2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.2基本不等式讲义新人教B版.docx

1.2基本不等式学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题教材整理基本定理(重要不等式及基本不等式)1定理1设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2定理2如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式同时，我们称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值3定理3如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立4定理4如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立设0ab，则下列不等式中正确的是()AabBabCabD.ab解析0ab，a0，即a，故选B.答案B利用基本不等式证明不等式【例1】已知a，b，c都是正数，求证：abc.精彩点拨观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系自主解答a0，b0，c0，b22a，同理：c2b，a2c.三式相加得：(bca)2(abc)，abc.1首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明2当且仅当abc时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“”号取不到，则三式相加所得的式子中“”号取不到1(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24，所以(ab)3(bc)3(ca)324.利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，yR，且x2y1，求的最小值；(2)已知x0，y0，且5x7y20，求xy的最大值精彩点拨根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件自主解答(1)因为x2y1，所以33232，当且仅当，x2y1，即x1，y1时，等号成立所以当x1，y1时，取最小值32.(2)xy(5x7y)，当且仅当5x7y10，即x2，y时，等号成立，此时xy取最大值.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况2若将本例(1)的条件改为“已知x0，y0，且1”，试求xy的最小值解x0，y0，且1，xy(xy)1021016.当且仅当，即y3x时等号成立又1，当x4，y12时，(xy)min16.基本不等式的实际应用【例3】某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？精彩点拨(1)可先通过m0时，x1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值自主解答(1)依题意得m0时，x1，代入x3，得k2，即x3.年成本为816x816(万元)，所以y(1.51)m28m(m0)(2)由(1)得y2929221.当且仅当m1，即m3时，厂家的年利润最大，为21万元3某工厂建一底面为矩形(如图)，面积为162 m2，且深为1 m的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16 m，如果池外围四壁建造单价为400 元/m2，中间两条隔墙建造单价为248 元/m2，池底建造单价为80 元/m2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低解设污水池的宽为x m，则长为m，则总造价f(x)4002482x801621 296x12 9601 29612 960.由限制条件，知得x16.设g(x)x，因为g(x)在上是增函数，所以当x时，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，f(x)min1 29612 96038 882(元)所以当长为16 m，宽为 m时，总造价最低，为38 882元.基本不等式的特点探究问题1在基本不等式中，为什么要求a0，b0?提示对于不等式，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义2你能给出基本不等式的几何解释吗？提示如图，以ab为直径的圆中，DC，且DCAB.因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为，根据半弦长不大于半径，得不等式.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当ab时，等号成立因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高3利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？提示利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值(1)已知x，y(0，)，如果积xy是定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.(2)已知x，y(0，)，如果和xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小条件满足：“一正、二定、三相等”【例4】求下列函数的值域(1)y；(2)y.精彩点拨把函数转化为yax或y的形式，再利用基本不等式求解自主解答(1)y，当x0时，x2，y1；当x0时，x0，x2，x2，y1，综上函数y的值域为y|y1或y1(2)当x0时，y.因为x2，所以0，所以0y1，当且仅当x1时，等号成立；当x0时，x2，所以0，所以1y0，当且仅当x1时，等号成立；当x0时，y0.综上，函数y的值域为y|1y1形如y型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为ytC(P，C为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t的取值范围4求函数y(x1)的最小值解因为x1，所以x10.所以y(x1)2228，当且仅当x1，即x4时，等号成立所以当x4时，ymin8.1函数yx(x3)的最小值是()A5B4C3D2解析原式变形为yx33.x3，x30，0，y235，当且仅当x3，即x4时等号成立答案A2下列函数中最小值为4的是()AyxBysin x(0x)Cy3x43xDylg x4logx10解析A项，当x0时，yx0，故A项错误；B项，当0x时，sin x0，ysin x24，当且仅当sin x，即sin x2时取等号，但sin x1，B项错误；C项，由指数函数的性质可得3x0，所以y3x43x24，当且仅当3x2，即xlog32时取得最小值4，故C项正确；D项，当0x1时，lg x0，logx100，所以ylg x4logx100，故D项错误答案C3若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2解析A选项中，当ab时，a2b22ab，则排除A；当a0，b0时，ab02，00，0，得2 2，当且仅当ab时取“”，所以选D.答案D4不等式2成立的充要条件是_解析由2，知0，即ab0，又，ab.因此2的充要条件是ab0且ab.答案ab0且ab5(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等