=ab（a、b为两条直角边的长）；S=ch（c为直角三角形斜边的长，h为斜边上的高）.由此可知abch，在a、b、c、h四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.解：（1）在直角三角形ABC中，ACB90，BC=12cm，AC=5cm，所以SABCACBC30（cm2）.（2）因为CD是AB边上的高，所以SABCABCD，即13CD30.解得CDcm.【例16】如图1所示，你能求出A+B+C+D+E+F的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把A+B+C+D+E+F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.因为A+D+AOD=OFE+EOF+OEF=180，所以A+B+C+D+E+FOFE+OEFC+B+E+F360.【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120，边长AB2cm，BC=8cm，CD11cm，DE6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120，可知六边形的每一个外角的度数都是60，如图4，如果延长BA，得到的PAF=60，延长EF，得到的PFA=60，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，P的度数为180606060，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以P=G=H=60.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.因为六边形ABCDEF的六个角都是120，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60.所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以GC=BC=8cm，DH=DE6cm.所以GH=811625cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-815cm，EF=PH-PF-EH=25-15-64cm.所以六边形的周长为28+11+6+4+1546cm.【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30，求这三个内角的度数.【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的1.5倍，第三个内角比这两个内角的和大30”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.根据三角形的内角和为180，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角第二个内角第三个内角180.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为1.5x，第三个内角为x+1.5x+30，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：x+1.5x（x+1.5x+30）180.通过解这个方程就能使问题得到解决.解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为1.5x，第三个内角的度数为（x1.5x30），列方程可得x+1.5x（x+1.5x+30）180，解得x30.所以三角形的三个内角分别为45，30，105.【例19】如图，已知在三角形ABC中，CABC2A，BD是AC边上的高，求DBC的度数.【思考与分析】我们欲求DBC的度数，因为DBC是直角三角形DBC的一个内角，因此问题转化为求C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为C=ABC=2A，又根据三角形内角和定理有等量关系：A+ABC+C180，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设Ax，则C=ABC=2x，代入上述等量关系得方程x2x2x180，可解得x的值，从而可求得DBC的度数.解：设A=x，C=ABC2x，在三角形ABC中，x2x2x180，解得x36，则C72.因为BD是AC边上的高，所以BDC90.在直角三角形BDC中，DBC907218.第五节、竞赛数学【例1】如图所示，把三角形ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部A位置时，则A与1，2之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，并说明你找出的规律的正确性. 【思考与解】规律是：2A12.理由如下： 如图，我们知道折叠的一个重要特征是被折起部分的原位置图形与新位置图形形状、大小一样， 所以图中AA. 连结AA后，可以看出1是三角形EAA的外角，2是三角形DAA的外角， 所以1EAAEAA，2DAADAA. 因为EAADAAEAD， EAADAAEAD， 所以EAADAAEAADAAEADEAD2A. 又因为EAADAAEAADAA12， 所以2A12.【例2】 一个零件的形状如图所示，按规定A应等于90，B、D应分别等于30和20，李师傅量得BCD=142，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 【思考与分析】要说出当BCD=142时，这个零件不合格的原因，我们可以借助三角形内角和的知识，说明合格时DCB的度数不等于142即可.为此，我们可连结BD构造三角形. 解：连结BD， 因为A=90，ABC=30，ADC=20， 所以A+ABC+ADC=90+30+20=140. 根据三角形内角和等于180，可得A+ADB+ABD=180， 所以CDB+CBD=180-140=40. 又因为DCB+CDB+CBD=180， 所以DCB=180-40=140. 这说明若零件合格，则DCB=140，而李师傅测量得DCB=142，所以可以断定该零件不合格. 【例3】一个大型模板的设计要求是模板的BA边和CD边相交成50的角，DA边和CB边相交成30角，如果通过测量A、B、C、D的度数来判断模板是否合格，你认为当D与B的度数相差多少时，模板刚好合格？ 【思考与解】当模板合格时，如图，延长BA交CD的延长线于点E，则E=50；延长DA交CB的延长线于点F，则F=30，由三角形的三个内角和等于180，得CBE+C+E=180，CDF+C+F=180，所以CBE=180-（E+C）=180-（50+C）=130-C，CDF=180-（F+C）=180-（30+C）=150-C.因为CDF-CBE=150-C-（130-C）=20，所以CDF比CBE大20.即D比B大20时，模板刚好合格.【例4】我村王老吉有重要的事需要从B村出发到C村找马维庆商量，由于B村到C村之间有一小山，不能直接到达，现有两条路线可以选择，如图，一条是BDEC，另一条是BAC.请你就上述两条B村到C村的路线，选择一条较近的路线.【思考与解】延长ED，交AB于点F，延长DE，交AC于点G.在三角形FBD中，BF+FDBD，在三角形EGC中，EG+GCEC，在三角形AFG中，AF+AGFG=FD+DE+EG，三式相加得BF+FD+EG+GC+AF+AGBD+EC+FD+DE+EG，即BF+GC+AF+AGBD+EC+DE.所以（BF+AF）（GC+AG）BD+EC+DE.所以AB+ACBD+EC+DE.可见选择路线BDEC比较近.一个大于1的正整数a，如果除了1和a以外不能再被其他正整数整除，或者说仅有1和a这两个正约数，那么a叫做质数（又叫素数）；如果除了1和a以外还能被另外的正整数整除，那么a叫做合数.关于质数与合数有以下结论：（1） 1既不是质数，也不是合数；（2） 质数有无穷多个，即不存在最大质数；（3） 2是质数中惟一的偶数，且是最小质数；（4） 互质的数不一定都是质数，如4，9，14的最大公约数是1.任何大于1的合数都可以分解成质数的乘积，如果不考虑这些因数的顺序，分解方法是惟一的.【例5】 若p和q都是质数，并且关于x的一元一次方程px+5q=97的根是1，求p2-q的值.【思考与解】 把x=1代入已知方程得p+5q=97，由此可知p与5q中有一个为偶数，而p、q都是质数，所以 p=2或q=2.若 p=2， 则5q=95，于是q=19，p2-q=-15；若 q=2， 则p=87， 因为 87=329， 所以 p不是质数，不符合要求.故 p2-q=-15. 【例6】 求三个质数，使得它们的积为和的5倍.【思考与分析】 所求三个质数的乘积能被5整除，则其中必有一个数是5，所以再求另外两个质数即可.解: 因为所求三个质数的积是和的5倍， 所以 三个质数的积能被5整除，则必有一个质数是5，设p、q为另外两个质数，则有方程5pq=5（p+q+5），于是 pq-p-q+1=6，即（p-1）（q-1）=6，易知将6分解成两个数的乘积只有两种方式： 6=23=16，第一种情形： p-1=2，q-1=3，得q=4不是质数；第二种情形： p-1=1，q-1=6，得p=2，q=7，所以符合要求的三个质数是2，5，7.【小结】 本题求解过程中将 pq-p-q=5，变形为pq-p-q+1=6，进而得到（p-1）（q-1）=6的形式，这一步是很巧妙的，它的作用是将解一个二元一次方程的复杂问题转化为解两个二元一次方程组的简单问题，体现了化归的数学思想方法.【例7】如图1，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则12的度数是多少？【思考与解】因为A40，所以34180A140.所以1+21802（34）220.我们把这种求角度的方法叫做整体代入法.整体代入法把着眼点放在全体上，可以起到使解题过程简捷明了的作用.【例8】如图2，已知ABDE，E65，则B+C的度数为（ ）.A.135 B.115 C.65 D.35【思考与解】因为ABDE，E65，所以CFA=E=65.又因为CFA=B+C，所以B+C=65.故选C.【例9】如图3，A40，则1+2B+C 度.【思考与解】因为A40，所以1+2B+C140.所以1+2B+C280.三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形两边的和大于第三边.利用这个关系可以解决许多典型的几何问题.在第六期的“分类讨论的应用”中我们介绍了如何利用这个关系判断三角形能否组成、怎样求三角形的边长以及求三角形的周长.下面我们再介绍几种这个关系的应用.一、确定三角形某一边的取值范围问题根据三角形三边之间关系定理可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足|ab|cab.【例10】 用三条绳子打结成三角形（不考虑结头长），已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制.【思考与分析】已知围成三角形的三条绳子中的两条，我们可以利用三角形三边关系求出第三条绳子长的取值范围，即绳长的限制.解：设第三条绳子的长为xm，则73x73，即4x10.故第三条绳子的长应大于4m且小于10m.二、化简代数式问题这里主要是运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号.【例11】 a、b、c是ABC的边长，化简|a-b-c|+|a+b-c|-|-a-b-c|.【思考与分析】我们知道a、b、c是ABC的边长，那么它们就都是大于0的，我们再根据三角形三边关系判断出绝对值号内的式子的符号，然后去掉绝对值号，计算结果.解：由三角形三边关系易得：a-b-c0，a+b-c0，-a-b-c0，原式=-a+b-c.【例12】 已知三角形三边长为a、b、c，且|abc|abc|=10，求b的值.【思考与分析】a、b、c是ABC的边长，那么它们就都是大于0的，我们再根据三角形三边关系判断出绝对值号内的式子的符号，然后去掉绝对值号，找到等式与b的关系，然后求b.解：因abc，故abc0，因abc，故abc0.所以|abc|abc|= abc（abc）=2b=10.故b=5.三、确定组成三角形的个数问题要确定三角形的个数只需根据题意，运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重.【例13】现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【思考与解】由三角形的三边关系知：若长度分别为2cm、4cm、6cm，不可以组成三角形；若长度分别为4cm、6cm、8cm，则可以组成三角形；若长度分别为2cm、4cm、8cm，则不可以组成三角形；若长度分别为2cm、6cm、8cm，则不可以组成三角形.即分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为1，故应选A.四、说明线段的不等问题在平面几何问题中，线段之间的不等关系的说明，很多情况下必须借助三角形三边之间的关系定理及推论.有时可直接运用，有时则需要添加辅助线，创造条件才能运用.【例14】已知P是ABC内任意一点，试说明ABBCCAPAPBPC（ABBCCA）的理由.【思考与解】如图，延长BP交AC于D点.在ABD中，可证明ABADBPPD.在PDC中，可证明PDDCPC.两式相加，可得ABACBPPC，同理可得ABBCPAPC，BCCAPAPB.把三式相加后除以2，得ABBCCAPAPBPC.在PAB中，PAPBAB；在PBC中，PBPCBC；在PAC中，PAPCCA.上面三式相加后除以2，得PAPBPC（ABBCCA），综上所述：ABBCCAPAPBPC （ABBCCA）.【小结】通过以上几个例题的解法，我们可以看到：在三角