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第十一章 级数第一节 常数项级数的概念和性质对于数列我们称为无穷级数，记为=其中称为通项。问题：什么情况下这个无穷项的和是一个确定的数，或者说有意义，也就是后面说的收敛？我们可以构造部分和数列来解决这个问题。定义1：如果级数的部分和数列有极限，即，则称级数收敛，称为级数的和，并写成=；如果数列没有极限则称级数发散。例1：无穷级数 叫做等比级数（几何级数）讨论其敛散性。解：当时，即收敛；当时，不存在，即发散。例2：判定级数的收敛性。解： 因为，不存在，即发散。例3：判别无穷级数的敛散性。解：因为，即收敛。 二、收敛级数的性质性质1：如果级数收敛于，则它的各项都乘以一个常数所得的级数也收敛其和为。证明：设的部分和数列为，的部分和数列为，则有性质2：如果级数，分别收敛于和，则级数收敛于和。证明：设分别为级数，和的部分和数列，则有性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。证明：设级数改变了有限项，无妨设对应变成且设。为改变后所得级数的部分和数列；为级数的部分和数列，当时有性质4：如果级数收敛，则对这级数的各项任意加括号后所成的级数还是收敛的。证明：设是加括号后所得级数的部分和数列，是级数的部分和数列，则有是的子列，所以注：级数：发散，但级数收敛于。性质5：（级数收敛必要条件）如果级数收敛，则必有。证明：设是级数的部分和数列，且有。注：调和级数发散。解：因为
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